선형대수 특별한 matrix의 positive definiteness를 보이고 싶습니다.

[black★devil]

한참동안 유령으로 지내다가 오래간만에 와서 염치없이 질문만 하게 되었습니다.ㅠㅠ

제가 원하는 것은 아래 보이는 matrix A에서 적어도 하나의 alpha값이 pi의 정수배가 아니면 A가  positive definite 이라는 점을 보이는 것입니다.(실제 positive definite인지 아닌지 아직 모릅니다.)

물리적인 현상은 이렇습니다. n각형의 i번째 꼭짓점의 내각을 alpha_i, (1<= i<=n) 라고 두고 어떠한 문제를 푸는 과정에서 이 matrix A가 나왔습니다. 저는 n각형이 하나의 직선 위에 놓이지 않는 상황(이 경우도 n각형이라고 부를 수 있는지는 모르겠습니다만...), 즉, 적어도 하나의 내각이 pi의 정수배가 아닌 경우에 A가 positive definite임을 보이고싶은 것입니다. (직선 위에 놓이는 경우까지 포함하면 positive semi-definite이 될 것으로 예상)

이를 위해 취할 수 있는 방법이 대략 제가 알고 있는 것은 5가지 정도 됩니다.

1. 모든 n pivot이 positive임을 보임

2. 모든 n upper left determinants가 positive임을 보임(principal minor라고 했던 것 같음..)

3. 모든 eigenvalue가 positive임을 보임

4. x^{T}Ax가 x=0을 제외한 모든 x에 대해 positive임을 보임

5. A = R^{T}R로 나타고 R의 column들이 independent임을 보임

저는 2번을 이용해서 보이기 위해 식을 죽 전개해 보았는데 4 by 4까지는 보일 수 있겠는데 n by n의 경우에 대해 어떻게 정리를 할 수 있는 방법이 없는지 궁금합니다. 아래는 n by n의 경우에 대해 처음 몇 개의 upper left determinant를 나열한 것입니다.

혹시 저런 형태의 matrix에 어떤 특별한 이름이 있다던지 어떤 실마리라도 될 정보가 있다면 주저없이 댓글 달아주셨으면 합니다.

읽어주셔서 감사합니다.

[사무사마]

죄송하지만 저 그림으로는 어디에 코사인 뭐가있는지 감이 안 잡히네여... 규칙적으로 잘 배열되어있는 행렬이라면.. 저라면 eigenvalue를 시도해보고 싶네요

[black★devil]

diagonal element들은 모두 2이고, diagonal element들 바로 위,아래에 cosine들이 있구요 (n,1) 위치와 (1,n) 위치에 cos(alpha_1)이 그리고 나머지 위치에는 0이 있습니다. 답변 감사합니다.

[우뇌자극]

우상귀와 좌하귀의 두 element 를 0 으로 만들면 Tridiagonoal Matrix 라고 하는 것으로 압니다.

[black★devil]

감사합니다.한 번 찾아봐야겠네요 ㅎ

[black★devil]

Gauss elimination을 이용하면 n-1번째 left upper determinant까지는 모두 0보다 크다는 것이 쉽게 보여지네요(pivot이 모두 0보다 큼) 이제 det(A)가 0보다 크다는 것만 보이면 positive definiteness를 보일 수 있겠어요 +_+;;

[밝히리]

positive definite 임을 증명 했습니다.
제세한 증명은 답글로 달겠습니다. 몇 시간 걸릴 것 같군요... ^^;;