정수론 수욜날 퀴즈에요ㅠㅠ제발 답변부탁드려요, 5문제입니다ㅠ

[jisoo choi]

영어로 되어 있는 문제들인데, 실상 해석이 어렵지는 않거든요ㅠ 부탁드립니다

1. Probably first studied by Leonhard Euler(1707-1783), the Catalan sequence : 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 ...

is defined by Cn=C(2n, n) / (n+1), n≥0. The Catalian numbers satisfy the followings (단, 문제에 C(2n,n)의 C는 조합, Cn은 n번째 Catalian number)

(a) C2 = 2 C1

(b) C3 = 3 C2 - C1

(c) C4 = 4 C3 - 3 C2

(d) C5 = 5 C4 - 6 C3 + C2

(e) C6 = 6 C5 - 10 C4 + 4 C3

(f) C7 = 7 C6 - 15 C5 + 10 C4 - C3

(g) Then, speculate about general form of these equations

(h) Prove or disprove your speculations from part (g)

원래, (a)부터 (f)까지도 다 문제인데... 해 보면 다 성립하더라구요, (g) (h)만 좀 부탁드려요ㅠ

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2.  Let X and Y be disjoint sets containing n and m elements, repectively. In how many different ways can an (r+s)-element subset Z be chosen from X U Y if r of its elements must come from X and s of them from Y ?

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3. Prove Vandermonde's identity : If m and n are positive integer, then

C(m,0)C(n,r) +  C(m,1)C(n,r-1) + ... + C(m,r)C(n,0) = C(m+n,r)

조합론적으로는 이해하겠는데, 제가 원하는건 대수적인 증명입니다ㅜ

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4. Starting with F0 = F1 = 1, the Fibonacci numbers satisfy the recurrence Fn = Fn-1 + Fn-2, n≥2. 

Prove that Fk+n = FkFn + Fk-1Fn-1 (Fk+n은 k+n번째 피보나치수열항, Fn-1 k-1은 각각 n-1, k-1번째 항을 의미)

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5. Prove ∑(k=1~n) k² C(n,k) = n(n+1)*2의(n-2)제곱 and make an idendity for ∑(k=1~n) k의p제곱*C(n,k)

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이상 다섯문제입니다

수식 입력을 할 줄 몰라서 좀 난해하게 쓰여진 것 같은데, 죄송하구요ㅜ

퀴즈가 코앞인데 문제는 안 풀리고 돌겠습니다

수학 고수님들의 답변 기다릴게요

교수님은 분명 쉬운 문제들이라고 했는데

제가 수학과가 아닌지라... 봐도 봐도 모르겠네요

암튼, 부탁드리겠습니다 !!!! -_ㅜ

[세원군]

1번은 설명이 애매하네요.. 대충 보면 맨 앞줄을 기준으로 계수들이 수열을 이루고 있어요.. 특징을 잘 살펴보시면 인접한 두 수열간의 관계가 있거든요.. 그걸로 하면 general form은 추측이 가능하고, 증명은.. 못하겠어요 ㅜㅜ
4번은, 피보나치 수열을 n부터 2차원적으로 배열해서 저 점화식대로 풀면 앞의 계수가 파스칼의 삼각형이랑 일치하죠. 그래서 저식이 나오는걸 직관적으로 알 수 있고, 엄밀한 증명은 임의의 n에 대하여 k에 대한 귀납법을 사용해보세요(k=1일때 성립, k=m일때 성립시 k=m+1일때도 성립)
5.k^2*nCk=n*k*n-1Ck-1=n*(k-1+1)*n-1Ck-1=n(n-1)*n-2Ck-2+n*n-1Ck

[jisoo choi]

감사합니다ㅜ함해볼게요!시간 되시면 다른 문제도 부탁드려요ㅜ

[세원군]

2번의 뜻을 잘 모르겠어요.. '(r+s)-임의의 원소' 집합인지, 그냥 'r+s'집합인지.. 후자야 mn일테고, 전자면 숫자에 따라 바뀌니까 확답이 불가능할듯 하네요..
3번은 (x+1)^(m+n)=(x+1)^m*(x+1)^n 해서 양변의 x^r계수를 비교하시면 위의 식이 나오겠네요.

[jisoo choi]

대단하세요ㅜ 알려주신대로 열심히 한번 해볼게요 !!!! 2번 뜻은 사실..저도 헷갈리네요ㅜ 제가 잘 생각해볼게요.. 정말 감사합니다 !!!

[KAISTIAN]

1. General Form은 sigma(k=1~n) (-1)^(k+1) C(n-k+1, k) C(n-k)가 될거같네요. 증명은 잠시..

[KAISTIAN]

음.. 잘 떠오르지 않네요 ㅠㅠ 조합론을 해본적이 없어서...

[jisoo choi]

C(n-k)는 C(n,k)를 말씀하시는건가요? 아무튼 감사합니다, 그 정도만으로도 충분히 감사드려요 !!ㅜㅋ

[KAISTIAN]

C(n-k)는 카탈란수에요.