종합문제 13번과 관련해서 질문이 있습니다.

[초록단풍잎]

1.  M1 위의 유계인 영역 S가 이엽쌍곡면에서 x=-1부터 x=-2까지인 아래 부분을 뜻하는 것인지 반지름이 루트3인 원을 뜻하는 것인지 궁금합니다.

2. 풀이 과정에서 오일러 지표를 이용하게 되는데 지표가 1인 이유가 아래 그림때문인지 아니면, 다른 이유인지 궁금합니다.

3.  측지곡률이 2/루트(21)로 나와있는데, 단위법벡터장에 대한 제한이 없습니다. 그러면 측지곡률에 +-를 붙은, 따라서 답안도 (2+4/루트(17))pi 또는 (2-4/루트(17))pi가 되어야 하는게 아닌가해서 글을 올립니다.

[수정과]

① 전자를 뜻하는 것입니다.
② 네 맞습니다.
③ 아닙니다. 풀이에 γ(t)=(-2, √3cost, √3sint)라 하였으므로 U는 곡면의 바깥쪽으로 결정이 됩니다. 가우스 보네 정리를 적용함에 있어 U의 방향과 경계곡선의 진행방향은 서로 연관이 있습니다. 즉 U의 방향을 정하면 경계곡선의 진행방향이 결정되고 마찬가지로 경계곡선의 진행방향을 정하면 U의 방향도 결정됩니다.
그러나 U나 경계곡선의 진행방향을 어디로 택하든 가우스 보네 정리의 결과는 같게 나옵니다. 예를 들어 해설지와 같이 경계곡선을 γ로 생각하면 바깥을 향하는 U에 대하여 측지곡률은 2/√21이 나옵니다. 마찬가지로 경계곡선을 γ와 진행방향이 반대가 되는 곡선 즉 β(t)=(-2, √3sint, √3cost)로 택하면 U는 곡면의 안쪽을 향하도록 택하여야 하고 이를 이용해 측지곡률을 계산해보면 2/√21이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.