자연수 n을 이진법으로 나타내면 작은쪽부터 0을 짝수개 가지고 있고, 1을 2개 이상 가지고 있을때, n 을 다시 10진법으로 나타내면 4^k(4s+3)인지를 증명하여라.
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철수와 영희가 차례로 0과 1을 번갈아 가면서 2004번씩 총 4008번을 놓아서 이진수를 만들었다. 만약 십진법으로 나타내었을때 두 자연수의 제곱의 합으로 표현되면 영희가 이기고, 그렇지 않으면 철수가 이기게 된다.
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영희가 먼저 놓았을때 무조건 이기는 방법을 찾았는데 어떻게 하면 될까?
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세자리 자연수중 두수의 합이 나머지 한 수가 되는 경우는 총 몇가지 인가?
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예를 들어 123,,1+2=3,,,,918,,1+8=9
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첫댓글흠;;;; 귀차니즘에 찌든 이유로 간단한 해설하나만 올리겠습니다... 젤 쉬워보이는 3번째걸로;;; 일단 위와 같은 식을 만족하는 서로다른 한자리의 실수 3개를 찾습니당.... 1,1,2 1,2,3 1,3,4 1,4,5 이런식으로 말이죠;;; 단 이때 중복은 불가합니다. 그후에 각자의 숫자를 배열하는 방법의수를 곱함다...... 단
;; 안하려 했지만;;; 결국 수학문제라면 풀게되는 성깔상;;; 첫번째 문제도 제가 아는 범위에서 설명토록 노력하겠슴다. 영을 작은쪽으로 부터 짝수개라는 것은 4의 배수가 기본적으로 깔리게 되는 것이라고 하겠죠;; 그리고 1이 2개 이상 있다는데도 유의할점이며 1이 연속적인게 또 한 주의할 점입니다.
잡소리 그만하고 설명하면 0이 짝수개가 있으므로서 최초의 1은 4의배수가 되는수가 되는것임다. 100(2)이면 4이고 10000(2)이면 16인것처럼요;;; 그리고 홀수째에 오는 1 바로 한차수 위의 1은 2*아까말한 사의 배수 가 될것입니다. 즉 1이 연속 두개이면 3*(아까말한 사의 배수) 머 이런식이죠;;(말이 어째 이상하지만;;
이것을 일반화 시키려고 뒤에 0을 2개씩 더 붙일때마다 처음의 4는 16으로 그다음엔 64로 점점 불어난다 이런말임다... 바로 위의 방법을 지금 금방 말한 0을 2개 덧붙이는 내용과 결합하여 설명한다면 얼추 해답이 되리라 생각됩니당....근데.... 이거 무슨 경시대회 문제죵???
두번째 문제는 번갈아 가면서 논다는것이 무슨말인지 ㅋ1;;;; 제가 워낙 아둔해서;;; 그 번갈아 놓는다는 말의 의미가 먼지 파악하기가 힘드네용;;; 뭔말인지원.... ㅋ1;;; 제가 갑한진 오래되도 고딩된후론 안들와 봐서 해설 방법도 좀 틀린감이 있습니다만은 별 쓰잘데기 없는 해설이나마 도움의 됬으면 좋겄슴다.
3번풀이는 대충 이렇게 했어요. 세 자리수를 p×100+q×10+r×1 로 표현할때, p=q+r 인경우, q=p+r 인경우, r=p+q 인경우, 두개는 35가지가 나오고, 하나는 31가지가 나와서 총 101가지 했어요 ㅠ_ㅜ.. 사실 3시간동안 할게 없어서 노가다좀 했거든요 ㅎ_ㅎ;
하지만 문제는 제곱의 합으로 표현되면, 영희가 이긴다 이구요. 그리고 영희가 먼저 놓는데요, 철수가 영희와 다른 수를 놓으면 안되죠, 그리고 만약 첨에 영희가 1을 놓더라도 철수역시 1을 놓게 되면 4^k+3 꼴로 4로 나눈 나머지가 3이 되서 모순이 되네요. -_-; 참 아이러니 해요..;
첫댓글 흠;;;; 귀차니즘에 찌든 이유로 간단한 해설하나만 올리겠습니다... 젤 쉬워보이는 3번째걸로;;; 일단 위와 같은 식을 만족하는 서로다른 한자리의 실수 3개를 찾습니당.... 1,1,2 1,2,3 1,3,4 1,4,5 이런식으로 말이죠;;; 단 이때 중복은 불가합니다. 그후에 각자의 숫자를 배열하는 방법의수를 곱함다...... 단
1,1,2나 2,2,4 3,3,6 4,4,8 과 같은 것은;;;;;;;;;가짓수가 3개실수가 모두 다른 1,2,3과 같은것과는 다르겠죠??
;; 안하려 했지만;;; 결국 수학문제라면 풀게되는 성깔상;;; 첫번째 문제도 제가 아는 범위에서 설명토록 노력하겠슴다. 영을 작은쪽으로 부터 짝수개라는 것은 4의 배수가 기본적으로 깔리게 되는 것이라고 하겠죠;; 그리고 1이 2개 이상 있다는데도 유의할점이며 1이 연속적인게 또 한 주의할 점입니다.
잡소리 그만하고 설명하면 0이 짝수개가 있으므로서 최초의 1은 4의배수가 되는수가 되는것임다. 100(2)이면 4이고 10000(2)이면 16인것처럼요;;; 그리고 홀수째에 오는 1 바로 한차수 위의 1은 2*아까말한 사의 배수 가 될것입니다. 즉 1이 연속 두개이면 3*(아까말한 사의 배수) 머 이런식이죠;;(말이 어째 이상하지만;;
음... 예로 들어 설명하자면 이렇습니다. 100(2)는 4고 1000(2)는 2*4이죠;; 그러니까 그합인 1100(2)는 3*4가 되겠죵;;; 결합법칙으로;; 그다음 두차수 앞서는 1 즉 10000(2)는 4*4가 되고 이를 다합친 11100(2)는 4*(4+3)이죠;;; 100000(2)는 8*4 이니까 ;;; ㅋㅋㅋ 이렇게 계속 더하면 4*(4s+3)꼴이죵??
이것을 일반화 시키려고 뒤에 0을 2개씩 더 붙일때마다 처음의 4는 16으로 그다음엔 64로 점점 불어난다 이런말임다... 바로 위의 방법을 지금 금방 말한 0을 2개 덧붙이는 내용과 결합하여 설명한다면 얼추 해답이 되리라 생각됩니당....근데.... 이거 무슨 경시대회 문제죵???
두번째 문제는 번갈아 가면서 논다는것이 무슨말인지 ㅋ1;;;; 제가 워낙 아둔해서;;; 그 번갈아 놓는다는 말의 의미가 먼지 파악하기가 힘드네용;;; 뭔말인지원.... ㅋ1;;; 제가 갑한진 오래되도 고딩된후론 안들와 봐서 해설 방법도 좀 틀린감이 있습니다만은 별 쓰잘데기 없는 해설이나마 도움의 됬으면 좋겄슴다.
서울시 경시죠>? 저도 봤는데,, 잘보셨나요?
저는 3개중 1번 3번은 풀었는데, 2번은 도저히,, 풀이 원하시면 꼬리말 달아주세여~
부산인데.. 교육청 주관이라 서로 같은건가봐요 -_-; 작년에 5문제 나왔는데 이번에 12문제인가 -_-; 저도 1,3번은 풀었는데 2번이 영..ㅠ_ㅜ..
3번풀이는 대충 이렇게 했어요. 세 자리수를 p×100+q×10+r×1 로 표현할때, p=q+r 인경우, q=p+r 인경우, r=p+q 인경우, 두개는 35가지가 나오고, 하나는 31가지가 나와서 총 101가지 했어요 ㅠ_ㅜ.. 사실 3시간동안 할게 없어서 노가다좀 했거든요 ㅎ_ㅎ;
2번문제 깜빡한게 있어서 수정했는데요, 단 영희가 먼저둘 경우.. 철수랑 영희가 1이나 0 둘중에 하나만 골라서 놓을수 있는데 영희-철수-영희-... 순으로 번갈아 2004번씩 총 4008자리의 이진법 수를 만들었대요.;
3번]3!*12=96개
집에 정수론 책을 보고 하는 말인데요, 3번문제 혹시, p ≡ 1 (mod 4)의 꼴인 소수는 두 제곱수의 합인걸 이용해서, 영희가 첨에 1을 놓으면 되는게 아닐까요.?
2번]철수가 하는 대로 똑같이 따라한다. 예) 1100(2),0011(2)
1100(2)=12 인데 12는 무슨 제곱수의 합인가요? 위에 처럼 제곱수의 합이 되려면 4로 나눈 나머지가 1이여야 하는것 아닌가요?
위 처럼 2004개를 나열하라는 뜻
3번은 96개일껄요,,
ㅠ_ㅜ... 힘빠지네요 .. 보디가드님 2번문제 좀더 자세한 증명좀..
고등학교 빨리 졸업하기를 잘 했네요!!!!!!!! 모두들 실력자이세요!!!!!!!!!!!!!
'제곱의 합으로 표현 되지 않으면 영희가 이긴다'로 문제를 고치세요.
하지만 문제는 제곱의 합으로 표현되면, 영희가 이긴다 이구요. 그리고 영희가 먼저 놓는데요, 철수가 영희와 다른 수를 놓으면 안되죠, 그리고 만약 첨에 영희가 1을 놓더라도 철수역시 1을 놓게 되면 4^k+3 꼴로 4로 나눈 나머지가 3이 되서 모순이 되네요. -_-; 참 아이러니 해요..;