Re:무게중심

[人間]

왜 어떤 삼각형의 무게중심과 그 삼각형의 각 변을 2:1로 내분하는 점들을 이어 만든 삼각형의 무게중심이 같죠? 증명해주세요.(중학교때 배우는 증명, 해석기하학으로 증명 하는 것 모두)
-----------------------------------------------------------------------------
좌표평면을 이용해서 위 사실을 확인해보죠.
좌표평면과 삼각형ABC가 주어졌다고 합시다.
각 A를 좌표평면의 원점에 두고 나머지 두각 B, C의 좌표를 (x,y), (a,b)라고 두죠.
이 삼각형의 무게중심의 좌표는 ( (0+x+a)/3, (0+y+b)/3 )=( (x+a)/3, (y+b)/3 )이 됩니다.

각 변을 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구해 봅시다.
먼저 변 AB를 2:1로 내분하는 내분점의 좌표는( (2x+1*0)/3, (2y+1*0)/3 )=(2x/3, 2y/3)입니다.
변 BC를 2:1로 내분하는 내분점의 좌표는 ( (2a+x)/3, (2b+y)/3 )입니다.
변 CA를 2:1로 내분하는 내분점의 좌표는 ( (2*0+a)/3, (2*0+b)/3 )=(a/3, b/3)입니다.

이 내분점을 각각 P,Q,R이라고 둡시다.
삼각형 PQR의 무게중심을 구해보면
( {(2x+(2a+x)+a)/3}/3, {2y+(2b+y)+b}/3 )=( (x+a)/3, (y+b)/3 )이고
이것은 삼각형ABC의 무게중심과 같습니다.



그리고 왜 어떤 삼각형의 무게중심과 그 삼각형의 각 변의 중점을 이어 만든 삼각형의 무게중심이 같죠? 증명해주세요.(중학교때 배우는 증명, 해석기하학으로 증명 하는 것 모두)
----------------------------------------------------------------------------
각 변의 중점의 좌표는 각각 (x/2, y/2), ((x+a)/2, (y+b)/2), (a/2, b/2)입니다.
이 세 점의 무게중심의 좌표는 ({(x+(x+a)+a)/2}/3, {(y+(y+b)+b)/2}/3)=((x+a)/3,(y+b)/3)
이고 이것은 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표와 같습니다.

[1815-1897]

감사합니다. 그런데 위의 증명은 해석기하학적으로 증명한 것인데, 중학교때 배우는 그런 증명으로는 불가능한가요?