<P>먼저 문제부터 적어보겠습니다.</P>
<P>Prove that if f:A->B is a function defined on the countable set A then the range of f is countable.</P>
<P>이게 문제인데요... </P>
<P>countable 하다는 얘기는.. 원소의 갯수가 finite하거나 denumerable인경우 countable 하다고 하는걸로 알고 있습니다.</P>
<P> </P>
<P>그럼 저는 어떻게 접근 했냐면...</P>
<P>A가 먼저 유한집합인 경우를 생각했습니다.</P>
<P> </P>
<P>먼저 유한집합인 경우 집합 X의 원소의 갯수를 n(X)라고 표현한다면</P>
<P>유한 집합 이기 때문에 n(A) 는 n(B) 보다 항상 크거나 같습니다.</P>
<P>따라서 n(B) 역시 유한집합이고 따라서 countable 하다 라고 증명했습니다</P>
<P> </P>
<P>두번째</P>
<P>A가 무한집합이지만 가부번집합 인 경우를 생각했습니다.</P>
<P>B는 uncountable 하다고 가정해봅시다</P>
<P>조건에서 N~A입니다</P>
<P>그리고 저는 B가 uncountable하지만, A~B를 만족시키는 f가 존재한다고 가정 한 겁니다. (<-가정은 잘 된게 맞나요? f가 존재한다는걸 가정하는게 아니라 집합 B가 존재 한다는걸 가정 해야되는거 같은데..아 헷갈리네융;;;)</P>
<P>N~A이고 A~B이므로 N~B가 성립합니다.</P>
<P>그런데 equivalent의 정의에 의하면 N~B이면 B를 countable 하다고 정의 하고 있습니다.</P>
<P>즉, countable 하면서도 uncountable한 B가 존재 한다는 뜻이므로, 이는 모순입니다</P>
<P>따라서 B가 uncountable하지만, A~B를 만족시키는 f가 존재하지 않으며 B는 항상 countable하다</P>
<P>라고 했습니다.</P>
<P> </P>
<P>그런데 이건 좀 증명이 아닌거 같습니다;; 뭐랄까 좀 허접하다는 표현이 적절한거 같네요</P>
<P>그런데 또 한편으로는 허접하긴 하지만 왠지 맞는 듯한 느낌도 듭니다..</P>
<P> </P>
<P>지금 제 느낌이 딱 이렇습니다 이런걸 해석학이라고 하나요??</P>
<P>이런 증명 같은문제를 풀면 풀고도 자신이 없습니다.</P>
<P>제가 한게 맞는지 좀 봐주시고 여러분들은 해석학(?)공부할때 어떻게 하는지좀</P>
<P>조언 해주시면 감사하겠습니다.</P>
<P> </P>
<P>자꾸질문 올려서 죄송해요</P>
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칸토르가 제안한 방법대로라면, 알에프_0 (Aleph_zero; 자연수의 개수) - 다른말로 countable 하다고 합니다. 알에프_1 (Aleph_one; 실수의 개수 = 자연수의 부분집합의 개수) 알에프_2 (Aleph_two; 실수의 부분집합의 개수) 알에프_3 (Aleph_three; 알에프_2 의 크기를 갖는 집합의 부분집합의 개수) ... 이렇게 알에프_n 을 정의할 수 있습니다. 당연히 알에프_k < 알에프_{k+1} 이구요. 하지만 그 사이에 해당하는 무한의 개념이 존재하는지는 알려져 있지 않습니다. (axiom of choice 와 관련이 있습니다.)
첫댓글 range of f 라는거는 f의 공역(B)를 얘기하는 것이 아니라 f의 치역 (f(A)) 를 얘기하는 것입니다. 즉, f(A)는 B의 섭셋이죠. 본 문제의 증명은 n (f(A)) <= n(A) 라는 것으로 부터 보일 수 있는 것 같습니다.
훔..제가 유한집합의 경우는 그렇게 했는데.. 무한집합의 경우 원소의 갯수가 ∞이니까 n(A) 라는것을 부등식으로 만드는게
조금 이상하다고 생각되는데.. 틀린생각인가요?
무한집합의 경우에도 n(A)를 생각할 수 있습니다. 문제의 countable 이란 용어도 무한의 한 종류 입니다.
데넵님 죄송한데 무한집합의 경우에 n(A) 를 어떻게 생각하는지 이해가 잘 안됩니다. 좀 알려 주시면 감사하겠습니다 ^^;;;;;
칸토르가 제안한 방법대로라면,
알에프_0 (Aleph_zero; 자연수의 개수) - 다른말로 countable 하다고 합니다.
알에프_1 (Aleph_one; 실수의 개수 = 자연수의 부분집합의 개수)
알에프_2 (Aleph_two; 실수의 부분집합의 개수)
알에프_3 (Aleph_three; 알에프_2 의 크기를 갖는 집합의 부분집합의 개수)
...
이렇게 알에프_n 을 정의할 수 있습니다. 당연히 알에프_k < 알에프_{k+1} 이구요. 하지만 그 사이에 해당하는 무한의 개념이 존재하는지는 알려져 있지 않습니다. (axiom of choice 와 관련이 있습니다.)
그래서 위 문제도 사실은 f(A)가 알에프_0 혹은 유한하다는 것을 보이는 문제 입니다.
Χ_0을 자연수 집합으로 두고, Χ_1를 그 다음 크기를 가지는 집합인데, 이는 수학적으로 잘 정의되며 따라서 Χ_0과 Χ_1, 일반적으로 Χ_(k)와 Χ_(k+1) 사이의 크기를 가지는 집합은 존재하지 않습니다.
아.. 제가 정의를 좀 다르게 적었네요. X_1의 정의는 비는아픔님 말씀하신게 맞고, 그게 실수의 개수 (즉, 2^X_0)인지는 알려져 있지 않다고 해야 정확하려나요?
Χ_1 ≤ 2^(Χ_0) = l lR l 임을 증명할 수 있지만 <인지 =인지는 증명이 불가능하다고 해야 정확할듯...
데넵님 너무 잘적어주시는데.. 아무리 읽어도 이해가 안되네요 죄송해요 전 잉어인가봐요