x가 무한대로 갈 때 (lnx)/x =0 증명 질문입니다.

[성지훈]

 물론 로피탈의 정리를 활용하는 것이 가장 간편하고 학생들에게도 그렇게 설명해왔지만, 학교에서는 로피탈의 정리를 안 배우는데 고등학생입장에서 어떻게 증명해야 하느냐고 물어보는 학생이 있더군요. 그래서 오늘 한 번 시도해봤습니다. 미적2에서 여러가지 미분법까지 배운 학생이 대상이었습니다.

충분히 큰 임의의 양수 x에 대해 {(lnx)^2}/(x^2) >0 ----- ㄱ

f(x)=(lnx)^2 라 두고 f(x)의 그래프를 그려보면,

f'(x)=2lnx/x, f''(x)= 2(1-lnx)/x^2 이므로 (1,0)이 극솟값, (e,1)이 변곡점이고 x>e 일 때, 위로 볼록하게 증가하는 형태이다.

따라서 충분히 큰 임의의 양수 x에 대하여 (lnx)^2 < x ----- ㄴ

ㄱ, ㄴ 에서 충분히 큰 임의의 양수 x에 대하여 0 < (lnx)^2 < x 이므로 각 변을 x^2으로 나누면 0 < {(lnx)^2}/(x^2) < 1/x.

x가 무한대로 갈 때 좌변과 우변 모두 0에 수렴하므로 조임정리에 의해 {(lnx)^2}/(x^2)도 0에 수렴한다.

{(lnx)^2}/(x^2)={(lnx)/x}^2 이므로 x가 무한대로 갈 때 (lnx)/x 도 0에 수렴한다.

혹시나 증명과정 중에 오류가 있다면 지적 좀 부탁드리겠습니다.

[성지훈]

같은 방식으로 x가 무한대로 갈 때 x/(e^x) =0의 증명도 충분히 큰 임의의 양수 x에 대해 x<(루트e)^x 이므로 충분히 큰 임의의 양수 x에 대해x^2<e^x가 성립하고 양변을 x로 나눈 후 역수를 취하면 1/x > x/(e^x) > 0 에서 조임정리를 쓰면 될 듯 합니다. x/(e^x)=0 증명이 본문의 (lnx)/x =0 증명보다 훨씬 더 간단하네요. 이걸 먼저 했다면 위의 증명도 lnx=t로 치환하면 똑같은 증명이니 훨씬 간편했을텐데.. 하필 (lnx)/x =0 을 먼저 증명했네요...

[수학쟁이™]

오류는 없는거 같네요.

저는 무한대로 갈때 ln(x)의 접선의 기울기는 0에 가까워지고 따라서 ln(x)를 다항함수에 근사시키면 기울기가 0인직선 즉 상수함수로 근사하기때문에 (상수함수)/무한대 = 0 ...이렇게 설명합니다.

[성지훈]

감사합니다~

[푸른들]

g(x)=sqrt(x)-lnx이면, g'(x)=1/2sqrt(x)-1/x=(sqrt(x)-2)/(2x)이므로 g(4)는 극소이자 최소이고 g(4)=2-ln2>0
따라서 x->infty, 0 < lnx/x < sqrt(x)/x ->0

[성지훈]

x/e^x을 증명한 후에는 저도 lnx/x를 그렇게 증명했었어요. 글을 쓴 직후에 x/e^x을 증명하고 lnx/x도 다시 생각해보니 그렇게 하는게 간편한 것 같아서요. 딱히 고등학생이 이해하기 힘든점이나 오류는 없는거죠?

[푸른들]

네. 오류없어요^^

[성지훈]

감사합니다~

[성지훈]

감사합니다^^