입실론-델타 문제 풀다가 드는 의문점!!!

[아이시떼루]

안녕하세요.. 입실론-델타가 잡힐듯 하면서도 안잡히네요 ㅠ_ㅜ,,,

나름 이 부분이 재밌기는 한데, 떠오르는 의문점들을 해결할 길이 딱히 없어서

여기다 글 올립니다..

토마스 캘큘러스 문제인데, 증명은 솔루션 부분을 거의 베껴 적다시피 한;;;

암튼 질문을 A, B, C 세 개 정도로 할게요..

고수님들 도와주세요 +_+!!

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lim_{x→0} √(4 - x) = 2 임을 증명하시오.

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pf)

|√(4 - x) - 2| < ε     ⇒     2 - ε < √(4 - x) < 2 + ε     ⇒     -ε² - 4ε < x < -ε² + 4ε

|x - 0| < δ     ⇒     δ = min{-ε² - 4ε, -ε² + 4ε}

                                      (그런데 "⇒"를 너무 남발?하고 있는거 아닌지...?)

∴ δ = -ε² + 4ε

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A. 일단 채점자 입장에서 저 정도면 10점 만점에 몇 점 주고 싶은 풀이인가요?

(제가 보기엔 고딩을 갓 졸업한 꼬꼬마들이 아기자기하게 나름 잘 푼거 같거든요..)

교수님이 몇몇 애들더러 앞에 나가서 칠판에다 증명을 적으라 하셨는데,

애들이 하나같이 솔루션이랑 아주아주 유사하게 해놓으니까

"음, 그래 편의상 그렇게 쓴 거군.. 뭐 괜찮아.. 굳잡~"

이라고 말씀하셨어요.

비록 이 문제는 아니지만 인터넷 돌아다니다 보니까

1/(1 + δ) 이렇게 분모로 들어간 δ를 선형?으로

1 + kδ 요렇게 빼내는 테크닉도 구사하고 그러던데,, (암튼 멋있고 그랬어요..ㅠ)

똑같은 문제 상황이라 할지라도

푸는 사람의 내공에 따라 증명의 질이 달라지는 그런 부분인가요?;;

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B. 이름은 "입실론-델타"인데,

마주치는 풀이마다 입실론, 델타를 왔다갔다 하네요 ㅠ

(제가 느끼기에..)위와 다른 방식으로 푼 예를 들자면,

y = x² 이란 함수에서 lim_{x → -2} y = 4 임을 증명하란 문제에서,

(δ < 1에 대해)     (Q.왜 이렇게 δ의 범위를 한정하죠?

                                                   모든 양수범위의 입실론,델타에 대해서 성립해야 하는게 아닌지..;)

 0 < |x - (-2)| < δ     ⇒     -2 - δ < x < -2 + δ, x ≠ -2

|x² - 4| < ε     (Q.맨 첨 문제는 f(x), ε포함 부등식에서 x에 관한 부등식으로 정리해서 δ를 정했다면, 

                                     지금 이 방식은 x, δ에 관한 부등식에서 f(x), ε에 관한 식으로 거꾸로 다가가네요;

-4 - δ < x - 2 < -4 + δ                   그러니까 "ε 먼저, δ 나중"이나 "δ 먼저, ε 나중"은 상관 없나요?)

|x - 2| < max{|-4 - δ|, |-4 + δ|} = δ₁

|x+2|*|x-2| < δ*δ₁     ⇒     δ = ε/δ₁

∴ δ = min{ε/δ₁, 1}

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C. 다시 첫 문제로 돌아가서,

δ = min{-ε² - 4ε, -ε² + 4ε} <<< 요 부분 말인데요,

(y = -x² - 4x, y = -x² + 4x 두 그래프를 머릿속으로 그려놓고 생각해보면)

ε > 0, δ > 0 니까 0 < ε < 4 범위에서만 δ > 0 으로 의미가 있더라구요..

그러면 나머지 ε ≥ 4 인 경우엔 δ ≤ 0 이 되던데, 상관 없나요?;

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아, 질문이 나름 기네요 ㅠㅠ

긴 글 읽어주셔서 감사합니다!!

복 받으세요..

[지킴이]

ε-δ방법을 사용하시려면 정의를 먼저 잘확인하셔야합니다. 정의를 보면 분명 δ가 존재하여 ε에관한 부등식이 성립한다. 이런식으로 되어있습니다. 물론 실제로 δ를 구하기 위해서는 대부분 ε에대한 부등식에서부터 거꾸로 올라가면서 찾지만(마치 첫번째문제풀이처럼) 그러나 답을 작성할때는 찾는방법의 거꾸로가는 글작성을 해야합니다. 그래야 논리에 맞겠죠. 그래서 두번째 문제에서는 첫번째와는 순서가 달라보이는 겁니다. 그리고 명심해야할 점은 δ를 찾는 방법이 ε을 이용하여 거꾸로 올라가는 법만 있는 것은 아니라는겁니다. 따라서 제생각으로는 첫번째 문제풀이는 감점을 많이 당할것같은 답안입니다.

[지킴이]

그 감점 요소중에 하나로 세번제 질문하신것이 있을 수 있습니다. 첫번째 답안작성시 세번째에서 님께서 의문점을 가지신 부분을 첫번째 답안작성자는 전혀 고려하지 않는다고 판단되는바 감점요소로 보여질 것같습니다. 끝으로 <δ는 존재한다>이므로 δ의 범위를 정하는 것에 대해서는 아무런 논리적 문제가 없습니다. 그리고 증명을 한다는 것은 출제자와 작성자가 의사소통한다는 뜻입니다. 실제로 우리가 말하는 일상생활의 용어 문자도 해석하는 것에 따라 의미가 달라집니다. 수학에서의 증명도 마찬가지입니다. 정의나 용어같은것을 너무 한방향에서만 해석하지마시고 여러방면으로 해석하며 음미해보세요.

[아이시떼루]

답변 감사합니다~!!! 좀 더 연구해볼게요 ^^; 즐거운 주말 되세요 ㅎ;

[세원군]

2번째 풀이가 실제로 답이 되는가요? 왠지 뭔가 많이 이상해 보이는데;;

[아이시떼루]

증명이 "출제자와 작성자의 소통"이란 관점에서 일단 소통이 됬으니 틀린 증명은 없는거 같네요..
다만 부실한 증명일뿐..ㅠ_ㅜ
아 누군가 모범 증명 좀 써주셨으면 좋겠네요;

[박찬호짱]

2번 문제의 경우에는 주어진 함수가 2차라서 약간의 테크닉이 필요합니다. 먼저 입실론이 주어졌다고 합시다. 그렇다면 우리가 해야할 일은 0 < |x - (-2)| < δ 일 경우 |x² - 4| <ε이 성립하게 되는 델타를 찾는 일입니다.
0 < |x - (-2)| < δ이면 0 < |x +2| < δ 이고, 이경우 |x² - 4| =Ix+2I*Ix-2I <δ*Ix-2I 이 성립합니다. 남은 일은 δ*Ix-2I≤ε 이 되도록 델타를 잡는 일입니다. 이부분에서 테크닉이 필요한데요, 우선 델타의 범위를 정해 보겠습니다. 즉 x가 -2에서 떨어진 정도를 정하겠습니다. 작을 수록 좋은데요(공부하다보면 왜 작은수로 잡는게 좋은지 이해되실겁니다^^;;) 델타를1로 잡아볼께요.

[박찬호짱]

그럼 0 < |x +2| < δ ⇒ 0 < |x +2| < δ=1 ⇒ -3<x<-2 , -2<x<-1 이됩니다. 이 범위에서는 Ix-2I<5 이 성립합니다. 따라서 ε이 주어졌을때 δ={1, ε/5}로 잡으면 0 < |x-(-2)| < δ ⇒ |x² - 4| =Ix+2I*Ix-2I <δ*5 ≤ 5*ε/5=ε 이 되어 증명이 끝납니다..책에보면 분명 이차식일경우 입실론델타로 푸는 예제가 있을거예요 꼭확인하시고 풀어보세요^^