일반물리. 양자역학 공부하기 안내

일반물리 공부하기 일반물리학을 파헤쳐 보자. 늘 그렇듯 이 글은 물리학에 관심있는 초보자들을 위해 쓰여졌으며, 이미 모든 것을 깨달은 사람들에게는 쓸모없는 내용이므로 가볍게 넘어가주시면 되겠다. 일반물리학은 물리학과에 들어온 거의 모든 학생, 그리고 공과대학에 진학한 거의 모든 학생, 그리고 물리가 싫어서 더이상 물리학 과목을 만날 일이 없을 것이라 생각하고 전공을 선택한 화학과, 생물학과, 의과대학 학생들까지 배우게 되는 기초 과목중의 하나이다. 그나마 물리학을 공부하기로 작정하고 들어온 물리학과 신입생들은 사정이 낫겠지만, 본인의 전공이 물리학과 매우 동떨어져 있다고 생각하는 생물학과 학생들이나 의대생들은 이걸 왜 배워야 하는지 모르겠다며 불만 가득한 얼굴로 투덜대기 마련이다. 물론 그들이 대학원에 가서 생물물리학을 만났을 때 어떤 생각을 할지는 모르겠지만, 다행스럽게도(!) 생물물리학은 일반물리학 배워갖고는 손댈만한 분야가 아니다. (어디가 다행인가?) 일반물리학을 공부해 보기로 생각한 당신, 또는 일반물리학을 공부해야만 하는 상황을 마주한 당신, 과연 이 과목은 어떻게 공부해야 할까? 사실 일반물리학은 물리학과 학부 과정에서 배우는 거의 모든 과목의 내용을 담고 있다. 그 방대한 내용을 2학기 내에 다 이해하고 깨닫는다는 것은 불가능하다. (그게 가능하다면 당신은 이 글의 내용을 비웃어도 좋다.) 반대로 생각해보면, 그 방대한 내용을 2학기 내에 강의해야 하므로 그 내용은 절대로 깊이 들어가지 않는다. 믿을 수 없는 사람도 있을지 모르지만, 상식적인 수준에서, 아주 쉽게, 가능한 한 최대한 친절하게 쓰여진 책이 일반물리학 교재이다. 이 과목을 공부하는데 있어 중요한 것은 각 챕터의 예제를 충실히 이해하는 것이다. 물론 모든 이공계 교재가 다들 그렇듯 예제와 연습문제를 많이 풀고 이해하는 것이 중요하겠지만, 일반물리학은 특히 예제를 이해하는 것이 매우 중요하다. 과목 전체적으로는 많은 내용을 다뤄야 하기 때문에 각 챕터별로는 많은 내용을 다룰 수 없다. 따라서 각 챕터에 등장하는 예제는 그 챕터에서 다루는 내용 중에서 가장 중요하고 핵심적인 개념을 이해시켜주기 위한 예제이다. 일반물리학 교재는 대략 40여개의 챕터로 이루어지는데, 각 챕터별로 2~3개의 예제를 본다고 하면 100개 정도가 된다. 한 학기에 약 50여개의 문제다. 예제를 읽고, 풀이를 보기 전에 생각해보고, 자신만의 풀이를 어떻게든 적어보고, 풀이와 해설을 읽으며 자신의 풀이와 맞춰보고, 어디가 맞고 어디가 틀렸는지 생각해보고, 아주 예제를 철저하게 씹고 뜯고 맛봐야 한다. 예제에 나오는 계산법은 중간고사, 기말고사에서 당연히 출제될 가능성이 높으므로 잘  알아두는 것이 중요하다. 다행스럽게도 일반물리학을 공부하면서 마주치는 계산은 매우 쉬운 계산이다. 개념이 잘 이해가 되지 않을 수는 있어도, 절대로 계산이 어려운 것이 아니다. 고등학교 때 물리 과목을 배웠다면 그 때 외웠던 공식이나 개념을 그대로 적용해도 된다. 본인이 물리적 센스가 부족해서 문제를 잘 못 풀겠다는 학생이 있을 것이다. 또, 물리 자체에 대한 공포나 혐오 같은게 있어서 물리 문제만 봐도 거부반응이 올 수도 있다. 괜찮다. 그건 당신 잘못이 아니다. 당신이 당신에게 맞는 맞춤형 강의를 들어보지 못했기 때문이다. 일반물리학 문제는, 초등학교 용어로 말하자면 일종의 문장제 문제이다. “철수가 사과 다섯개를 가지고 있는데 영희에게 세개를 주고 자기가 하나를 먹었다면 이 때 철수는 몇개의 사과를 가지고 있는가?”와 같은 유형의 문제라는 것이다. 단지 여기서 “철수”나 “영희”같은 단어가 “물체”, “전하” 같은 멋있어 보이는 단어로 바뀌고, “사과 다섯개” 대신에 “속도”라든가 “변위”같은 끔찍한 용어로 바뀌었을 뿐이다. 또, 당신이 (아마도 이공계) 대학생이라는 것을 잊지 마라. 초등학교에서는 산수를 풀 수 있으면 되었겠지만, 이제는 2차 방정식의 근의 공식 정도는 외워서 풀 수 있어야 한다. 일반물리학에는 수많은 공식이 등장한다. 가볍게 2차 미분방정식이 등장하기는 하지만, 그 미분방정식도 쉽게 풀이할 수 있도록 공식으로 만들어서 그 답을 알 수 있게 해 두었다. 즉, 당신이 일반물리학을 공부하면서 만나는 문제를 풀기 위해서 해야 하는 것은 <ol><li>이 문제에 어떤 공식을 적용해야 하는지 알아내고 </li><li>그 공식에 어떤 값을 대입해야 하는지 문제에서 알아내고 </li><li>계산을 꼼꼼히 해서 산수에서 틀리지 않고 답을 알아내는 것이다.</li></ol> 물론 그 와중에 개념도 좀 깊이있게 이해하고 왜 그런 과정이 유도되었는지 알고 넘어간다면 더욱 좋겠지만, 학점이라도 어떻게든 받기 위해서 공부한다면 위의 1-2-3단계를 연습하면 된다. 위의 1-2-3단계에서 2번과 3번은 크게 어렵지 않다. 공식에 나온 기호의 이름을 알고 있고 있으면 문제에서 찾을 수 있으니 이해가 안되면 달달 외우기라도 해서 2번을 해결할 수 있고, 3번이 안된다면 지금 당신에게는 일반물리학이 아니라 당신이 앞으로 받게 될 학점 전반이 문제다. 문제 해결에서 가장 어려운 단계가 바로 1번이다. 공식은 다 외웠는데 도대체 이 문제에 어떤 공식을 적용해야 하는가? 물리적 센스가 있는 사람들은 1단계도 잘 하기 때문에 여기서는 물리적 센스가 부족하다고 느끼는 사람들을 위한 설명을 하겠다. 주어진 문제에 어떤 공식을 적용해야 할 것인가 하는 것은 여러가지 방법이 있다. 첫째로, 문제에서 주어진 값과 요구하는 미지수로부터 추정하는 것이다. 가령, 어떤 물체에 작용한 힘과, 그 물체의 질량과, 그 물체의 초기 속도를 알려주었다고 하자. 그리고 문제에서 주어진 시간 동안 물체가 얼마나 움직였는지 물어본다고 해 보자. “힘”, “질량”, “속도”, “시간”, “얼마나 움직였나” 같은 단어를 문제에서 찾을 수 있을 것이다. 그럼 머릿속에 기억하고 있는 공식들 중에서 이 단어들이 적용된 공식을 찾아본다. 아마 뉴턴의 운동 법칙 3가지 중 제 2법칙인 “힘과 가속도의 법칙”이 떠오를 것이고, 이것과 연관된 3가지 운동에 관한 공식이 떠오를 것이다. 떠오르지 않는다면 일반물리학 책을 다시 한번 펼쳐보도록 한다. 어쨌든 떠올랐다 치고, 문제에서 얻은 숫자들을 이 공식에 다 대입해본다. 구하라고 한 값은 x를 대입한다. 그러면 이제 문제가 간단한 산수 문제로 바뀐 것이다. 물리적 개념을 이해할 자신이 도저히 없는 경우에는 이런 방법을 연습해서 문제를 풀 수도 있다. 둘째로, 문제에 주어진 그림을 보고, 또는 문제로부터 주어진 상황에 대해 그림을 그려서 찾아낼 수도 있다. 이걸 잘 하려면 앞에서 말했던 예제를 열심히 뜯어보는 것이 중요하다. 왜냐하면 문제에 주어진 그림은 대체로 예제에 나온 그림을 응용한 것이기 때문이다. 문제에 주어진 그림과 유사한 그림이 있는 예제를 찾아서 비교 분석하여 1단계를 처리할 수도 있다. 시험 준비를 위해서 미리미리 연습해 두자. 이상, 별로 좋아하지는 않지만 어떻게든 시험 공부는 해야 하는 사람들을 위한 조언이었다. 당연히 이 조언은 시험 전날에 그렇게 해봐야 아무 소용이 없고, 일반물리학 수업을 듣는 첫날부터 열심히 할 것을 적극 권장하는 바이다. 벼락치기 할 거면 그냥 다 외워버리는 수 밖에 없다. 좋아하지 않는 일반물리학을 들으면서 흥미를 가질 수 있는 방법은, 적어도 앞으로 자신이 전공하게 될 분야와 관련된 챕터는 집중해서 강의를 듣고, 주의깊게 교과서를 읽고, 그나마 다른 챕터보다는 더 많이 연습문제를 풀어 보는 것이다. 가령, 기계공학과라면 앞의 힘과 운동 파트가 중요하고, 전자공학과라면 전자기학이 당연히 중요하다. 화학공학과라면 열역학 부분이 될 것이고, 화학과라면 양자역학이 중요할 것이다. 생물학과랑 의과대학은 의외로 핵 물리학이 중요한데, 그 전공자들은 앞으로 MRI 촬영, 엑스선 촬영, PET 촬영, 감마나이프 같은 것들로 핵 물리학자보다 더 자주 방사선을 사용할 것이기 때문이다. (MRI는 방사선을 쓰지는 않지만 핵 물리학에 포함되는 개념이다.) 물리학과는요? 물리학과는 전부 다 중요하니까 당연히 싸그리 다 열심히 공부해야 한다. 일반물리학만 열심히 공부해놔도 앞으로 전공 과목을 공부하면서 받게 될 정신적 충격을 살짝 덜 받을 수 있다. 여기서 언급하지 않은 전공들은 내가 잘 몰라서 그런 것이니 양해바란다. 어쨌든 일반물리학은 이공계 전반의 각 학과 전공 과목들과 속속들이 연결된 기초 과목이다. 괜히 여러분들을 괴롭히기 위해서 1학년 전공 필수 과목으로 지정된 것이 아니라는 뜻이다.여러분의 일반물리학 학점에 A+이 피어나기를 바라며 이 글을 마친다. 양자역학 공부하기 이번에는 양자역학을 공부하는 방법에 대해서 써 보도록 하겠다. 이 글은 양자역학에 관심이 많지만 아직 공부해볼 기회를 얻지 못한 고등학생, 물리학 전공자가 아닌 일반인, 물리학과 초심자를 위한 글이다. 당신이 이미 양자역학을 많이 공부한 상태라면 “후훗”하고 비웃어 주면서 이 글의 부족한 부분과 오류를 바로잡아주기를 바란다. 양자역학은 고전역학에서 통하던 물리적 직관이 대체로 통하지 않는다. 물론 고전역학을 완전히 포함하고 있기 때문에, 고전역학에서 설명하던 모든 현상은 당연히 양자역학으로도 설명할 수 있지만, 거기에 “어라, 뭐지?” 싶은 새로운 현상들이 추가된다. 다시 말해서, 당신이 직관적으로 생각했던 모든 현상은 양자역학에서도 일어난다. 그러나 그렇지 않은 일도 일어나기 때문에, 양자역학을 공부하면서 그냥 “고전역학이랑 똑같네”하고 넘어간다면 놓치고 넘어가는 것이 매우 많다는 뜻이다. 이것을 극복하기 위해서는 고전역학적인 직관에 추가적으로 양자역학적인 직관을 훈련해야 한다. 양자역학은 수학이 매우 중요한 과목이다. 양자역학을 공부하기 전에 기본적으로 미분적분학, 선형대수학, 미분방정식의 기본적인 부분을 공부해야 하고, 편미분방정식에 대해서도 알고 있으면 좋다. 당신이 고급 과정까지는 필요 없고 양자역학의 껍데기를 핥아보고 싶은 정도라면 미분적분학과 선형대수학만 알아도 좋다. 특히 선형대수학은 단어만 좀 바꾸면 양자역학이라고 불러도 될 정도로 양자역학과 매우 밀접한 관련을 갖고 있기 때문에 가장 필수적이라고 보면 된다. 물론 이런거 다 몰라도 양자역학 교과서 중간 부분을 딱 펼쳤는데 막힘없이 술술 넘어갈 수 있다면 당신은 선택받은 사람이니 물리학과로 진학해도 좋다. 양자역학을 공부하는 자세는 꼼꼼함과 수식을 믿는 것이다. 양자역학에서 다루는 세계는 기본적으로 미시세계이다. 플랑크상수를 0으로 간주하면 틀릴 정도로 아주 작은 세계에서 나타는 현상을 다루고 있으며, 그것은 곧 눈으로 볼 수 없다는 뜻이다. 양자역학 공부에서는 아무리 말이 안되는 결론이라 하더라도 수식을 계산하는 산수에서 틀리지 않았다면 결론을 믿어야 하는 경우가 많다. 또, 말이 안되는 결론이라고 생각했다가 이후에 실험적으로 증명된 것들도 많기 때문에 수식의 결과를 믿고 그 결과를 이해, 해석 하는 것이 매우 중요하다. 바로 이 부분이 고전역학과 차이가 나는 부분인데, 고전역학의 경우 기존에 알고 있던 직관적인 결과와 수식의 결론이 다르다면 직관을 믿어도 되는 경우가 많다. 대체로 수식을 계산하는 과정에서 틀렸기 때문이다. 하지만 양자역학에서는 직관과 수식의 결론이 다른 경우, 수식을 다시한번 꼼꼼히 검토하고 산수에서 틀리지 않았다면 그 계산 결과를 믿어야 한다. 유명한 불확정성 원리의 경우에도, 언뜻 보기에는 말도 안되는 결과지만, 이론으로 나타나고 실험으로 증명된 결과라는 점을 생각해 보자. 계산을 자세히 검토하는 꼼꼼함은, 물론 안 그런 과목과 학문이 없겠지만, 양자역학 공부에서도 중요한 학문적 미덕이다. 미시세계에서는 고전적인 직관을 믿을 수 없기 때문에 믿을 수 있는 것은 계산 결과뿐이다. 그러므로 계산 과정에서 실수를 하면 걷잡을 수 없이 그 오류가 전파된다. 어디서 틀렸는지 찾기도 어렵고 어디부터 고쳐야 하는지 감도 안온다. 그러므로 처음부터 틀리지 않도록 꼼꼼하게 계산하는 습관을 들이는 것이 좋다. 이런 자세를 갖고 있으면, 양자역학 공부는 어떻게 시작해야 할까? 물론 어느 과목이든지 다 그렇듯 좋은 교과서를 하나 붙들고 처음부터 끝까지 차분히 읽으면서 예제와 연습문제를 모두 풀어가면 된다. 하지만 문제는 첫 장, 첫 페이지부터 막히는 것이다. 양자역학 교재를 보면 어떤 책은 역사적 순서로, 어떤 책은 개념적 순서로, 어떤 책은 수학적 순서로, 어떤 책은 그냥 자기가 생각난대로(…) 서술하는 등, 다양한 방식이 있다. 어떤 책을 붙들고 읽든지 배우는 내용은 크게 차이가 없지만, 그런 설명과 당신의 사고방식이 얼마나 궁합이 맞느냐에 따라 체감 난이도가 달라진다. 그러므로 많은 책을 추천 받아보고, 도서관에 가서 다양한 교재를 조금씩 읽어보고(서문이라도 읽자), 이거 한권 읽어서 끝나는게 아니라는 걸 감안하고 교재를 선택하자. 읽다가 막히면 다른 책에서 해당 개념을 어떻게 설명하고 있는지 찾아보는 것도 좋다. 양자역학은 교재에 따라서 설명하는 방식이 판이하게 다른데 그건 저자가 갖고 있는 물리적인 이해에 기반하고 있다. 하지만 양자역학 교재는 모두 같은 개념을 다루고 있고, 그 개념들은 설명이 다를지는 몰라도 물리적 실체와 그 안의 수학적 구조는 같은 것이다. 따라서, 가장 중요한 것은 당신이 양자역학의 개념에 대한 당신 나름의 이해와 설명을 갖는 것이다. 자기 나름의 이해를 갖기 위해서 내가 추천하는 방법은 일단 교재를 한번 읽어서 전체적인 구조를 파악하고, 거기에 살을 붙여가면서 이해하는 것이다. 물론 논리적 순서나 수학적 엄밀성을 갖고 쓴 책의 경우 앞에서부터 꼼꼼히 이해해 가면서 읽는 것이 좋긴 한데, 그런 경우에 “내가 이 개념을 왜 배우지?”라는 질문이 해결되지 않은 채 무작정 습득해야 하는 상황이 벌어진다. 그러므로 전체적으로 한번 훑어보고 지금 배우는 개념이 뒤에 가서 어떻게 쓰이는지 감을 잡아가면서 공부하는 것이 좋다. 아무리 대충 쓴 교재라 하더라도 앞에서 썼던 개념은 다 뒤에서 다시 쓰이는 법이다. 또, 교재의 각 챕터 첫 부분에는 그 챕터에서 다루는 개념이 왜 등장했고, 왜 중요하고, 어떻게 쓰이게 될 것인지 간략하게 설명이 되어 있다. 그런 부분들을 꼼꼼하게 읽어야 양자역학을 공부하는데 재미를 붙일 수 있다. 더불어, 역사적으로 어떻게 그런 개념이 등장했고, 실험적으로는 어떻게 검증되었는지를 인터넷(=구글)에서 검색하면서 공부한다면 더욱 좋을 것이다. 교재의 연습문제는 어떻게 해야 할까? 대부분의 물리학 전공 과목들이 그렇겠지만, 연습문제는 방대한 계산을 필요로 하는 것들도 있으며, “이게 연습인가?” 싶을 정도로 복잡한 문제들이 많다. 여기서 복잡하다는 것은 어렵지는 않은데 계산이 복잡한 것을 뜻한다. 가능하면 그런 계산 문제들을 꼭 풀어보고 넘어갈 것을 권한다. 많이 풀다 보면 드디어 양자역학적 직관이 생길 것이다. 만약 그러기 귀찮거나(?) 다 알 것 같거나(?) 하는 경우라면 연습문제 중 앞에 5개 정도는 꼭 풀어보도록 하자. 자기가 진짜 아는지 모르는지 테스트 해 볼 수 있다. 진짜 알고 있다면 그정도는 손쉽게 풀 수 있어야 한다.앞서 고전역학 공부하는 법을 다룬 글에서 고전역학적인 운동방정식을 얻는 세가지 방법에 대해 이야기 했었는데, 그렇다면 그에 대응하는 양자역학에서의 논의는 무엇일까? 고전역학에서 중요한 것은 물체의 위치와 속도라고 했다. 그것을 구할 수 있다면 고전역학의 문제를 다 해결한 것이다. 양자역학에서는 그에 해당하는 것이 파동함수이다. 만약 당신이 어떤 입자 또는 물리계의 파동함수를 구할 수 있다면 그 계에 대해서 모든 것을 알고 있는 것과 같다. 이 파동함수를 구하기 위해서 찾아야 하는 것이 운동방정식일텐데, 양자역학에서는 그에 해당하는 방정식이 여러개가 있다. 슈뢰딩거 방정식, 디락 방정식, 클라인-고든 방정식, 폰 노이만 방정식 등등. 양자역학 교과서에서는 이런 운동방정식들을 일반 원리에서부터 (대충) 유도하거나, 아니면 그냥 던져주거나 한 후, 곧바로 예제와 연습문제가 등장한다. 이미 양자역학을 한번 공부하고서 복습하거나, 고급 과정으로 들어가기 위해 고급 교재를 읽는 경우에는 별 문제가 없겠지만, 이 글을 읽고 있는 초심자인 당신이 이렇게 덜컥 내던져준 운동방정식을 곧바로 받아들이기에는 무리가 있을 것이다. 이런 경우에 좋은 교재는 이 방정식이 튀어나온 역사적 맥락이나 이유를 설명해주겠지만 대부분은 그렇지 않다. 하지만 걱정마시라. 이런 경우를 대비해서 있는 것이 바로 “현대물리학(Modern physics)”이다. 현대물리학이라는 이름이 붙은 과목은 양자역학이나 상대성이론같은 학부 심화 전공 과목의 역사적인 이해와 개념적인 설명을 보다 자세하게 설명하는 역할을 한다. 그래서 초심자가 양자역학을 공부할 때는 “현대물리학(Modern physics)”이라는 교재를 같이 두고 필요할 때 마다 찾아보는 것이 좋다. 수학적인 기법도 중요한데, 양자역학 문제는 교재의 초반부에 나오는 것들을 빼면 후반부 또는 연구 과정에서는 섭동법(Perturbation method)을 쓰는 경우가 많다. 섭동법을 써야 하는 이유는 “잘 모르니까”인데, 대표적으로 본-오펜하이머 근사가 그런 것이다. 만약 우리가 물리 문제의 정답을 알고 있다면 그 정답을 대입해서 검증하면 된다. 하지만 문제를 풀기 전에 그걸 알 수 있을리 없으니 정답을 찾아야 하는데, 그 정답을 찾으려면 정답을 알아야 한다는 모순이 발생한다. (본-오펜하이머 근사법을 공부해 보면 이 말이 왜 나오는지 알게 될 것이다.) 따라서 문제를 근사적으로 풀어야 하는 기법을 동원하는데, 여기서 바로 당신의 물리학적 수학적 센스가 중요하다. 근사적으로 푸는 기법은 결국 파동함수를 어떤 무한 급수로 근사하는데, 그걸 다 계산하려면 무한한 시간이 필요하다. 하지만 당신의 수명은 유한하므로 그걸 다 풀 수는 없고, 적당한 시점에서 끊어야 한다. 바로 그 “적당한” 시점을 얼마나 잘 정하느냐가 당신의 물리학적 센스에 달려있다. 1차, 2차항 정도는 이미 기존에 많은 물리학자들이 다 풀어놓았을 것이고, 3차나 4차도 논문 수준에서는 다 풀려있는 경우가 많다. 그럼 당신은 5차항에 도전할 것인가? 아니면 다른 기법을 쓸 것인가? 아니면 문제를 포기하고 다른 문제에 도전할 것인가? 이걸 잘 하는 것이 중요하다. 특히 고급의 물리학을 공부하면 할 수록 중요해지는 것이니 이게 무슨 말인지 잘 이해하도록 하자. 그렇다면, 이제 당신이 양자역학을 잘 알게 되었는지는 어떻게 판단할 수 있을까? 사람마다 판단 기준이 다르겠지만 나는 다음과 같이 생각한다. 어떤 물리계 또는 물리 문제가 주어져 있을 때, 1. 그 계를 설명하는 해밀토니안을 찾고 2. 그 해밀토니안에 걸맞는 적절한 운동방정식을 찾을 수 있으며, 3. 그 운동방정식을 양자화 할 수 있어야 하고 4. 양자화된 운동방정식을 5. 필요하다면 적당한 근사식을 통해서 풀 수 있어야 한다. 이렇게 다섯가지 단계를 성공적으로 할 수 있다면 양자역학을 그럭저럭 이해했다고 할 수 있겠다. 이쯤에서 양자역학을 공부하는 방법에 관한 글을 마무리 지으려고 한다. 당신의 양자역학 공부에 깨달음이 함께 하기를. 추신 – 이 글을 읽고 나서, 이 글 자체가 이해가 안된다면 아직 당신은 양자역학을 공부할 준비가 되지 않은 것이다. 일반물리학 부터 보시라. 추신2 – “양자역학 쉽게 이해하기” 종류의 교양 책은 양자역학을 공부하는데에는 전혀 도움이 되지 않는다. 그런 종류의 책은 양자역학에서 어려운 부분은 다 빼고 달달한 부분만 추출해서 만든 책이라고 보면 된다. 앞으로 물리를 공부할 생각이 없다면 모르겠지만, 만약 물리를 진지하게 공부할 생각이 있는 경우에는 교양 책은 들여다보지 않아도 된다. (snowall)