브룅7권20장B, 근대 수학들의 방향정립(인명, 주석)

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, P.592.

* 목차: 수학 철학의 여러 단계들 (Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

제1부 구성의 시대 Période de constitution 01

제1권 산술학 Arithmétique. 03

제1장인종지학과 초기의 수적인 조작들 L’éthnographie et les premières opérations numériques 07

제2장 이집트 계산법 Le calcul égypties 26.

제3장퓌타고라스학자들의 산술학 L’arthmétisme des Pythagoriaiens 33

제2권 기하학 Géométrie 43

제4장플라톤학자들의 수학주의 Le mathématisme des platoniciens

단원 A. 플라톤 문제의 입장 Section A. La position du problème platonicien 43

단원 B. 플라톤주의 방법La méthode platonicienne 49

단원 C. 형이상학의 뮈편과 뉘편Les livres M et N de Metaphysique 61§34,

제5장형식논리학의 탄생. La naissance de la logique fomelle 71

제6장유클리드 기하학 La Géométrie euclidenne 84 §49, §50,

제7장 분석 기하학 La Géométrie analytique 99 §58,

단원 A. 페르마 Fermat 100

단원 B. 데카르트의 보편수학과 물리학 La mathématique universelle de Descartes et la Physique 105

단원 C. 1637년의 󰡔기하학󰡕 La Géométrie de 1637 113

제8장 데카르트학자들의 수학적 철학 La Philosophie mathématique des cartésiens 124

단원 A. 데카르트 주의의 문제들 Les problemes du cartésienisme 124

단원 B. 말브랑쉬의 수학적철학 La philosophie mathématiquede Malebrache 130

단원 C. 스피노자의 수학적철학 La philosophie mathématique de Spinoza 130

제3권 미분 분석Analyse infinitésimale 153

제9장 미분계산의 발견 La découverte du calcul infinitésimal 153

단원 A. 고대 L’antiquité 153

단원 B. 나눌 수 없는 것들의 기하학과 라이프니츠의 연산법. - La géométrie des indivisibles et l’algorithme leibnizien 163

단원 C. 페르마로부터 뉴턴으로. De Fermat à Newton 177

제10장 라이프니츠의 수학 철학 La philosophie mathématique de Leibniz 197.

단원 A. 토대Le fondement 197 §116

단원 B. 적용들 Les applications 211

제11장 수학의 이상성과 형이상학의 실재론 L‘idéalité mathématique et le réalisme métapysique 230 §134

제2부 근대 시대 Période moderne 251

제4권 비판철학과 실증주의 La philosophie critique et le posivitisme 253

제12장 칸트의 형이상학적 철학 La philosophie mathématique de Kant 253

[1절] 문제의 제기 La position du problème 253

[2절] 수학들의 기술적 개념작업 La conceptions technique des mathématiques 257

[3절] 시간과 공간의 형상[형식]들 Les formes de l’espace et du temps. 262

[4절] 선험적 연역과 도식주의 La déduction transcendentale et le schématisme 265

[5절] 수학적 인식의 상대성 La relativité de connaissance mathématique 269

[6절] 수학들과 자연의 형이상학 Les mathématiques et la métaphysique de la nature 276

제13장 오귀스트 꽁뜨의 수학 철학 La philosophie mathématique d‘Auguste Comte 282

[1절] 칸트로부터 꽁트로 De Kant à Comte 282 §170.§171.

[2절] 분석적 역학 La mécanique analytique 286 §172. §173. §174. §175. §176.

[3절] 분석기하학과 분석 열이론 La géometrie analytiqueetthermologie analytique 293.

[4절] 추상 수학 La mathémitique abstraire 296

[5절] 실증주의에서 수학 La mathémitique dans le positivisme 299 §180.

제14장 과학적 토대들의 변형 Transformation des bases scientifiques 302 §181.

단원 A. 합리적 역학의 개념작용. La conception de la mécanique rationnelle. 304. §182-§184.

단원 B. 비유클리드 기하학들 Les géométries non euclidiennec 310 §185

[1절] 사케리의 선구자들 Les précurseurs de Saccheri 313, §186 §187.

[2절] 신부 삭케리 Le P. Saccher[1667-1733]. 315 §188. §189.

[3절] 로바체프스키와 리만 Lobatchevski[1792-1856] et Riemann[1826-1866] 318 §190 §191

[4절] 메타기하학 Les métagéométries 321 §192 §193

단원 C. 분석학 과 연속성 L’analyse et la continuité 325

[5절] 18세기에서 문제 Le problème au XVIIIesiècle 325 §194

[6절] 뽕슬레에게서 연속성 La continuité chez Poncelet 327 §195

[7절] 꼬쉬의 연속성 La continuité chez Cauchy 330 §196 §197 §198

[8절] 분석의 자치 L’autonomie de l’analyse 334 §199 §200. §201

제5권 산술학의 진화 L’évolution de l’arithmétique 341 §202

제15장 수의 독단론 Le dogmatisme du nombre 344 §203.

[1절] “수의 법칙” La “loi de nombre” 345 §204. §205.

[2절] 상징론의 이론 La theorie du symbolisme[상징주의] 348 §206. §207. §208. §209.

제16장 산술적 유명론 Le nominalisme arithmétique 354

[1절] 분석론의 산술화 작업 L’arithmétisation de l’analyse 354 §210. §211.

[2절] 유명론의 이행 Le passage au nominalisme 359 §212. §213. §214.

[3절] 유명론의 진술 L’exposition nominaliste 365 §215

제6권 수리계산의 운동 L’mouvement de logistique 369 §216.

제17장 수학들의 수리계산 철학의 형성 Formation de la philosophie logistique des mathématiques 370 §217.

[1절] 대수 분석론과 기하 분석론 Analyse algébrique et analyse géométrique371

[2절] 층위들의 논리학 Logique des classes 373 §220. §221.

[3절] 명제들의 논리학과 관계들의 논리학 Logique des proposition et logique des relations 377.

[4절] 수학들의 논리적 번역 La traduction logique des mathématiques 380.

[5절] 초한수 와 연속 Le transfini et le continu 383 §227 §228 §229 §230

[6절] 논리계산의 실재론 Le réalisme logistiqie 389

제18장 수리계산 철학의 붕괴 Dissolution de la philosophie logistique 394 §234

[1절] 분석적 해석의 난점들 Les difficultés de l’interprétation analytique 395

[2절] 등급들에 대한 실재론의 난점들 Les difficultés de réalisme des classes 403

제19장 절대적 연역의 관념 L’idée de la déduction absolue 411

[1절] 뉴턴의 “절대들” Les “absolus” newtoniens 413

[2절] 퇴행적 연역과 전행적 연역 Déduction régressive et Déduction progressive 419

[3절] “에피메니데스”의 해결, La solution de l’“Epiménide” 421

[4절] 논리계산 비판의 결과 Le résultat de la critique logistique 424

제7권 수학적 지성과 진리 L’intelligence mathématique et la vérité 427

제20장 직관의 근대적 용어 La notion modern d’intuition 427

[왜 유클리드의 직관의 기원에 대한 설명을 빠뜨렸을까? 퓌타고라스를 기하학적 직관의 기원으로 보았기에? 퓌타고라스의 직관에 이원성이 있지 수와 비례(음악)에서 (58WKH)]

§257 §258

단원 A. 용어의 형성 Formation de la notion 430

[1절] 종교적 선입견들 Préoccupations religieuses 430 §259 §260

[2절] 형이상학적 직관 L’intuition métaphysique 433 §261

[3절] 과학들 속에서 직관 L’intuition dans les sciences 434 §262 §263 §264

단원 B. 근대 수학들의 방향정립 L’orientation des mathématiques modernes 437 §265

[1절] 고전적 수학들 속에서 직관 L’intuition dansles mathématiques classiques 437

§266 §267

[2절] “선천적” 원리들의 비판 Critique des principes “a priori” 440 §268 §269 §270

[3절] 현대수학자들에게서 직관 L’intuition dansles mathématiens contemporains 443

§271 §272

단원 C. 수학들에서 직관주의 운동의 해석 L’interprétation du mouvement intuitioniste dans les mathématiques 447 §273

[1절] 심리학에 도움(의뢰) Recours à la psychologie 449 §274 §275

[2절] 물리학에 도움(의뢰) Recours à la physique 449 §276 §277 §278

[3절] 수학 철학의 문제 Le probleme de la philosophie mathematique 456 §279 §280

# 인명록 *** ***

제7권 수학적 지성과 진리 L’intelligence mathématique et la vérité 427

제20장 직관의 근대적 용어 La notion modern d’intuition 427

단원 B. 근대 수학들의 방향정립 L’orientation des mathématiques modernes 437

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287 아르키메데스(Archimède de Syracuse, Ἀρχιμήδης, 전287경-212경), 고대 시실리에서 활동한 라틴 물리학자, 천문학자, 수학자, 기술자.

O

1564 갈릴레이(Galilée, it. Galileo Galilei, 1564-1642) 피사(Pisa)에서 태어나, 피렌쩨의 아르세트리(Arcetri)동네에서 세상을 떴다. 이탈리아 수학자, 기하학자, 천문학자.

1596 데까르트(René Descartes, 1596-1650), 프랑스 수학자, 물리학자, 철학자.

1598 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri, lat. Cavalerius, 1598-1647), 이탈리아 수학자, 기하학자, 천문학자. 대학교수.

1601 페르마(Pierre de Fermat, 1601-1665), 프랑스 변호사, 수학자. 1602 로베르발(Gilles Personne de Roberval, 1602-1675), 프랑스 수학자, 물리학자.

1602 로베르발(Gilles Personne de Roberval, 1602-1675), 프랑스 수학자, 물리학자.

1616 존 월리스(John Wallis, 1616-1703), 영국의 수학자.

1623 빠스칼(Blaise Pascal, 1623-1662), 프랑스 박학다식(un polymathe), 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 도덕론자, 신학자.

1646 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716), 독일 철학자, 수학자, 논리학자, 외교관, 역사가, 사서. 문헌학자. 󰡔Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704󰡕(1765 출판)는 로크의 󰡔Essai sur l'entendement humain, 1689)󰡕에 대한 반박문이다.

1736 라그랑쥬(Joseph Louis de Lagrange, en it. Giuseppe Luigi Lagrangia, 1736-1813), 이탈리아 수학자, 역학자, 천문학자. 사르데냐 왕국 출신 프랑스 귀화.

1788 뽕슬레(Jean-Victor Poncelet, 1788-1867), 프랑스 수학자, 기술자, 장군, 기하학자.

1789 꼬쉬(Augustin Louis, baron Cauchy, 1789-1857) 프랑스 수학자, 과학아카데미 회원, 에콜폴리테크니크 교수.

1801 꾸르노(Antoine Augustin Cournot, 1801-1877), 프랑스 경제학자, 수학자, 철학자. 독점, 복점, 완전협력의 모델들을 정식화하였다.

1802 아벨(Niels Henrik Abel, 1802–1829)[스물일곱], 노르웨이 수학자. 수계열들의 수렴(la semi-convergence des séries numériques),

1804 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804–1851), 독일의 수학자, 타원 함수, 역학, 미분 방정식, 행렬식 및 수론에 근본적인 기여.

1805 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805-1865), 아일랜드 수학자, 물리학자, 천문학자. 4차원과 벡터(quaternions et des vecteurs)에 기여했다.

1809 그라스만(Hermann Günther Grassmann, 1809-1877), 프러시아 수학자, 인도연구자. 언어학자, 물리학자, 네오휴머니스트.

1811 갈르와(Évariste Galois, 1811-1832)[스물하나], 프랑스 수학자.

1815 바이에르스트라스(Karl (Theodor Wilhelm) Weierstrass, Weierstraß, 1815-1897) 독일 수학자.

1819 세레(Joseph Serret, 1819-1885), 프랑스 수학자, 천문학자.

1822 에르미트(Charles Hermite, 1822-1901) 프랑스 수학자. 수들 이론, 4각형론(les formes quadratiques), 수직의 다항식(les polynômes orthogonaux).

1823 크로네커(Leopold Kronecker, 1823-1891), 독일의 수학자, 논리학자. .

1826 리만(Georg Friedrich) Bernhard Riemann, 1826-1866] 독일 수학자, 위상학 미분기하학. 비유클리드 기하학.

1839 한켈(Hermann Hankel, 1839-1873)[서른넷], 독일 수학자.

1842 리(Marius Sophus Lie, 1842–1899), 노르웨이 수학자. 연속성 체계를 미분방정식에, 그리고 대수학에 적용.

1846 미탁-레플러(Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler, 1846-1927) 스웨덴 수학자.

1849 클라인(Felix Klein, 1849-1925), 독일 수학자. 1868년 새로운 공간 기하학(Neue Geometrie des Raumes), 이 공간에 플뤽커(Julius Plücker, 1801-1868)에게 주의를 끌었으며, 플뤼커가 4차원 공간으로 이용했다고 한다. // Cf. 클라인(Morris Kline, 1908–1992), 미국 수학교수, 수학사가. 수학의 대중화에 힘씀.

1850 코발레브스키(Sofia Vassilievna Kovalevskaïa / Sophie Kowalevski, 1850-1891), 러시아 여성 수학자.

1854 쁘왕까레(Henri Poincaré, 1854-1912), 프랑스 수학자, 물리학자, 기술자, 철학자.

1856 스틸어스(Thomas Joannes Stieltjes, 1856-1894), 네델란드 수학자.

1858 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932), 이탈리아 수학자, 언어학자. 󰡔Formulaire de mathématiques, 1895󰡕(참여자: Giovanni Vailati (en), Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Gino Fano, Cesare Burali-Forti, etc)

1866 스트로브스키(Fortunat Joseph Strowski de Robkowa, 1866-1952) 프랑스 문학사가, 수필가. 문예비평가.

1871 빈터(Maximilien Winter, 1871–1935), 프랑스 철학자, 법률가. La méthode dans la philosophie des mathématiques, 1911.

*-*-각주들 438

438 1) Comte, Cours de philosophie positive, 10e leçon, I, 1830, p. 360.

[1826 리만(Georg Friedrich) Bernhard Riemann, 1826-1866] 독일 수학자, 위상학 미분기하학. 비유클리드 기하학.

438 2) Ibid., p. 361.

*-*- 439

439 1) Vide supra, § 103.

*-*- 440 주 없음

*-*- 441

441 1) [Poincaré,] Du rôle de l’intutition et de la logique en mathématiques, [dans Comptes rendus du Ile] Congrès international des mathématiciens (Paris, 1900), 1902, p. 122 et La valeur de la Science, p. 22.

441 2) Note sur l’intutition en mathématiques, Congrès de philosophie, (Heidelberg, 1908), Revue de métaphysique, 1908, p. 922 et Bericht, p. 451.

[1871 빈터(Maximilien Winter, 1871–1935), 프랑스 철학자, 법률가.]

441 3) Vide supra, § 195.

1789 꼬쉬(Augustin Louis, baron Cauchy, 1789-1857) 프랑스 수학자, 과학아카데미 회원, 에콜폴리테크니크 교수.

441 4) [Poncelet,] Applications, t. II, 1864, p. 533.

[AI: Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)et Joseph Bertrand(1822–1900)에 관련되어 있다고 한다. 그러나 꼬쉬, Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie, 1826,]

[뽕슬레(Jean-Victor Poncelet, 1788-1867), Applications d’analyse et de géométrie, 1862-1864.]

“le principe de permanence ou continuitéindéfinie des lois mathématiques des grandeurs variables par succeion insensible,”

*-*- 442

442, 1) Hankel, Vorlesung über die complexen Zahlen und ihre Funktionen, Leipzig, 1867, p. 11.

*-*- 443

443, 1) [Peano,] Principio de permanentia, Revue de mathématiques (Rivista di matematica), Turin, t. VIII, p. 84.

1858 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932), 이탈리아 수학자, 언어학자. 󰡔Formulaire de mathématiques, 1895󰡕(참여자:Giovanni Vailati (en), Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Gino Fano, Cesare Burali-Forti, etc)

*-*- 444

444, 1) Vide Supra, § 193.

444, 2) “나는, 내가 매우 싫어하는 서술적 기하학의 도표들(les épures)에서 어떤 것(사물)을 이해하기 위하여 내가 어떤 노력들에 스스로 자책하였고, 당신에게 다음을 말할 수 없을 것이다. … 분석론만을 생각할 수 있는 자들이 얼마나 행복한가!” [Hermite,] Lettre à Stieltjes, du 8 mai 1890, Correspondance, t. II, 1905.

1822 에르미트(Charles Hermite, 1822-1901) 프랑스 수학자. 수들 이론, 4각형론(les formes quadratiques), 수직의 다항식(les polynômes orthogonaux)

1856 스틸어스(Thomas Joannes Stieltjes, 1856-1894), 네델란드 수학자.

*-*- 445

445, 1) G. Darboux, La vie et l’oeuvre d’Hermite, Revue du Mois, 10 janvier 1906, p. 46. - Manuscrits et papiers inédits de Galois, Bulletin des Science mathématiques, 1906, 1er partie, p. 259.

445, 2) Cité par Darboux, ibid., p. 57.

1842 다르부(Jean Gaston Darboux, 1842–1917), 프랑스 수학자.

1811 갈르와(Évariste Galois, 1811-1832)[스물하나], 프랑스 수학자.

1848 딴느리(Jules Tannery, 1848-1910), 프랑스 수학자. 박사학위논문: <Propriétés des intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients variables, 1874>. (Notions historiques à la suite des Notions de Mathématiques de Jules Tannery, 1903).

445, 3) “바이에르스트라스가 덧붙이기를, 소위 말하는 비합리적 수는, 사유의 영역에서 그 어떠한 다른 것만큼 실재적인 현존을 소유한다고 내가 말 하는 반면에 …”. Une page de la vie de Weierstrass, Communication de Mittag-Leffler, au deuxième Congrès international des mathématiciens, p. 150.

1846 미탁-레플러(Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler, 1846-1927) 스웨덴 수학자.

1850 코발레브스키(Sofia Vassilievna Kovalevskaïa / Sophie Kowalevski, 1850-1891), 러시아 여성 수학자.

445, 4) Ibid., p. 149. 같은 의미에서 우리는 미탁-레플러(Mittag-Leffler)의 구절들을 뽑아올려보자: “아벨(Abel)은 기하학적 고찰들에게 덤벼들지 않는다. 그리고 명제들 또는 기하학적 방법들을 위하여 최소한의 관심을 드러내지 않았다. 그럼에도 불구하고 마치 거의 어느 사람들도 자기보다 앞서 또는 뒤에 선물을 갖지 못했듯이, 그는 직관의 선물을 가졌다.” Revue du Mois, 10 août 1907, p. 220.

*-*- 446

446, 1) [Pascal,] Potestatum numericarum summa, Oeuvres, t. III, 1908, p. 366. Cf. Strowski, Pascal et son temps, t. II, 1907, p. 289.

1866 스트로브스키(Fortunat Joseph Strowski de Robkowa, 1866-1952) 프랑스 문학사가, 수필가. 문예비평가.

446, 2) [Lagrange,] Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1777, § 109, Oeuvres, éd. Serret, t. III, 1869, p. 403. Cf. Winter, Caractères de l’Algèbre moderne, Revue de métaphysique, 1910, p. 492 et suiv; et La méthode dans la philosophie des mathématiques, 1911, p. 149 et suiv.

[1736 라그랑쥬(Joseph Louis de Lagrange, en it. Giuseppe Luigi Lagrangia, 1736-1813), 이탈리아 수학자, 역학자, 천문학자. 사르데냐 왕국 출신 프랑스 귀화.]

[1819 세레(Joseph Serret, 1819-1885), 프랑스 수학자, 천문학자.

[1871 빈터(Maximilien Winter, 1871–1935), 프랑스 철학자, 법률가. La méthode dans la philosophie des mathématiques, 1911,]

446, 3) Vide infra, § 349 et suiv.

*-*- 447

447, 1) [Riemann,] Théorie der Abel’schen Functionnen(1857). Hadamard, La Géométrie de situation et son rôle en mathématiques, Revue du Mois, 10 juillet 1909, p. 47 et suiv.

[1865 아다마르(Jacques Salomon Hadamard, 1865-1963), 프랑스 수학자.]

447, 2) [Comte,] Cours de Philosophie positive, t. I, 1830, p. 118.

447, 3) Cournot, De l'origine et des limites de la correspondance entre l'algèbre et la géométrie, 1847, p. 371.

[1801 꾸르노(Antoine Augustin Cournot, 1801-1877), 프랑스 경제학자, 수학자, 철학자. 독점, 복점, 완전협력의 모델들을 정식화하였다.

[1849 클라인(Felix Klein, 1849-1925), 독일 수학자. 1868년 새로운 공간 기하학(Neue Geometrie des Raumes), 이 공간에 플뤽커(Julius Plücker, 1801-1868)에게 주의를 끌었으며, 플뤼커가 4차원 공간으로 이용했다고 한다. // Cf. 클라인(Morris Kline, 1908–1992), 미국 수학교수, 수학사가. 수학의 대중화에 힘씀.] Elementarmathematik vom höheren Standpunkt und seine Vorlesungen über das Ikosaeder,

447, 4) [Klein,] Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus, I, Leipzig, 1908. Excurs über die moderne Entwicklung uns den Aufbau der Mathematik überhaupt, p. 180 et suiv.

[Kline, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert(2 Bände), Berlin 1926 und 1927.

(6:06, 59SKI) (7:35, 59SLF)

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