[수학만들기]10902권담희

[10902 권담희]

1. 활동명:현수면 만들기

2. 활동 소개:실생활에서 흔히 볼 수 있는 곡선의 한 종류인 현수선을 알아보고, 현수선을 회전시켜서 만든 현수면의 특징에 대해 알아보는 활동이다. 현수면을 만드는 종이 키트를 이용해 두 종류의 현수면을 만든다.

3. 나의 역할:현수면을 만들었다.

4. 활동과 관련된 수학 개념:

현수면은 현수선을 x축으로 회전시켜 만든 곡면이다. 위의 사진과 같은 모양을 한다. 이때 현수선이란 나란한 두 점 사이 매달린 끈이 끈 자체 무게 때문에 아래로 늘어지며 만들어진 곡선이다. 현수선은 쌍곡코사인 함수로도 나타낼 수 있다. 현수선은 자체 무게만으로 나타나는 밀도가 균일한 선상으로 물리학적으로 증명된 곡선이여서 각 지점에는 중력과 장력만 작용한다. 위의 두번째 그림은 현수선의 역학적 평형에 대해서 설명하는데 T1,T2는 양쪽을 잡아당기는 줄의 장력이고 아래로는 중력이 작용하는걸 알 수 있다. 현수선의 분홍 부분에는 방금 말한 세 힘이 작용한다. 그리고 분홍색 부분이 역학적 평형을 이루고 있으므로 세 힘을 모두 더하면 총합 0이 되어야 한다. 물체에 작용하는 힘이 총합 0이면 물체는 그냥 그자리에 가만히 머물 수 있기 때문이다.  이를 분석함으로서 수학적으로 나타낼 수 있다. 흔히 예로 빨랫줄을 든다. 현수선은 포물선과 매우 유사한 곡선이지만 허공으로 물체를 던지면 물체가 그리는 궤적의 모양이 포물선이 된다는 것을 증명한 갈릴레오 갈릴레이도 현수선이 포물선과 유사한 곡선일 거라고 추정했다. 하지만 현수선과 포물선은 다르다. 아래 사진은 현수선과 현수면이 어떻게 다른지 보여주는 사진이다.

현수선 문제에 대해서 경쟁한 수학자들이 있다. 형,동생인 야곱 베르누이와 요한 베르누이다. 야곱은 현수선의 비밀을 찾으려 했으나 실패했고 동생은 현수선의 비밀을 금새 풀어내었다. 그 이유는 야곱은 기존 이미 알려진 곡선에서 출발해 현수선을 분석했기 때문이고 요한은 기존 곡선을 이용해 현수선을 이해한다는 편견을 버리고 현수선에 작용하는 힘을 물리적으로 분석하고, 현수선에 작용하는 중력과 장력에 대해 분석하고, 당시 최신 학문이였던 미적분을 이용해 나태나고 풀어내었기 때문이다. 그렇게 현수선을 알아냄으로서 현수선 방정식은 아래와 같다.

포물선의 방정식은 y=ax^2+bx+c인데 현수선 방정식과는 확실히 다른것을 알 수 있다. 일반적으로 모든 현수선 모양은 닮음이다. 현수선 아치로 알려진 것 중에 정확히 현수선이 아닌 경우가 있는데 그런 경우 y=acosh(bx)를 만족하고 ab=1인 경우 현수선이다.

5. 활동과 관련된 나의 질문:현수선을 이용한 건축물,사물은 무엇이 있을까?

6. 질문에 대한 나의 답:

스페인 건축가인 안토니 가우디는 현수선 아치의 장점을 이용해 많은 건축물을 만들었는데 그 중 하나가 사그라다 파밀리아 성당을 만들었다. 아치 형태 중 현수선 모양을 위아래로 뒤집어 놓았을때 생기는 아치가 가장 안정적인 구조를 갖는다. 현수선이 중력에 대하여 중력,장력만으로 지탱되기 때문이다. 아치의 역할은 힘의 방향만 반대일뿐 현수선과 동일하다.

위 사진을 보면 광안대교 또한 현수선을 이용한 현수교이다. 현수교하면 높은 주탑이 빠질 수 없다. 현수교의 주탑이 높은 이유는 아래와 같다.

물체가 더 아래 있으면 크지 않은 힘으로 줄을 당기지 않아도 이 모습을 유지할 수 있다. 양쪽에서 줄을 당겨 점점 물체가 위로 올라갈 수록 더 큰 힘이 필요하다.

7. 통해 알게 된 사실: 현수선을 이해하여 현수선과 포물선의 차이점을 정확히 이해할 수 있게 되었다. 현수선에 작용하는 힘인 중력과 장력이 어떤식으로 작용하는지 이해하여 현수선이 역학적으로 평행이 되는 이유를 알게 되었다. 현수선을 이해해서 현수면이 어떻게 만들어 졌는지 알게 되었다. 현수선이 적용된 구조물을 알게되었다.