<p>모든 group의 set을 생각해보자. 그것을 <span style="font-weight: bold;">GROUP </span>이라고 간단히 나타내자. 혹은 <span style="font-weight: bold;">set</span>(group)이라고 나타내자.</p><p>그럼 <span style="font-weight: bold; ">GROUP</span> 에 적당한 binary operation을 줘서 어떤 algebraic structure를 구성할 수 있지 않을까? </p><p><br></p><p>우선 가장 간단한 algebraic structure를 set이라고 한다면 <span style="font-weight: bold;">set</span>(group)은 그 자체로 algebraic structure이다. </p><p> </p><p>(예상: <span style="font-weight: bold;">set</span>(group)에 적당한 binary operation으로 direct product를 택해서 정의하면 monoid가 될 것이다)</p><p><br></p><p>이 algebraic structure(<span style="font-weight: bold;">set</span>(group))에서 identity는 order 1인 trivial group이 될 것이다. </p><p><br></p><p>Q: 그렇다면 <span style="font-weight: bold;">set</span>(group)에 적당한 binary operation을 줘서 구성할 수 있는 algebraic structure는 구체적으로 무엇이 있는가?</p><p> 만약 set(group)에 algebraic structure를 구성하는 것이 불가능하다면 불가능하다는 것은 어떻게 증명하는가? </p><p><br></p><p>이러한 질문을 set(group) 뿐만 아니라 set(abelian group), set(field), set(commutative ring) 등 모든 algebraic structure에 대해 던질 수 있을 것이다. </p><p><br></p><p>Q: 적당한 조건을 만족하는 group들을 택해서 set을 구성하고 <span style="font-weight: bold;">set</span>(적당한조건group)이라고 쓰자. 만약 G, H ∈ <span style="font-weight: bold;">set</span>(적당한조건group) 이라고 하면 G와 H의 binary operation을 Gal(G/H)라고 정의하자. 만약 이러한 binary operation을 정의했을 때 어떤 algebraic structure를 이루도록 하는 set을 구성할 수 있을까?</p>
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첫댓글모든 group을 모으면 set이 될까요? 흠..... 일단 모든 abelian group을 모으면(사실 isomorphism class들을 모으면...) set 이 되긴하네요... set이 되지 않더라도 group category는 direct sum을 통해서 monoid structure를 가집니다. (아주 대충 말해서) 이것들이 set이 되면(즉, 주어진 monoid structure를 가지고 실제 monoid가 되면) 이 monoid를 cover하는 universal group이 있는데 이것을 grothendieck group이라고 합니다. 이런 것들을 연구하는 분야를 K-theory라고 합니다.
모든 group들의 모임을 group category라고 하는 것인가요? 그렇다면 제가 생각하는 set(field)는 field category라고 부르는 것인가요? 어떤 algebraic structure들의 모임을 ㅁㅁcategory라고 하는 것인가요? monoid와 monoid structure는 같은 것인가요? ㅁㅁcategory에 적당한 binary operation을 주었을 때 그것이 ㅇㅇ이 되면 ㅇㅇstructure라고 하는 것인가요? set의 set은 set이 아닌가요?
monoid를 cover하는 무언가가 존재한다는 것은 무엇을 뜻하나요? 그렇다면 monoid를 covoer하는 universal field라는 것도 있나요? universal group이란 무엇인가요? 어떤 algebraic structure의 category에 적당한 binary operation을 주었을 때 생기는 group을 universal group이라고 하는 것인가요? 아니면 group의 isomorphism class를 모은 것을 뜻하는 것인가요?
set과 category를 나누는 기준은 무엇인가요? 왜 abelian group의 isomorphism class를 모은 것은 set인데 set(group)은 set이 아닌가요? 그럼 혹시 category보다 상위의 개념이 있나요? grothendieck group이란 무엇인가요? wiki에서 찾아보니 무슨 말인지 전혀 이해가 안되서요; 그리고 이러한 group은 언제 어떤 문제를 해결하기 위해 만든 것인가요? 또 그 문제의 해결에 구체적으로 어떻게 사용하였나요?grothendieck group에서 homomorphism을 줄 수 있는 group들은 무엇이 있을까요? 무조건 universal group이어야 할까요? 일반적인 finite group으로 trivial하지 않은 homomorphism을 줄 수 있을까요? 만약 안된다면 왜 그럴까요?
질문이 뭔지도 잘 가늠하기 어렵군요. 기본적인 set theory공부부터 해야될 것 같네요. set들의 모임은 집합이 되지 않습니다. 그래서 set theory라는 분야가 있겠지요. set theory에서 class와 set의 차이를 배우게됩니다. 대수학을 충분히 배우고나면 category theory라는 분야를 공부하게 됩니다. 이런 것들이 선행되지 않으면 무슨 말을 해봐야 소용이 없어요. Grothendieck group은 Grothendieck-Riemann-Roch theorem이란 것을 증명하기 위해서 만든 것입니다. 위상에서는 Topological K-theory에 Atiyah-Singer index theorem이 있구요.
GRR을 증명하기 위해서 만들어진 것이란 건 좀 오바같구요. 그 전에도 Grothendieck group이 연구되긴 했었죠. monoid의 completion으로. 다만 이것을 명확히 정의하고 이것을 이용해서 무엇을 해낸 것이 Grothendieck이고 그 결과물이 GRR인 것이죠. 다른 분야는 저도 정확히 모르겠네요;;;
set theory와 abstract algebra를 철저히 익힌 후에 위 질문을 다시 정리해서 드리도록 할께요. 그런데 이같은 뜬구름잡기식 개념이 실질적인 수학 정리의 증명에 쓰인다니 놀랍네요. 허걱님, Grothendieck riemann roch theorem 에 대해 알려면 set theory와 기본적인 abstract algebra를 익힌 다음에 또 어떤 분야 혹은 책을 보아야 하는지 알려주셨으면 해요.
Grothendieck-Riemann-Roch정리는 대수기하학의 아주 깊은 의미를 담고 있는 정리입니다. 이것은 아마도 대수기하를 전공하는 사람 중에서도 Algebraic K-theory를 전공하지 않는 사람이라면 접하지 못하거나 전혀 이용할 필요가 없는 사람들이 대부분이구요. 이것을 제대로 이해하려면 대수기하 박사 1년차 정도의 지식이 필요합니다.
약간 토를 달자면, 적어도 GRR의 특수한 형태(HRR)는 거의 모든 대수기하학자들이 사용하고 있습니다. 그리고 moduli theory를 하는 사람들은 GRR의 full statement를 굉장히 자주 사용하게 됩니다. 제 개인적인 생각으로는, GRR에 익숙해지는 것은 모든 대수기하를 공부하는 사람들에게 필수적입니다.
원래 질문하신 분께, 이러한 개념들은 절대 뜬구름잡기가 아닙니다. 문제 상황을 제대로 이해하고 나면, 굉장히 자연스럽게(!) 필요한 개념들입니다. 다만 상황을 제대로 이해한다는 것이 매우 많은 시간과 노력이 필요한 것이라는 게 문제입니다만... (아니면 Grothendieck이거나:))
우리가 group을 생각한다고 합시다. group은 그 자체로 일단 set입니다. 그런데 왜 그것들 사이의 set function을 모두 생각하지 않고 homomorphism만 생각할까요? 마찬가지로 topological space를 생각할때는 왜 continuous function만 고려할까요? 이런 고민을 시작하면 category는 자연스럽게 나옵니다. 그러고 (abelian) group category같은 abelian category에서 direct sum(coproduct)을 하다보면 당연히 monoid structure를 접하게되고 category가 small(또는 essentially small)일때는 정말 monoid가 되니까 그것과 관련있는 group을 생각하게 되는 겁니다.
제가 원하는 것은 Zariski, Weil, Serre, Grothendieck 등이 대수기하학 세계에서 한 것이 무엇인지 철저히 이해하는 것인데요. 상당히 많은 시간이 걸리겠군요. 그런데 Allyn Jackson의 글을 읽어보니 Serre가 말하길 Grothendieck은 Classical algebraic geometry에 관해서 거의 무지했다고 하는데 실제로 그가 한 작업을 이해하는데에도 그것들은 필요하지 않은가요?
실제로 Grothendieck은 대수기하학을 공부한 사람이 아니라 원래는 함수해석학을 연구한 사람이었습니다. Grothendieck과 그 동료들이 EGA, FGA, SGA등을 통해서 대수기하학이라는 분야를 새로 썼다라고 봐도 무방하고 실제로 그전의 작업들과 무관하게 그들의 작업을 이해할 수는 있습니다만 어떤 역사적인 motivation 같은 것들을 이해하기는 힘들지 않을까 싶네요. 아이러니하게도 현대 대수기하를 새로 쓴 사람들 대부분은 처음에는 대수기하를 공부하지는 않았죠. 사실은 Serre도 처음부터 대수기하를 공부했던 사람은 아닙니다.
첫댓글 모든 group을 모으면 set이 될까요? 흠..... 일단 모든 abelian group을 모으면(사실 isomorphism class들을 모으면...) set 이 되긴하네요... set이 되지 않더라도 group category는 direct sum을 통해서 monoid structure를 가집니다. (아주 대충 말해서) 이것들이 set이 되면(즉, 주어진 monoid structure를 가지고 실제 monoid가 되면) 이 monoid를 cover하는 universal group이 있는데 이것을 grothendieck group이라고 합니다. 이런 것들을 연구하는 분야를 K-theory라고 합니다.
모든 group들의 모임을 group category라고 하는 것인가요? 그렇다면 제가 생각하는 set(field)는 field category라고 부르는 것인가요? 어떤 algebraic structure들의 모임을 ㅁㅁcategory라고 하는 것인가요? monoid와 monoid structure는 같은 것인가요? ㅁㅁcategory에 적당한 binary operation을 주었을 때 그것이 ㅇㅇ이 되면 ㅇㅇstructure라고 하는 것인가요? set의 set은 set이 아닌가요?
monoid를 cover하는 무언가가 존재한다는 것은 무엇을 뜻하나요? 그렇다면 monoid를 covoer하는 universal field라는 것도 있나요? universal group이란 무엇인가요? 어떤 algebraic structure의 category에 적당한 binary operation을 주었을 때 생기는 group을 universal group이라고 하는 것인가요? 아니면 group의 isomorphism class를 모은 것을 뜻하는 것인가요?
set과 category를 나누는 기준은 무엇인가요? 왜 abelian group의 isomorphism class를 모은 것은 set인데 set(group)은 set이 아닌가요? 그럼 혹시 category보다 상위의 개념이 있나요?
grothendieck group이란 무엇인가요? wiki에서 찾아보니 무슨 말인지 전혀 이해가 안되서요; 그리고 이러한 group은 언제 어떤 문제를 해결하기 위해 만든 것인가요? 또 그 문제의 해결에 구체적으로 어떻게 사용하였나요?grothendieck group에서 homomorphism을 줄 수 있는 group들은 무엇이 있을까요? 무조건 universal group이어야 할까요? 일반적인 finite group으로 trivial하지 않은 homomorphism을 줄 수 있을까요? 만약 안된다면 왜 그럴까요?
질문이 뭔지도 잘 가늠하기 어렵군요. 기본적인 set theory공부부터 해야될 것 같네요. set들의 모임은 집합이 되지 않습니다. 그래서 set theory라는 분야가 있겠지요. set theory에서 class와 set의 차이를 배우게됩니다. 대수학을 충분히 배우고나면 category theory라는 분야를 공부하게 됩니다. 이런 것들이 선행되지 않으면 무슨 말을 해봐야 소용이 없어요. Grothendieck group은 Grothendieck-Riemann-Roch theorem이란 것을 증명하기 위해서 만든 것입니다. 위상에서는 Topological K-theory에 Atiyah-Singer index theorem이 있구요.
역사를 잘 몰라서 그러는데, Grothendieck group이 GRR을 증명하기 위해서 만들어진 것이라는 것에 대한 참고문헌을 여쭤 봐도 될까요?
GRR을 증명하기 위해서 만들어진 것이란 건 좀 오바같구요. 그 전에도 Grothendieck group이 연구되긴 했었죠. monoid의 completion으로. 다만 이것을 명확히 정의하고 이것을 이용해서 무엇을 해낸 것이 Grothendieck이고 그 결과물이 GRR인 것이죠. 다른 분야는 저도 정확히 모르겠네요;;;
감사합니다. 저도 좀 찾아봐야겠네요.
set theory와 abstract algebra를 철저히 익힌 후에 위 질문을 다시 정리해서 드리도록 할께요. 그런데 이같은 뜬구름잡기식 개념이 실질적인 수학 정리의 증명에 쓰인다니 놀랍네요. 허걱님, Grothendieck riemann roch theorem 에 대해 알려면 set theory와 기본적인 abstract algebra를 익힌 다음에 또 어떤 분야 혹은 책을 보아야 하는지 알려주셨으면 해요.
Grothendieck-Riemann-Roch정리는 대수기하학의 아주 깊은 의미를 담고 있는 정리입니다. 이것은 아마도 대수기하를 전공하는 사람 중에서도 Algebraic K-theory를 전공하지 않는 사람이라면 접하지 못하거나 전혀 이용할 필요가 없는 사람들이 대부분이구요. 이것을 제대로 이해하려면 대수기하 박사 1년차 정도의 지식이 필요합니다.
약간 토를 달자면, 적어도 GRR의 특수한 형태(HRR)는 거의 모든 대수기하학자들이 사용하고 있습니다. 그리고 moduli theory를 하는 사람들은 GRR의 full statement를 굉장히 자주 사용하게 됩니다. 제 개인적인 생각으로는, GRR에 익숙해지는 것은 모든 대수기하를 공부하는 사람들에게 필수적입니다.
원래 질문하신 분께, 이러한 개념들은 절대 뜬구름잡기가 아닙니다. 문제 상황을 제대로 이해하고 나면, 굉장히 자연스럽게(!) 필요한 개념들입니다. 다만 상황을 제대로 이해한다는 것이 매우 많은 시간과 노력이 필요한 것이라는 게 문제입니다만... (아니면 Grothendieck이거나:))
위와 같은 발상이 자연스럽게 떠오르게 되는(혹은 필요한) 문제 상황이 무엇인지 나중에 여쭤볼께요.
우리가 group을 생각한다고 합시다. group은 그 자체로 일단 set입니다. 그런데 왜 그것들 사이의 set function을 모두 생각하지 않고 homomorphism만 생각할까요? 마찬가지로 topological space를 생각할때는 왜 continuous function만 고려할까요? 이런 고민을 시작하면 category는 자연스럽게 나옵니다. 그러고 (abelian) group category같은 abelian category에서 direct sum(coproduct)을 하다보면 당연히 monoid structure를 접하게되고 category가 small(또는 essentially small)일때는 정말 monoid가 되니까 그것과 관련있는 group을 생각하게 되는 겁니다.
제가 원하는 것은 Zariski, Weil, Serre, Grothendieck 등이 대수기하학 세계에서 한 것이 무엇인지 철저히 이해하는 것인데요. 상당히 많은 시간이 걸리겠군요. 그런데 Allyn Jackson의 글을 읽어보니 Serre가 말하길 Grothendieck은 Classical algebraic geometry에 관해서 거의 무지했다고 하는데 실제로 그가 한 작업을 이해하는데에도 그것들은 필요하지 않은가요?
실제로 Grothendieck은 대수기하학을 공부한 사람이 아니라 원래는 함수해석학을 연구한 사람이었습니다. Grothendieck과 그 동료들이 EGA, FGA, SGA등을 통해서 대수기하학이라는 분야를 새로 썼다라고 봐도 무방하고 실제로 그전의 작업들과 무관하게 그들의 작업을 이해할 수는 있습니다만 어떤 역사적인 motivation 같은 것들을 이해하기는 힘들지 않을까 싶네요. 아이러니하게도 현대 대수기하를 새로 쓴 사람들 대부분은 처음에는 대수기하를 공부하지는 않았죠. 사실은 Serre도 처음부터 대수기하를 공부했던 사람은 아닙니다.