유클리드의 작도법

[김남수1103]

유클리드 작도법 - 정다각형, 이차방정식, 비율

앞에서 작도 가능한 정다각형의 조건을 소개하였습니다. 그 조건대로 한다면 정 n각형에서 n이 2의 거듭제곱일 경우에는 작도 가능합니다. 그리고 다섯 번째 조건대로 한다면 정칠각형은 작도할 수 없으나 정십칠각형은 작도가 가능합니다. 우선 정십칠각형을 작도하는 방법을 말하기 위해서 정오각형의 작도법을 설명할 것입니다.

1.먼저 원의 지름 AB에서 원의 중심 D를 찾고 D에서 선분 AB와 수직인 선분 CD를 그립니다.
2.CD의 중점을 M이라고 두고, 선분 MB를 그린 다음 BMD를 이등분하는 선분 EM을 그립니다.
3.AB에 수직한 선분 EF를 그리면 현 BF의 길이가 바로 정오각형의 한 변 길이입니다. 현 BF와 길이가 같은 현을 원 안에 다섯 번 그어서 B로 돌아오게 하면 정오각형이 됩니다.


정십칠각형은 방법이 비슷하지만 더 복잡한 과정을 필요로 합니다.

1.먼저 원의 지름 AB에서 원의 중심 D를 찾고 D에서 선분 AB와 수직인 선분 CD를 그립니다.
2.CD의 중점을 E라고 두고 선분 BE를 그린 다음 BED를 이등분하는 선분 EG를 그리고 다시 GED를 이등분하는 선분 EF를 그립니다.
3.직선 DE를 그리고 E에서 직선 EF에 수직인 직선을 그립니다.
4.AEF를 이등분하는 직선 EH를 그립니다.
5.BH를 지름으로 하는 원을 그리고 그 원이 선분 CD와 만나는 점을 I라고 한 다음, F를 중심으로 하고 선분 FI의 길이를 반지름으로 하는 원을 그립니다. 그리고 F를 중심으로 하는 원이 지름 AB에서 만나는 점에서 AB에 수직한 직선을 그리고 그 직선이 원 D와 만나는 점을 P라고 하면 현 BP의 길이를 알 수 있습니다. 현 BP와 같은 길이의 현을 원 안에 열일곱 번 그려서 정십칠각형을 그릴 수 있습니다.


같은 식으로 정삼각형, 정257각형, 정65537각형도 작도 가능합니다. 단 7각형, 9각형, 11각형 등은 작도할 수 없습니다.


황금비율과 이차방정식의 작도를 소개하고 다음 장에서 작도불능문제를 소개합니다. 여기서 풀 수 있는 이차방정식은 a와 b2이 대수적 수(작도할 수 있는 수)이고 (x+a)2=b2의 형태로 나타나는 것으로서, 풀이방법은 아래와 같습니다.

1.한 변의 길이가 x인 정사각형을 그립니다.
2.변의 길이가 각각 a/4, x인 직사각형 네 개를 그림과 같이 정사각형에 붙여 그립니다.
3.한 변의 길이가 a/4인 정사각형 네 개를 네 귀퉁이에 붙입니다. 그러면 한 변의 길이가 b인 정사각형이 만들어집니다.
4.x+a=b이므로 해는 -a+b입니다. 다른 근은 x+a=-b에서 -a-b입니다.

황금비율을 작도하는 방법(2004학년도 대학수학능력시험 기출 17번)

1.점 B에서 선분 AB에 수직인 선분 BC를 긋되 그 길이는 선분 AB 길이의 절반이 되도록 합니다.
2.선분 AC위에 (선분 CB의 길이)=(선분 AD의 길이)가 되도록 점 D를 잡고 (선분 AD의 길이)=(선분 AE의 길이가 되도록 점 E를 선분 AB위에 잡습니다.
그러면 AE2=ABBE가 되고 E는 선분 AB를 황금분할합니다. AE를 x로 두면 x2=(1-x)이고 정리하면 x2+x-1=0에서 x=(-1)/2가 되고 이 중 양의 값을 취하면 약 0.618:1=1:1.618입니다.

카논 비율: A판 용지나 B판 용지에서 종이의 낭비를 막을 수 있는 유일한 비율입니다. 특징은 반으로 접어도 그 비율이 유지된다는 것입니다. 이것을 식으로 표시하면 x:1=1:x/2에서 x=, 따라서 약 1.414:1입니다.

http://showmath.co.kr
http://mathworld.wolfram.com/GeometricConstruction.html을 참고하시면 더 자세한 내용을 알 수 있습니다.