보니까 학부저학년인것같은데 differential form 이란거에 대해서 이해하려면 많은 것들이 필요합니다.(미적분학, 선형대수, 미분기하 등등) 시간이 필요하지요. 아마 학부 4학년때쯤 되면 다양체해석학이나 미분위상 과목에서 자세하게 다룰 겁니다. 지금으로써 이걸 이해시키려면 아마도 몇번의 긴 글을 써야할테고 그걸 쓴다고 해도 읽고 이해할 수 있을지 의문이네요.
본질적으론, dy/dx가 분수이기 때문입니다. 분수로 계산한다는 말이 아마도 dy/dx X dz/dy = dz/dx, 1/(dx/dy) = dy/dx 같은 공식을 의미하는 걸로 짐작됩니다만, 이러한 공식은 기적이 아니라 사실 dy/dx가 두 양의 몫의 '극한'으로 정의되고, 몫에 대해서 위의 식이 성립하기 때문에 (예를 들어, dx, dy가 모두 어떤 실수일 경우) 그 극한에 대해서도 성립할 거라는 건 충분히 기대할 수 있는 현상입니다. 물론 엄밀히 증명을 해야 하는 사실이지만요.
굳이 differential form의 언어가 없어도, 일변수 함수에 대한 저 두 공식(전자를 함성함수의 미분, 후자를 역함수 정리라고 부릅니다)은 증명할 수 있습니다. 예를 들어, y = f(x), z = g(y)꼴의 함수일 때, k = f(x+h)-f(x)라 하면, dz/dx = lim h -> 0 (g(f(x+h))-g(f(x))/h = lim h -> 0 (g(f(x+h))-g(f(x)))/(f(x+h)-f(x)) X (f(x+h)-f(x))/h = lim k -> 0 (g(y+k)-g(y))/k X lim h -> 0 (f(x+h)-f(x))/h = dz/dy X dy/dx가 됩니다. 역함수 정리 역시, 복잡한 테크닉 없이 증명 가능합니다.
오히려 differential form은, 미적분학의 기본 정리 (y = f(x)일 때, int_a^b dy/dx dx = f(b)-f(a))를 임의의 차원으로 확장시키려는 결과의 산물입니다. 그리고 differential form을 이용한 Stokes 정리 등의 증명을 자세히 들여다 보면, 결국은 우리가 잘 알고 있던 일변수 미적분 (위의 사실들을 포함한)의 반복적 사용이라는 것을 알 수 있습니다. 결국, differential form을 제대로 이해하기 위해서는 일변수 미적분을 제대로 이해하는 것이 필수입니다.
첫댓글 differential form 이란거에 대해서 찾아보세요.
differential form 에 대해서 찾와봤는데 너무 자료가 많아서 잘 이해가 안가요 그리고 제가 모르는 부분이 넘 많아서 그러는데요 좀 더 구체적으로 설명해주시면 안될까요ㅠㅠ
보니까 학부저학년인것같은데 differential form 이란거에 대해서 이해하려면 많은 것들이 필요합니다.(미적분학, 선형대수, 미분기하 등등) 시간이 필요하지요. 아마 학부 4학년때쯤 되면 다양체해석학이나 미분위상 과목에서 자세하게 다룰 겁니다. 지금으로써 이걸 이해시키려면 아마도 몇번의 긴 글을 써야할테고 그걸 쓴다고 해도 읽고 이해할 수 있을지 의문이네요.
그럼요 differential form 을 이용하지 않고 설명할수 있는방법은 없나요?ㅠㅠ
네. dx 나 dy가 뭔지 알아야되지 않겠습까? 그런걸 differential form이라하니 그걸 모르고서야 설명할 수가 없겠네요.
x변화량의 극한을 dx, y변화량의 극한을 dy라고 해요 그것들의 비율의 극한을 dy/dx라고 합니다. differential form까지 갈 필요는 없을 것 같네요 물론 가장 일반화시킨거긴하지만..
참고로 그거 제대로 이해하려면 대학원가도 힘들거라는말 들어본것 같습니다. 학부수준에서는 Ordinary Differential form 은 분수로 변수분리가 가능하지만 Partial로 넘어가면 안되는거로 알고잇어요 ㅎ
응? 대학원 미분다양체 이론이나 미분위상에서도 다 다루는 내용들이고 한번만 들어도 이해할 수 있는거에요. 어려운거 아닙니다;;; 웬만한 석사생이라면 누구나 이해할 수 있는 내용. 사실은 미적분학 내용이에요. 요즘 미적분학 책에도 나올껄요?
본질적으론, dy/dx가 분수이기 때문입니다. 분수로 계산한다는 말이 아마도 dy/dx X dz/dy = dz/dx, 1/(dx/dy) = dy/dx 같은 공식을 의미하는 걸로 짐작됩니다만, 이러한 공식은 기적이 아니라 사실 dy/dx가 두 양의 몫의 '극한'으로 정의되고, 몫에 대해서 위의 식이 성립하기 때문에 (예를 들어, dx, dy가 모두 어떤 실수일 경우) 그 극한에 대해서도 성립할 거라는 건 충분히 기대할 수 있는 현상입니다. 물론 엄밀히 증명을 해야 하는 사실이지만요.
굳이 differential form의 언어가 없어도, 일변수 함수에 대한 저 두 공식(전자를 함성함수의 미분, 후자를 역함수 정리라고 부릅니다)은 증명할 수 있습니다. 예를 들어, y = f(x), z = g(y)꼴의 함수일 때, k = f(x+h)-f(x)라 하면, dz/dx = lim h -> 0 (g(f(x+h))-g(f(x))/h = lim h -> 0 (g(f(x+h))-g(f(x)))/(f(x+h)-f(x)) X (f(x+h)-f(x))/h = lim k -> 0 (g(y+k)-g(y))/k X lim h -> 0 (f(x+h)-f(x))/h = dz/dy X dy/dx가 됩니다. 역함수 정리 역시, 복잡한 테크닉 없이 증명 가능합니다.
오히려 differential form은, 미적분학의 기본 정리 (y = f(x)일 때, int_a^b dy/dx dx = f(b)-f(a))를 임의의 차원으로 확장시키려는 결과의 산물입니다. 그리고 differential form을 이용한 Stokes 정리 등의 증명을 자세히 들여다 보면, 결국은 우리가 잘 알고 있던 일변수 미적분 (위의 사실들을 포함한)의 반복적 사용이라는 것을 알 수 있습니다. 결국, differential form을 제대로 이해하기 위해서는 일변수 미적분을 제대로 이해하는 것이 필수입니다.
현재 어떤 배경지식을 가지고 어떤 과목을 공부하고 계신지 잘 모르겠지만, 근본적인 아이디어는 고등학교 수학책과 미적분학에 모두 들어 있고, 일변수의 경우로 제한하면 해석개론 책에서 엄밀한 증명을 볼 수 있습니다. 책을 꼼꼼히 읽어보시고 고민을 많이 해 보세요.
정말 감사합니다! 저는 수학교육과 1학년입니다. 해석개론 해석학개론 말씀하시는건가요?ㅋㅋ
저게 사실 적분기호 즉 인테그랄과만날때 표현되는데요.즉 극한과 관계잇지요.근데 저 값이 영은아니기에 그냥분수로 취급하고 계산하시면 되요.