Re:σ-algebra 에 관한 문제입니다^^

[비는아픔]

Formally, a subset Σ of the power set of a set X is a σ-algebra if it has the following properties:

1. Σ is not empty

2. Σ is closed under complements: If E is in Σ then so is the complement (X \ E) of E,

3. Σ is closed under countable unions: The union of countably many sets in Σ is also in Σ.

(from wiki)

infinite σ-algebra가 uncountable임을 보이면 충분합니다.

Lemma ]

X : a set

x : a subset of x

Σ : a σ-algebra of X 일때

Σ|x = {x∩a | a∈Σ} 라 하면, Σ|x는 σ-algebra of x가 됩니다. 증명 생략.

Step1 ]

Σ를 X의 infinite σ-algebra라 합시다. 그러면 S(a NON-EMPTY PROPER subset of X) in Σ가 존재하고, 또한 S의 complement ( call it 'comp(S) = T' )가 존재합니다.

한편, Σ|S, Σ|T는 lemma에 의해 σ-algebra입니다.

그런데 Σ = {a∪b | a, b is in Σ|S, Σ|T, respectively} (왜냐하면 S,T는 X의 분할이므로) 에서, Σ를 infinite이라 했으므로 Σ|S 또는 Σ|T는 infinite입니다.

일반성을 잃지않고 그 infinite σ-algebra를 T라 합시다. 그러면 나머지 하나인 S = X(1)으로 둡니다.

비슷하게, Σ|T에 대해 같은 방식을 적용하여 T의 분할 U, V 중 (Σ|T)|U, (Σ|T)|V가 infinite인 것이 있고, 그것을 U라 하면 V = X(2)로 둡니다.

Inductively, {X(n)}⊆Σ을 정의할수있고 이의 원소들은 disjoint하고 non-empty입니다.

Step2 ]

step1에서 구해낸 sequence of disjoint subsets of X인 {X(n)}⊆Σ를 생각합시다. 이제 자연수의 집합을 lN이라 할때, 임의의 A⊆lN에 대하여 X(A)를 다음과 같이 정의합니다.

X(A) = ∪{n∈A} [ X(n) ]

그러면 X(A)는 countable union of the elements of Σ이므로 X(A)∈Σ가 됩니다.

이는 함수 f : 2^lN → Σ ; A → X(A) 를 잡을 수 있다는 뜻이고, A → X(A)가 injection임은 자명하므로 Σ는 uncountable입니다.

배운적이 없어서 심각한 헛점이 있을수도 있어요;;;

일단 step2가 떠올랐는데 {X(n)}의 존재성때문에 쉽지 않았음... 다른 훨씬 더 쉬운 방법이 있을지도?

[까르꿍]

감사합니당^^*