<p class="cafe-editor-text">행렬 A에 대해 A의 모닉인 특성다항식은 무조건 최소다항식이라고 볼 수 있나요? <br />ker=<m(x)>에서 A의 최소다항식 m(x)가 기약인걸 보이려면 A의 특성다항식이 기약인겅 바로 보이면 될까요? 아니면 특성다항식이 왜 최소다항식이 되는지까지 이유도 서술해줘야하나요?? </p>
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첫댓글행렬 A에 대해 A의 모닉인 특성다항식은 무조건 최소다항식이라고 볼 수 있나요? => 아니요
ker=<m(x)>에서 A의 최소다항식 m(x)가 기약인걸 보이려면 A의 특성다항식이 기약인겅 바로 보이면 될까요? 아니면 특성다항식이 왜 최소다항식이 되는지까지 이유도 서술해줘야하나요?? => 네, 서술해주어야합니다. 선대에서 정방행렬 A에 대한 최소다항식 m(x)는 m(A)=0 을 만족하는 영이아닌 최소차수 모닉다항식입니다. 특성다항식 p(x) 자체가 최소다항식이 아닐수도있습니다.
그러면 특성다항식으로부터 최소다항식을 유도하려면 어떤 방법을 사용해야하나요..? 제가 생각했을땐 특성다항식이 모닉&기약이면 최소다항식이 될 것 같은데.. 그럼 특성다항식을 모닉 기약으로 만들어주고 그 기약 다항식이 A를 근으로 가지면 그것을 최소다항식으로 보면 될까요??
@퐈이팅선대에서 최소다항식은 기약과 관련이없습니다. 예를들어 정방행렬 A에 대해서 특성다항식이 p(x)=(x–u1)^{m}•(x–u2)^{n} 인 경우 케일리 헤밀턴 정리에의해 p(A)=0는 항상 성립합니다. 여기서 A의 최소다항식이 p(x)인지는 알수없습니다. 알수있는것은 A의 최소다항식은 m(x)=(x–u1)^{k}•(x–u2)^{l} 꼴이 됩니다. (단, 1≤k≤m, 1≤l≤n) 이때, m(A)=0을 만족하는 최소의 자연수 k, l을 찾아주면됩니다. 추가적인 내용은 해당 개념이 있는 기본서를 찾아보시기 바랍니다.
첫댓글 행렬 A에 대해 A의 모닉인 특성다항식은 무조건 최소다항식이라고 볼 수 있나요?
=> 아니요
ker=<m(x)>에서 A의 최소다항식 m(x)가 기약인걸 보이려면 A의 특성다항식이 기약인겅 바로 보이면 될까요? 아니면 특성다항식이 왜 최소다항식이 되는지까지 이유도 서술해줘야하나요??
=> 네, 서술해주어야합니다.
선대에서 정방행렬 A에 대한 최소다항식 m(x)는
m(A)=0 을 만족하는 영이아닌 최소차수 모닉다항식입니다.
특성다항식 p(x) 자체가 최소다항식이 아닐수도있습니다.
그러면 특성다항식으로부터 최소다항식을 유도하려면 어떤 방법을 사용해야하나요..?
제가 생각했을땐 특성다항식이 모닉&기약이면 최소다항식이 될 것 같은데.. 그럼 특성다항식을 모닉 기약으로 만들어주고 그 기약 다항식이 A를 근으로 가지면 그것을 최소다항식으로 보면 될까요??
@퐈이팅 선대에서 최소다항식은 기약과 관련이없습니다.
예를들어 정방행렬 A에 대해서
특성다항식이 p(x)=(x–u1)^{m}•(x–u2)^{n} 인 경우
케일리 헤밀턴 정리에의해 p(A)=0는 항상 성립합니다. 여기서 A의 최소다항식이 p(x)인지는 알수없습니다.
알수있는것은 A의 최소다항식은 m(x)=(x–u1)^{k}•(x–u2)^{l} 꼴이 됩니다. (단, 1≤k≤m, 1≤l≤n) 이때, m(A)=0을 만족하는 최소의 자연수 k, l을 찾아주면됩니다.
추가적인 내용은 해당 개념이 있는 기본서를 찾아보시기 바랍니다.