Re:metric 관련 문제 입니다.

[비는아픔]

문제가 잘못되지 않았나 싶습니다? 함 봐주세요 급하게 쓰느라 정신이 없네요 ㅠ

The idea is from the following simple observation.

Obesrvation Let  be a set whose cardinality is equal to or less than 
Then there exists a metric topology  over .

proof) Note that there exists a one-to-one mapping .
Then  is a metric over X since for ,
i)  iff  ( is one-to-one)
ii)  trivially
and iii)  clearly.

The induced topology  from  is what we want.

Now let  and .
Then considering the induced metric  above, , clearly.

We find  which satisfies the condition in the problem.

[걸음마]

오! 좋은 아이디어네요~ ㅎㅎ 문제 틀린 것같아요~ ^^

[비는아픔]

ㅠㅠㅋ

[Klein]

문제를 이렇게 바꾸어보면 어떨까요. R의 standard topology와 compatible 하면서, (0,1)에서 주어진 metric과 compatible한 R 위의 metric이 존재하지 않음을 보여라.

[비는아픔]

compatible란 용어를 정확히 어떤 의미로 사용하신거죠?

[Klein]

위 풀이에서 지적해주신 것처럼, X -> R인 임의의(!) 1-1 함수가 있으면, 이를 이용해서 X에 metric을 줄 수 있습니다. (0,1) 위의 1-1 함수를 R로 확장하는 것은 (연속 가정이 없는 임의의 함수이므로) 매우 쉬우므로, 위 문제는 반례가 나오지요. 하지만 위 반례에서 잡은 함수의 특성 상, metric D에 의해 주어지는 topology는 R의 standard topology와 같지 않습니다 (lim 1/n != 0). 그래서 질문을 바꾸어서, 1. D'|_X = d, 2. D'에 의해 주어지는 topology = R의 standard topology인 metric D'이 존재하지 않음을 보여라로 문제를 바꾸면 어떨까 해서요.