Re:System of ODE \dot(y)=A(t)y 의 해가 0이 아님을 보이는 것에 대한 질문

[비는아픔]

미분방정식 sense를 다 잊어버려서 이렇게 하는게 맞는지 모르겠네요...

Suppose is differentiable, is continous and on .

Let .

■Claim : is open and closed in

proof) is closed trivially.

Assume .

Note that for some constant , for any by the continuity of .
Take .

Then for any ,

 (where )

as since .

This implies that for any .

Therefore, is open. Q.E.D.

By the claim above, if for at least one , then is identically zero since the real line is topologically connected.

Now the original question is easy to answer.

□Remark The condition that is continous on is necessary.

Consider
.
Observe that has a singular point .

With , the unique solution of the ODE is given by , which can be extended continuously to .

Note that .

<여기부터 그림파일>

[black★devil]

ㅠㅠ 죄송하지만 수식이 다 엑박으로 나오네요... 혹시 스프링노트나 그런데서 작성해서 붙이신거면 링크주소를 남겨주셨으면 합니다.

[비는아픔]

이상하네요 ㅠ 휴대폰으로도 보이던데... wordpress라는 블로그를 이용해서 수식만 썼습니다; 다른분들도 다 엑박으로 보이시나요??? 어쨌든 그림파일로 다시한번 올려봅니다ㅠㅠ(그림파일 클릭하시면 보다 뚜렷하게 보입니다)

[black★devil]

우선 친절히 자세하게 적어 주셔서 감사합다. ^^ 근데 제가 기본기가 부족하여 open, closed, topologically connected 등의 개념과 결과를 잘 대응을 못 시키겠네요 ㅠㅠ 일단 풀이 과정은 이상이 없는듯 하니 제가 좀 더 공부를 하겠습니다. 근데 중간에 inf ||y(t)|| 가 아니라 sup 이어야 하는거 아닌가요? 아닌가.....~_~

[비는아픔]

sup이 맞네요... 왜 inf로썼지 -_-; 공부해보시고 모르는 점 있으면 질문 주세요 ㅎㅎ ㅠ