첫번째 문제는 그림을 그려야 편합니다. 밑에 있는 변의 직선의 방정식을 구해서 윗변의 어느 한점과의 거리를 구하면 그것이 높이이고 밑변의 길이는 길이구하는 공식으로 쉽게 구할 수 있으니까 평행사변형의 넓이를 구하면 됩니다. OA의 직선의 방정식은 기울기 1-0/2-0=1/2, 원점을 지나므로 y=(1/2)x, 즉, 2y-x=0, 이 직선과 점 C와 거리를 구하면 h=│2-1│/√(4+1) = 1/√5, OA의 길이는 √((2-0)²+(1-0)²)=√5이므로 평행사변형의 넓이는 (1/√5)*(√5)=1
두번째 문제도 그림을 그려야 편합니다. x+3y-3=0의 x절편은 3, y절편은 1이므로 두 점 사이를 삼등분하는 점을 잡으면 밑변의 길이와 높이가 같은 세 삼각형이 만들어집니다. 삼등분하는 점은 1:2로 내분, 2:1로 내분하는 점을 찾으면 됩니다. 1:2로 내분하는 점은 (1*3+2*0/1+2,1*0+2*1/1+2)=(1,2/3), 2:1로 내분하는 점은 (2*3+1*0/2+1,2*0+1*1/2+1)=(2,1/3), 이 두 점과 원점과 기울기를 구하면 되므로 기울기는 각각 (2/3-0)/(1-0)=2/3, (1/3-0)/(2-0)=1/6, (2/3) + (1/6) = 5/6
세번째 문제는 f(k)를 구하면, x+y+(x-y)k-2=0에서 (1+k)x+(1-k)y-2=0이므로 f(k)=│(1+k)*0+(1-k)*0-2│/√((1+k)²+(1-k)²) = 2/√(2k²+2), 이 값이 최대가 되려면 √2k²+2의 값이 최소가 되야 하므로 k=0일 때 √2k²+2가 최소이므로 최대값은 2/√2 = √2
네번째 문제도 역시 그림을 그려야 편합니다. 저는 좌표가 주어진 문제면 그림을 그려봅니다. 선분AC와 선분PQ의 교점을 구해서 그 교점의 y좌표는 삼각형의 높이가 됩니다. 그래서 삼각형 A(지금 구할 좌표)Q는 전체 넓이의 반이 된다는 것을 이용해서 a를 구하면 됩니다. AC의 직선의 방정식은 기울기 2-0/2-0=1, 원점을 지나므로 y=x, PQ의 직선의 방정식은 기울기 3-0/2-a, (2,3)을 지나므로 y-3=(3/(2-a))(x-2), AC와 PQ의 교점은 (x-3)(2-a)=2x-ax-6+3a=3x-6, (1+a)x=3a, x=3a/(1+a), y=3a/(1+a), 따라서 삼각형 A(지금 구한 좌표)Q의 넓이를 구하면 (1/2)*a*(3a/(1+a))=3a²/2(a+1) <- 이 값이 전체 넓이의 반이므로 전체 넓이는 (1/2)*3*2=3, 따라서 3a²/2(a+1)=3/2, a²=a+1, a²-a-1=0, a=(1±√(1²-4*1*(-1)))/2 = (1±√5)/2, a의 범위는 0<a<3 이므로 a=(1+√5)/2
다섯번째 문제는 무게중심(0+3+1/3, 0+0+2/3), 외심은 꼭지점에서 중심 o까지의 거리가 같으므로 OA²=OB²=OC²과 거리 구하는 공식을 이용해서 풀면 되요. 외심 O의 좌표를(a,b)라 하면 OA²=(a-0)²+(b-0)², OB²=(a-3)²+(b-0)², OC²=(a-1)²+(b-2)²이니까 OA²=OB²에서 a²+b²=a²+b²-6a+9, a=1.5, OB²=OC²에서 a²+b²-6a+9=a²+b²-2a-4b+5, 4b=4a-4, b=1.5-1=0.5, 즉 외심 O의 좌표는 (1.5,0.5), 수심은 삼각형의 각 꼭지점에서 대변에 내린 수선이므로 두 수선의 직선의 방정식을 구해서 풀면 됩니다. 좌표를 정확하게 찍어서 그림을 그려야 합니다. C에서 내린 수선의 직선의 방정식을 구하면 x축에 수직이므로 x=1, A에서 내린 수선의 직선의 방정식을 구하면 BC에 수직이므로 BC의 기울기를 먼저 구하면 0-2/3-1=-1, 따라서 A에서 내린 수선의 직선의 방정식의 기울기는 m*(-1)=-1, m=1, 이 직선의 방정식은 원점을 지나므로 y=x, 따라서 x=1,y=1인데 이 두 직선의 방정식을 연립해서 푸는 것은 교점을 구하는 일이므로 수심의 좌표는 (1,1)입니다.