첫번째 질문. K가 위수 p^n인 체일 때 K가 Zp의 분리 확대체가 되는 이유가 무엇인가요?//////<br>
제가 생각한 건, K가 Zp위 x^(p^n)-x의 분해체이고, 이 다항식이 분리다항식이라는 것 까지에요. 이 다항식의 서로 다른 해들이 분리원소인 걸 보이고 싶은데..그래서 x^(p^n)-x이 각각의 해에 대해 최소다항식이 되나?를 생각해봤는데 그건 아닌 것 같아서요. ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ<br>
두번째 질문. (K는 위 질문의 K와 동일) G(K/Zp)가 위수 n인 것 까지는 알겠는데, 왜 순환군이 되는지 잘 모르겠어요.ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ<br>
세번째질문. 기출 85번을 풀다가 해설에서, 'K가 Q의 갈루아 확대체이므로 K는 Q(루트2)의 갈루아 확대체이다' 라는 부분이 있었는데, 왜 그런건가요? (문제에 루트2는 K의 원소라는 조건이 있어요)//////<br>
제가 생각한 건, K가 Q(루트2)위 유한 확대체인 것, 그리고 Q(루트2)의 표수가 0이고 K가 Q(루트2)의 대수적 확대체이므로 분리 확대체가 되는것까지에요.정규 확대체가 되는 건 어떻게 보여야 하나요?
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첫댓글첫번째 질문. K가 위수 p^n인 체일 때 K가 Zp의 분리 확대체가 되는 이유가 무엇인가요?////// 제가 생각한 건, K가 Zp위 x^(p^n)-x의 분해체이고, 이 다항식이 분리다항식이라는 것 까지에요. 이 다항식의 서로 다른 해들이 분리원소인 걸 보이고 싶은데..그래서 x^(p^n)-x이 각각의 해에 대해 최소다항식이 되나?를 생각해봤는데 그건 아닌 것 같아서요.
=> 해당정리의 증명과정을 뜯어보게되면, K가 Zp위 f(x)=x^(pⁿ)-x∈Zp[x] 의 분해체일때, 실제로 K의 원소는 f(x)의 모든근들로 이루어져있습니다. 즉, f(x)의 모든근들을 a1, a2, •••, a_{pⁿ} 이라고하면, K={a1, a2, •••, a_{pⁿ} }이 성립합니다. 그러므로 ∀ai∈K, irr(ai, Zp)|f(x) 이고 f(x)는 분리다항식이므로 irr(ai, Zp)는 Zp위에서 분리다항식이됩니다. (∵irr(ai, Zp)가 중근을 갖는다고 가정하면, f(x)도 중근을 갖게되어 모순)
세번째질문. 기출 85번을 풀다가 해설에서, 'K가 Q의 갈루아 확대체이므로 K는 Q(루트2)의 갈루아 확대체이다' 라는 부분이 있었는데, 왜 그런건가요? (문제에 루트2는 K의 원소라는 조건이 있어요)////// 제가 생각한 건, K가 Q(루트2)위 유한 확대체인 것, 그리고 Q(루트2)의 표수가 0이고 K가 Q(루트2)의 대수적 확대체이므로 분리 확대체가 되는것까지에요.정규 확대체가 되는 건 어떻게 보여야 하나요?
=> 다음의 정리를 이용해서 정규ext 임을 보일수있습니다. <정리> F⊂E⊂K를 만족하는 체F, E, K에 대해서 K가 F위의 f(x)∈F[x]의 분해체 ⇒ K가 E위의 f(x)의 분해체. 가 성립합니다.
즉, K/Q는 갈루아ext 이므로 유한ext+정규ext 입니다. 따라서 K는 Q위의 적당한 다항식f(x)의 분해체. Q⊂Q(√2)⊂K 이므로 <정리>에 의해 K는 Q(√2)위의 f(x)의 분해체 이므로 K/Q(√2)는 유한ext+정규ext 입니다.
첫댓글 첫번째 질문. K가 위수 p^n인 체일 때 K가 Zp의 분리 확대체가 되는 이유가 무엇인가요?//////
제가 생각한 건, K가 Zp위 x^(p^n)-x의 분해체이고, 이 다항식이 분리다항식이라는 것 까지에요. 이 다항식의 서로 다른 해들이 분리원소인 걸 보이고 싶은데..그래서 x^(p^n)-x이 각각의 해에 대해 최소다항식이 되나?를 생각해봤는데 그건 아닌 것 같아서요.
=> 해당정리의 증명과정을 뜯어보게되면,
K가 Zp위 f(x)=x^(pⁿ)-x∈Zp[x] 의 분해체일때,
실제로 K의 원소는 f(x)의 모든근들로 이루어져있습니다.
즉, f(x)의 모든근들을 a1, a2, •••, a_{pⁿ} 이라고하면,
K={a1, a2, •••, a_{pⁿ} }이 성립합니다.
그러므로 ∀ai∈K, irr(ai, Zp)|f(x) 이고 f(x)는 분리다항식이므로 irr(ai, Zp)는 Zp위에서 분리다항식이됩니다.
(∵irr(ai, Zp)가 중근을 갖는다고 가정하면, f(x)도 중근을 갖게되어 모순)
두번째 질문. (K는 위 질문의 K와 동일) G(K/Zp)가 위수 n인 것 까지는 알겠는데, 왜 순환군이 되는지 잘 모르겠어요.
=> σ: K→K, σ(x)=x^{p} : (프로베니우스사상) 에 대해서 G(K/Zp)=<σ> 가 성립합니다.(기본정리)
세번째질문. 기출 85번을 풀다가 해설에서, 'K가 Q의 갈루아 확대체이므로 K는 Q(루트2)의 갈루아 확대체이다' 라는 부분이 있었는데, 왜 그런건가요? (문제에 루트2는 K의 원소라는 조건이 있어요)//////
제가 생각한 건, K가 Q(루트2)위 유한 확대체인 것, 그리고 Q(루트2)의 표수가 0이고 K가 Q(루트2)의 대수적 확대체이므로 분리 확대체가 되는것까지에요.정규 확대체가 되는 건 어떻게 보여야 하나요?
=> 다음의 정리를 이용해서 정규ext 임을 보일수있습니다.
<정리> F⊂E⊂K를 만족하는 체F, E, K에 대해서
K가 F위의 f(x)∈F[x]의 분해체 ⇒ K가 E위의 f(x)의 분해체.
가 성립합니다.
즉, K/Q는 갈루아ext 이므로 유한ext+정규ext 입니다.
따라서 K는 Q위의 적당한 다항식f(x)의 분해체.
Q⊂Q(√2)⊂K 이므로
<정리>에 의해 K는 Q(√2)위의 f(x)의 분해체 이므로
K/Q(√2)는 유한ext+정규ext 입니다.
빠르고 정확한 답변 감사합니다. 해결이 잘 되었어요!