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<시작 : Data Envelopment Analysis>
DEA 분석은 LP를 응용한 분석으로,
동일한 목적과 목표를 갖고 있을 때 얼마나 효율적으로 잘 운영하고 있는지 판단하는데 사용됩니다.
예를 들어, 동일한 패스트푸드 매장에서 각 체인점을 평가할때 사용할 수 있으며
이 경우 비효율적인 체인점을 식별하여 필요시에 시정 조치를 가능하게 합니다.
또한 DEA는 병원, 은행, 법원, 학교 등의 상대적 효율을 판단하는데 사용되며,
이 경우 역시 같은 시스템 내에서 있는 기관 혹은 조직을 상대적으로 측정을 가능하게 합니다.
상황 :
General Hospital, University Hospital, County Hospital, State Hospital 의 관리자들은
각 병원의 성과를 향상시키기 위해 논의해왔습니다.
그들이 측정한 것은 다음과 같습니다.
투입 지표
1. 의사가 아닌 행정 인력의 수
2. 소모품에 지출한 금액
3. 사용 가능한 병상의 개수
산출 지표
1. 의료 보험이 적용되는 환자의 치료 일 수
2. 의료 보험이 적용되지 않는 환자의 치료 일 수
3. 교육 중인 간호사의 수
4. 교육 중인 인턴의 수
4개의 병원에 1년 동안 요약한 종합된 지표는 다음과 같습니다.
| 투입 지표 | General | University | County | State |
| 의사가 아닌 행정 인력의 수 | 285.20 | 162.30 | 275.70 | 210.40 |
| 소모품에 지출한 금액 ($1000) | 123.80 | 128.70 | 348.50 | 154.10 |
| 사용 가능한 병상의 개수 (1000s) | 106.72 | 64.21 | 104.10 | 104.04 |
| 산출 지표 | General | University | County | State |
| 의료 보험이 적용되는 환자의 치료 일 수 (1000s) | 48.14 | 34.64 | 36.72 | 33.16 |
| 의료 보험이 적용되지 않는 환자의 치료 일 수 (1000s) | 43.10 | 27.11 | 45.98 | 56.46 |
| 교육 중인 간호사의 수 | 253 | 148 | 175 | 160 |
| 교육 중인 인턴의 수 | 41 | 27 | 23 | 84 |
이 상황에서 각 병원에 대한 효율을 평가할 LP 모델이 필요합니다.
해당 모델의 County Hospital 상대적 효율성을 평가하는데 사용할 것입니다.
1. 동일한 목표를 가진 타깃(이 상황의 경우 병원) 의 투입지표와 산출지표를 통해 가상의 타깃을 만듭니다.
2. 각 병원의 4개의 산출 지표는 모든 병원의 산출 지표의 가중치의 평균에 의해 계산되어 결정됩니다.
3. 각 병원의 3개의 투입 지표는 모든 병원의 투입 지표의 가중치의 평균에 의해 계산되어 결정됩니다.
가상의 타깃의 투입 지표와 산출 지표를 계산하기 위해서 사용되는 결정 변수는 다음과 같습니다.
wg = General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치
wu = University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치
wc = County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치
ws = State Hospitla의 투입 지표와 산출 지표의 가중치
DEA에 따라 가중치의 합은 1이 됩니다. 따라 첫번째 제약 조건은 다음과 같습니다.
wg + wu + wc + ws = 1 (각 가중치의 합은 100%가 되어야 하기에 1을 넘을 수 없다.)
각 병윈에 따라 가상의 타깃의 투입 지표는 4개의 병원의 산출 지표의 가중치의 평균에 따라 결정됩니다.
위의 식에 따라 가상의 타깃의 투입 지표를 구하는 식은 다음과 같습니다.
가상의 타깃의 투입지표 =
(General Hospital의 투입지표 )*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 투입지표 )*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 투입지표 )*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 투입지표 )*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
이와 같은 방식으로 가상의 타깃의 투입 지표를 구하면 아래와 같습니다.
가상의 타깃의 FTE nonphysicians =
(General Hospital의 FTE nonphysicians)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 FTE nonphysicians)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 FTE nonphysicians)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 FTE nonphysicians)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
가상의 타깃의 Supply expense =
(General Hospital의 Supply expense)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 Supply expense)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 Supply expense)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 Supply expense)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
가상의 타깃의 Bed-days =
(General Hospital의 Bed-days)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 Bed-days)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 Bed-days)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 Bed-days)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
각 병윈에 따라 가상의 타깃의 산출 지표 또한 4개의 병원의 산출 지표의 가중치의 평균에 따라 결정됩니다.
위의 식에 따라 가상의 타깃의 산출 지표를 구하는 식은 다음과 같습니다.
가상의 타깃의 산출지표 =
(General Hospital의 산출지표 )*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 산출지표 )*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 산출지표 )*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 산출지표 )*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
이와 같은 방식으로 가상의 타깃의 투입 지표를 구하면 아래와 같습니다.
가상의 타깃의 Medicare Patient =
(General Hospital의 Medicare Patient)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 Medicare Patient)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 Medicare Patient)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 Medicare Patient)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
가상의 타깃의 Non-Medicare Patient =
(General Hospital의 Non-Medicare Patient)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 Non-Medicare Patient)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 Non-Medicare Patient)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 Non-Medicare Patient)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
가상의 타깃의 Nurse =
(General Hospital의 Nurse)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 Nurse)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 Nurse)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 Nurse)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
가상의 타깃의 Interns =
(General Hospital의 Interns)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(University Hospital의 Interns)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(County Hospital의 Interns)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +
(State Hospital의 Interns)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)
가상의 타깃의 산출지표는 County Hospital 의 산출지표(문제에서 County Hospital의 상대적 효율성 기준으로 하고 있기 때문에)보다 크거나 같아야 합니다. 따라서 산출 지표의 제약조건은 다음과 같습니다.
가상의 타깃의 산출지표 >= County Hospital의 산출 지표
이에 따라 산출지표의 제약조건식을 정리하면 다음과 같습니다.
가상의 타깃의 Medicare >= County Hospital의 Medicare
48.14wg + 34.62wu + 36.72wc + 33.16ws >= 36.72
가상의 타깃의 Non-Medicare >= County Hospital의 Non-Medicare
43.10wg + 27.11wu + 45.98wc + 56.46ws >= 45.98
가상의 타깃의 Nurses >= County Hospital의 Nurse
253wg + 148wu + 175wc + 160ws >= 175
가상의 타깃의 Interns >= County Hospital의 Interns
41wg + 27wu + 23wc + 84ws >= 23
효율은 출력 / 입력으로 구할 수 있습니다.
가상의 타깃과 County Hospital의 효율을 비교할 때,
County Hospital을 효율성을 비교하기 위해서는 2가지 경우로 효율을 비교할 수 있습니다.
1. County Hospital 만큼 출력이 되었을 때, 입력된 양이 적은 경우 -> County Hospital의 효율이 더 떨어진다.
2. County Hospital 만큼 입력이 되었을 때, 출력된 양이 더 많은 경우 -> County Hospital 의 효율이 더 떨어진다.
그럼 효율을 확인하기 위해 'Input의 현재의 몇%만 투입되면 되는가?'를 확인한다면
County Hospital의 효율성을 비교할 수 있습니다.
이를 계수로 나타내면 다음과 같습니다.
그리고 E의 결과를 확인할 때 다음과 같이 세 가지의 경우로 나눌 수 있습니다.
만약 E 가 1이 라면 해당 투입된 양에 해당하는 결과 만큼 나오는 것이 되며,
이는 나쁘지 않게 운영하고 있는 것으로 평가 할 수 있습니다.
만약 E가 1보다 크다면 해당 투입된 양보다 좋은 결과가 나오는 것이므로,
이는 괜찮게 운영하고 있는 것으로 평가 할 수 있습니다.
만약 E가 1보다 작다면 해당 투입된 양보다 적은 양으로 해당 결과를 낼 수 있는 것이므로,
이는 나쁘게 운영하고 있는 것으로 평가 할 수 있습니다.
이에 따라 최종적인 목표는 최소 E 값을 구하는 것이 될 것입니다.
위를 식으로 정리하면 이는 다음과 같습니다.
목표함수 :
Min E (County Hospital의 몇% 만 투입되면 출력을 구할 수 있는가?)
제약조건식:
wg + wu + wc + ws = 1
(가중치의 합은 1이다.)
48.14wg + 34.62wu + 36.72wc + 33.16ws >= 36.72
43.10wg + 27.11wu + 45.98wc + 56.46ws >= 45.98
253wg + 148wu + 175wc + 160ws >= 175
41wg + 27wu + 23wc + 84ws >= 23
( 출력 지표가 클 경우, 비교하기 위한 제약조건식)
285.20wg + 162.30wu + 275.70wc + 210.40ws <= 275.70E
123.80wg + 128.70wu + 348.50wc + 154.10ws <= 348.50E
106.72wg + 64.21wu + 104.10wc + 104.04ws <= 104.10E
( 입력 지표가 작을 경우, 비교하기 위한 제약 조건 식)
이를 MS60에 입력하면 다음과 같습니다.
결과 값은 아래와 같습니다.
LINEAR PROGRAMMING PROBLEM
MIN 1E
S.T.
1) 1wg+1wu+1wc+1ws=1
2) 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws>36.72
3) 43.1wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws>45.98
4) 253wg+148wu+175wc+160ws>175
5) 41wg+27wu+23wc+84ws>23
6) 285.2wg+162.3wu+275.7wc+210.4ws-275.7E<0
7) 123.8wg+128.7wu+348.5wc+154.1ws-348.5E<0
8) 106.72wg+64.21wu+104.1wc+104.04ws-104.1E<0
OPTIMAL SOLUTION
Objective Function Value = 0.905
Variable Value Reduced Costs
-------------- --------------- ------------------
wg 0.212 0.000
wu 0.260 0.000
wc 0.000 0.095
ws 0.527 0.000
E 0.905 0.000
Constraint Slack/Surplus Dual Prices
-------------- --------------- ------------------
1 0.000 0.239
2 0.000 -0.014
3 0.000 -0.014
4 1.615 0.000
5 37.027 0.000
6 35.824 0.000
7 174.422 0.000
8 0.000 0.010
OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES
Variable Lower Limit Current Value Upper Limit
------------ --------------- --------------- ---------------
wg -0.200 0.000 0.446
wu No Lower Limit 0.000 0.364
wc -0.095 0.000 No Upper Limit
ws -0.427 0.000 0.180
E 0.000 1.000 No Upper Limit
RIGHT HAND SIDE RANGES
Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit
------------ --------------- --------------- ---------------
1 0.915 1.000 1.015
2 36.485 36.720 44.911
3 43.829 45.980 53.285
4 No Lower Limit 175.000 176.615
5 No Lower Limit 23.000 60.027
6 -35.824 0.000 No Upper Limit
7 -174.422 0.000 No Upper Limit
8 No Lower Limit 0.000 13.527
목적 함수 값이 0.905 이 나왔습니다.
이는 현재 County Hospital 에 투입된 양의 약 90%만 투입해도 해당 결과가 나오게 된다는 의미 입니다.
따라 현재 County Hospital은 효율이 좋지 못하게 운영되고 있는 것을 알 수 있습니다.
이를 반영하듯 wc는 선택되지 못한 값을 보이고 있는 것을 확인 할 수 있습니다.
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첫댓글 시험 후에도 상세한 내용의 복습글로 참여 하는 구나.