[위상수학]고정점정리(fixed point thm)에 대해 궁금한게 있어요

[메이플]

안녕하세요~

위상수학 공부하다가 모르는게 있어서 질문해요!

고정점정리(fixed point theorem)에 의해서 폐구간일때는 모든 연속함수에 대해서 고정점이 존재하는 건 알겠는데요

그게 폐구간이 아니면 안된다는 게 반개구간 (a,b], [a,b)에서는 성립하지 않는다는걸 반례로 들고 싶은데

도저히 그게 가능할지 모르겠어요.

박대희, 안승호의 위상수학(경문사) 책에 보면 f:[a,b)->[a,b),  f(x)=(x+b)/2 로 놓고 설명하는데

이 함수 자체가 이미지가 저게 아닌거 같네요

어떤 반례를 들어야 반개구간에서 고정점정리가 성립하지 않음을 보일 수 있을까요?

[허걱~]

fixed point theorem 에서 요구하는 함수는 f:[a, b] -> [a, b] 인 continuous function이지 surjection이 아닙니다. 다시 한번 잘 보세요. 그런 의미에서 밑의 예제는 잘 들어맞는 예제인 것 같네요.