필수예제43,가우스의 평균값 정리

[궁금]

thm) u : 단순연결영역 D에서 조화적
=> 적당한 v가 존재해서 f=u+iv가 D에서 해석적

을 1주차 5강때 알려주셨는데

필수예제43번에서 이를 적용시켜서 'u가 단순연결영역 R^2에서 조화적이므로 f=u+iv가 R^2에서 해석적이다. 2.27에 의해 v는 u의 켤레조화함수이고 u,v,f가 R^2에서 해석적이다' 까지 이해했습니다.

더 진행시켜보면

2.27에 의해 f가 R^2에서 해석적이므로 필요충분조건은 v가 u의 켤레조화함수이고, 그것은 2.26에 의해 R^2에서 u,v가 코시-리만 방정식이 성립함을 의미함. 그리고 코시리만 방정식의 전제조건은 u와 v의 일계편도함수가 존재함이다. 즉 미분가능하다.

위를 축약해서
u가 R^2에서 조화적이므로
f=u+iv에서 C에서 미분가능한 v가 존재한다.

질문입니다.
1. 위 내용이 맞나요? 그러니까, u가 R^2(단순연결영역)에서 조화적이므로
f=u+iv가 R^2에서 해석적이 되는 C에서 미분가능한 v가 존재하나요?

2. 위 thm에서 바로 f=u+iv가 R^2에서 해석적이 되는 C에서 미분가능한 v가 존재까지 가는건 없나요?

[김성희]

u, v는 이변수함수이므로 편도함수들이 존재합니다. 변수 하나인 실함수처럼 미분가능하다고 정의하는 건 없습니다.

[궁금]

무슨 말인지 모르겠습니다. 정현민선생님이 말하신 내용은(10강 28분쯤)

'u:R^2(단순연결영역)에서 조화적
=>f=u+iv : C(복소영역)에서 미분가능한 v가 존재한다' 였습니다.




이것을 이 질문글에서는
u(x,y)가 R^2(단순연결영역)에서 조화적-> v(x,y)가 존재해서 f=u+iv가 R^2에서 해석적 -> v는 u의 켤레조화함수.

따라서 v는 2.26 정의에 의해 R^2에서 조화적이고, u와 v가 R^2에서 코시-리만 방정식이 성립함
따라서 u,v가 C(복소영역)에서 코시-리만 방정식이 성립의 조건인 함수 f=u+iv가 C에서 미분가능함(C에서 해석적)
즉, v(x,y)가 C에서 미분가능함.

을 줄여서 말한것인가 라는 질문이었습니다.

[김성희]

f가 C 전체에서 미분가능하다고 말씀하셨습니다. 그리고 u, v는 이변수함수이므로 x에 관해 미분가능, y에 관해 미분가능이라는 두 가지 얘기를 할 수 있습니다.

[궁금]

아 f'에서' 미분가능한 'v'가 존재한다 가 아니고
'f가' 미분가능하게 되는 v가 존재한다 였군요. 제가 막귀였네요.