미분방정식의 분류 좀 도와주세요!

[무무]

대학교에서 공학수학을 배우는데 처음부터 버벅거립니다.

이건 뭐 이해도 안되고 교수도 내용을 잘 몰라서 여기 올립니다.(학교가 이렇게 쓰레기인지 몰랐어요. 교수한테 물어봤더니 말해달라는 것은 안말해주고 자꾸 정의만 들먹거리거나 원래 그런거라고 하네요. 잘 모르는 눈치라서... -_- 등록금 아까워요...)

미분방정식을 선형/비선형으로 나누는 기준이 정확히 어떻게 되는지 알려주세요!

그리고 아래 문제 설명도 부탁드립니다.

determine linearity in the indecated dependant variable.

(y^2 - 1)dx + xdy = 0   in y; in x

답은 linear in x, non linear in y입니다.

linear function은 f(ax+by) = af(x)+bf(y)를 만족시키는 함수인것은 알겠는데, 왜 linearity를 정의할 때는 y의 x에 대한 도함수를 기준으로 선형을 판단하나요? y가 x에 대한 함수라고 해도 x가 3차 이상인 경우 미분을 해도 계수가 x에 대한 1차가 아니잖아요.

그리고 x(dy/dx)의 경우 이것을 선형미분방정식에 포함되는 항이라고 볼 수 있나요? x와 y로 구성된 좌표평면에서 dy/dx또한 함수로 기능하므로 x(dy/dx)가 선형식을 만족한다고는 볼 수 없잖아요. 그리고 선명미분방정식을 정의할 때 쓰이는 항 중에

a(x)(d^n(y)/(dx)^n)이라는 것이 있는데 이때 a(x)는 모든 차수의 함수가 가능한가요?

[반도의 흔한 대학생]

이는 결국 미분방정식에서 Linearity를 정의할때 대상이 되는 함수가 무엇인가로 귀결됩니다. 무무님께서 이 내용을 헷갈리신 근본적인 이유는 아무래도 f(ax+by)에서 쓰인 x,y와 y=f(x)에서 쓰인 x,y를 헷갈려서 된거 같은데요. 이 둘의 쓰임은 완전 다른 의미를 지닙니다. 전자의 x,y는 같은 집합 안에서의 두 원소, 즉 정의역의 두 원소룰 상짙하고요. 실제로는 헷갈리지 마라고 x1,x2라고 쓰입니다. 반면, 후자의 x,y는 서로 다른 두 집합, 즉 정의역과 공역에서 나온 존재들입니다. 그들은 근본적으로는 아무 관련이 없는 두 집합이지만, 저 등호와 함수 f로 엮이면서 관련이 생긴거지요.
미분방정식도 마찬가지입니다. 다만, 이번엔 정의역

[반도의 흔한 대학생]

이나 치역이란 개념을 들기가 어렵죠. 왜냐면 방정식이니까요. 그러나 방법이 없는건 아닙니다. 그 방법중 하나가, 미분방정식을 (식)=0로 두고 식 자체를 또다른 함수로 보는거지요. 마치 대수방정식에서 x^2=0를 y=0란 함수와 y=x^2이란 함수가 있을때, 둘 다 정의가능한 두 정의역의 교집합의 원소들중 각각에 해당하는 공역의 원소가 동일한 원소들만을 뽑아오는거 처럼요.(여기선 둘다 정의역이 같고, 같은 공역의 원소를 가지는게 0밖에 없죠.)
그러면 다시 원래 논지로 돌아오면, 미분방정식또 같은 원리로 보통 F(y,y')=0라고 표현합니다. 왜냐면 함수라는게 정의역이면, 어떤 함수인지 모르는 y가 미지수고, 이미 하나의 고정된 함수인

[반도의 흔한 대학생]

a(x)는 함수 집합을 기준으로는 상수에 해당하니까요. 그리고 사실 y'은 y에 관련된 식으로 표현 가능합니다. 즉 y'은 y의 종속변수이지요. 따라서 결국 독립변수 하나만 두면 f(y)=0(어디까지나 y=f(x)에서 y가 공역에 해당할때이고, x가 공역이면 x에 관한 함수로 바꿉니다.) 라고 표현이 가능합니다.
여기서 linearity를 따지자면, 변수 y에 대하여, 가능한 두 값 y1,y2에 대하여 이들의 선형조합인 ay1+by2(a,b는 상수-정의역이 함수니까 이들은 x에 대한 고정된 함수들이지요.) 에 해당하는 함수값이 af(y1)+bf(y2)로 나왔을때 linearity가 성립한다고 합니다.
결론은, 여기서 x랑 관련된 항은 상수란거지요. 정의역이 함수니까요.

[무무]

감사드립니다. 결국 함수와 방정식에서 변수만 잘 구분하면 되는 문제였네요 ㅠ_ㅠ 이렇게 쉽게 설명해 주시는것을 몇시간동안이나 책이랑 씨름하고 있었어요;;