프랙탈이란 무엇인가?

[유토피아]

작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조 

주변의 나무를 살펴보면 나무 위로 쏟아지는 햇빛을 조금이라도 낭비하지 않고 광합성에 이용할 수 있도록 나뭇잎이 조금도 빈틈없이 나무 전체를 뒤덮고 있음을 알 수 있다.

 나뭇잎이 이렇게 나무 전체를 뒤덮기 위해서는 나무의 잔가지들이 모든 방향으로 골고루 향해야 한다. [ 논의할 제재 ] 그렇다면 과연 나무의 무엇이 잔가지들을 통제하여 모든 방향으로 골고루 향하도록 해주는 것인가?

복잡하게 얽힌 나뭇가지를 보면 나뭇가지의 기하학적 구조가 매우 복잡할 것이라 생각되지만 사실 나뭇가지의 구조는 매우 간단한 규칙으로 이루어져 있다.

 일정한 길이의 비(比)가 될 때마다 일정한 각도로 두 개의 가지로 갈라지는 간단한 규칙만으로도 모든 방향으로 뻗은 나뭇가지의 구조를 만들어 낼 수가 있다.

이 경우에 나뭇가지의 어떤 부분을 선택하여 확대를 하더라도 전체 나무와 같은 모양을 얻을 수 있는데 이러한 성질을 '자기닮음(Self-Similarity)'이라 하며, 자기닮음을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조(Fractal Structure)라 한다.

 

A part looks like the whole,

A part of the part looks like the part.

프랙탈 구조의 특징인 자기닮음은 ‘부분은 전체같이 보이고, 그 부분의 부분은 그 부분같이 보인다.’로 설명될 수 있다. 오른쪽 그림처럼 프랙탈 구조로 이루어진 어떤 도형의 일부분을 확대하면 다시 전체 도형이 되는 것을 알 수 있다. 이와 같은 프랙탈 구조의 기본적은 특징은 자기닮음(Self-Similarity)과 자기닮음을 전제로 끊임없이 자기를 복제하는 자기순환(Self-Recursiveness), 그리고 알고리즘(Algorithm)의 단순성(Simplicity)이다. 이러한 프랙탈 구조는 고사리와 같은 양치류 식물, 번개의 궤적, 아름다운 눈송이의 구조, 우주의 신비스런 모습, 인체의 혈관과 신경조직, 너울이 밀려오는 해안선의 모습 등과 같이 우리 주변의 많은 것들에서 쉽게 발견된다.

프랙탈이란 전체를 부분으로 분할하였을 때 그 부분이 전체의 모습을 갖는 무한단계의 기하적인 도형이다. 우리가 보는 것은 유한단계의 모습일 뿐이다.

유클리드 기하학의 세계에서 사물은 정수로 표시되는 차원(dimension)을 가진다.

구, 정육면체와 같은 입체도형은 3차원이고 정삼각형, 사각형과 같은 평면도형은 2차원이다.

또한, 직선과 곡선은 1차원이고 점은 0차원이다.

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그러나 다음 그림과 같은 프랙탈 구조를 가진 페아노 곡선은 단계가 점점 진행될수록 선분이 정사각형 내부 전체를 가득 채우므로 선분의 차원인 1과 정사각형의 차원인 2를 동시에 가져야 한다는 모순이 생긴다. 이로부터 차원의 개념을 다시 정의할 필요가 생기는데 프랙탈 도형에도 적용할 수 있고, 기존의 차원에도 아무런 무리 없이 적용할 수 있는 새로운 차원의 정의가 필요하다.

눈송이 곡선과 같은 프랙탈 곡선은 곡선이 얼마나 많이 움직이느냐에 따라 1차원과 2차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있다. 곡선이 매끄러운 직선과 유사할수록 프랙탈 차원은 1에 가까워지고 곡선이 평면을 거의 채워갈수록 프랙탈 차원은 2에 가까워진다. 1차원 직선에 그려진 칸토어 집합이 0.6308차원이고 2차원 평면에 그려진 눈송이 곡선이 1.2617차원인 것과 같이 프랙탈 차원이 높아질수록 곡선은 훨씬 더 복잡하고 거칠어진다. 또한, 프랙탈 차원은 그 프랙탈 도형이 속해있는 도형의 차원보다 결코 크지 않으며 일반적으로

프랙탈 곡선들은 정수 차원 사이의 소수의 차원을 갖는다.