경영과학 10주차 복습_Data Envelopment Analysis

[최승현(스마트헬스케어)]

<시작 : Data Envelopment Analysis>

DEA 분석은 LP를 응용한 분석으로,

동일한 목적과 목표를 갖고 있을 때 얼마나 효율적으로 잘 운영하고 있는지 판단하는데 사용됩니다.

예를 들어, 동일한 패스트푸드 매장에서 각 체인점을 평가할때 사용할 수 있으며

이 경우 비효율적인 체인점을 식별하여 필요시에 시정 조치를 가능하게 합니다.

또한 DEA는 병원, 은행, 법원, 학교 등의 상대적 효율을 판단하는데 사용되며,

이 경우 역시 같은 시스템 내에서 있는 기관 혹은 조직을 상대적으로 측정을 가능하게 합니다.

상황 :

General Hospital, University Hospital, County Hospital, State Hospital 의 관리자들은

각 병원의 성과를 향상시키기 위해 논의해왔습니다.

그들이 측정한 것은 다음과 같습니다. 

투입 지표

1. 의사가 아닌 행정 인력의 수 

2. 소모품에 지출한 금액

3. 사용 가능한 병상의 개수

산출 지표

1. 의료 보험이 적용되는 환자의 치료 일 수

2. 의료 보험이 적용되지 않는 환자의 치료 일 수

3. 교육 중인 간호사의 수

4. 교육 중인 인턴의 수 

4개의 병원에 1년 동안 요약한 종합된 지표는 다음과 같습니다.

투입 지표	General	University	County	State
의사가 아닌 행정 인력의 수	285.20	162.30	275.70	210.40
소모품에 지출한 금액 (＄1000)	123.80	128.70	348.50	154.10
사용 가능한 병상의 개수 (1000s)	106.72	64.21	104.10	104.04

산출 지표	General	University	County	State
의료 보험이 적용되는 환자의 치료 일 수 (1000s)	48.14	34.64	36.72	33.16
의료 보험이 적용되지 않는 환자의 치료 일 수 (1000s)	43.10	27.11	45.98	56.46
교육 중인 간호사의 수	253	148	175	160
교육 중인 인턴의 수	41	27	23	84

이 상황에서 각 병원에 대한 효율을 평가할 LP 모델이 필요합니다.

해당 모델의 County Hospital 상대적 효율성을 평가하는데 사용할 것입니다.

1. 동일한 목표를 가진 타깃(이 상황의 경우 병원) 의 투입지표와 산출지표를 통해 가상의 타깃을 만듭니다.

2. 각 병원의 4개의 산출 지표는 모든 병원의 산출 지표의 가중치의 평균에 의해 계산되어 결정됩니다.

3. 각 병원의 3개의 투입 지표는 모든 병원의 투입 지표의 가중치의 평균에 의해 계산되어 결정됩니다.

가상의 타깃의 투입 지표와 산출 지표를 계산하기 위해서 사용되는 결정 변수는 다음과 같습니다.

wg = General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치

wu = University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치

wc = County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치

ws = State Hospitla의 투입 지표와 산출 지표의 가중치

DEA에 따라 가중치의 합은 1이 됩니다. 따라 첫번째 제약 조건은 다음과 같습니다.

wg + wu + wc + ws = 1 (각 가중치의 합은 100%가 되어야 하기에 1을 넘을 수 없다.)

각 병윈에 따라 가상의 타깃의 투입 지표는 4개의 병원의 산출 지표의 가중치의 평균에 따라 결정됩니다.

위의 식에 따라 가상의 타깃의 투입 지표를 구하는 식은 다음과 같습니다.

가상의 타깃의 투입지표 =

(General Hospital의 투입지표 )*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 투입지표 )*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 투입지표  )*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 투입지표 )*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

이와 같은 방식으로 가상의 타깃의 투입 지표를 구하면 아래와 같습니다.

가상의 타깃의 FTE nonphysicians =

(General Hospital의 FTE nonphysicians)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 FTE nonphysicians)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 FTE nonphysicians)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 FTE nonphysicians)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

가상의 타깃의 Supply expense =

(General Hospital의 Supply expense)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 Supply expense)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 Supply expense)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 Supply expense)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

가상의 타깃의 Bed-days =

(General Hospital의 Bed-days)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 Bed-days)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 Bed-days)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 Bed-days)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

각 병윈에 따라 가상의 타깃의 산출 지표 또한 4개의 병원의 산출 지표의 가중치의 평균에 따라 결정됩니다.

위의 식에 따라 가상의 타깃의 산출 지표를 구하는 식은 다음과 같습니다.

가상의 타깃의 산출지표 =

(General Hospital의 산출지표 )*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 산출지표 )*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 산출지표 )*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 산출지표 )*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

이와 같은 방식으로 가상의 타깃의 투입 지표를 구하면 아래와 같습니다.

가상의 타깃의 Medicare Patient =

(General Hospital의 Medicare Patient)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 Medicare Patient)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 Medicare Patient)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 Medicare Patient)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

가상의 타깃의 Non-Medicare Patient =

(General Hospital의 Non-Medicare Patient)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 Non-Medicare Patient)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 Non-Medicare Patient)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 Non-Medicare Patient)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

가상의 타깃의 Nurse =

(General Hospital의 Nurse)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 Nurse)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 Nurse)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 Nurse)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

가상의 타깃의 Interns =

(General Hospital의 Interns)*wg(General Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(University Hospital의 Interns)*wu(University Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(County Hospital의 Interns)*wc(County Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치) +

(State Hospital의 Interns)*ws(State Hospital의 투입 지표와 산출 지표의 가중치)

가상의 타깃의 산출지표는 County Hospital 의 산출지표(문제에서 County Hospital의 상대적 효율성 기준으로 하고 있기 때문에)보다 크거나 같아야 합니다. 따라서 산출 지표의 제약조건은 다음과 같습니다.

가상의 타깃의 산출지표 >= County Hospital의 산출 지표

이에 따라 산출지표의 제약조건식을 정리하면 다음과 같습니다.

가상의 타깃의 Medicare >= County Hospital의 Medicare

 48.14wg + 34.62wu + 36.72wc + 33.16ws >= 36.72

가상의 타깃의 Non-Medicare >= County Hospital의 Non-Medicare

 43.10wg + 27.11wu + 45.98wc + 56.46ws >= 45.98

가상의 타깃의 Nurses >= County Hospital의 Nurse

 253wg + 148wu + 175wc + 160ws >= 175

가상의 타깃의 Interns >= County Hospital의 Interns

 41wg + 27wu + 23wc + 84ws >= 23

효율은 출력 / 입력으로 구할 수 있습니다.

가상의 타깃과 County Hospital의 효율을 비교할 때,

County Hospital을 효율성을 비교하기 위해서는 2가지 경우로 효율을 비교할 수 있습니다.

1. County Hospital 만큼 출력이 되었을 때, 입력된 양이 적은 경우 -> County Hospital의 효율이 더 떨어진다.

2. County Hospital 만큼 입력이 되었을 때, 출력된 양이 더 많은 경우 -> County Hospital 의 효율이 더 떨어진다.

그럼 효율을 확인하기 위해 'Input의 현재의 몇%만 투입되면 되는가?'를 확인한다면

County Hospital의 효율성을 비교할 수 있습니다.

이를 계수로 나타내면 다음과 같습니다.

그리고 E의 결과를 확인할 때 다음과 같이 세 가지의 경우로 나눌 수 있습니다.

만약 E 가 1이 라면 해당 투입된 양에 해당하는 결과 만큼 나오는 것이 되며,

이는 나쁘지 않게 운영하고 있는 것으로 평가 할 수 있습니다.

만약 E가 1보다 크다면 해당 투입된 양보다 좋은 결과가 나오는 것이므로,

이는 괜찮게 운영하고 있는 것으로 평가 할 수 있습니다.

만약 E가 1보다 작다면 해당 투입된 양보다 적은 양으로 해당 결과를 낼 수 있는 것이므로,

이는 나쁘게 운영하고 있는 것으로 평가 할 수 있습니다.

이에 따라 최종적인 목표는 최소 E 값을 구하는 것이 될 것입니다.

위를 식으로 정리하면 이는 다음과 같습니다.

목표함수 :

Min E (County Hospital의 몇% 만 투입되면 출력을 구할 수 있는가?)

제약조건식:

wg + wu + wc + ws = 1 

(가중치의 합은 1이다.)

48.14wg + 34.62wu + 36.72wc + 33.16ws >= 36.72

43.10wg + 27.11wu + 45.98wc + 56.46ws >= 45.98

253wg + 148wu + 175wc + 160ws >= 175

41wg + 27wu + 23wc + 84ws >= 23 

( 출력 지표가 클 경우, 비교하기 위한 제약조건식)

285.20wg + 162.30wu + 275.70wc + 210.40ws <= 275.70E

123.80wg + 128.70wu + 348.50wc + 154.10ws <= 348.50E

106.72wg + 64.21wu + 104.10wc + 104.04ws <= 104.10E

( 입력 지표가 작을 경우, 비교하기 위한 제약 조건 식)

이를 MS60에 입력하면 다음과 같습니다.

결과 값은 아래와 같습니다.

LINEAR PROGRAMMING PROBLEM

MIN 1E

     S.T.

       1)  1wg+1wu+1wc+1ws=1
       2)  48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws>36.72
       3)  43.1wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws>45.98
       4)  253wg+148wu+175wc+160ws>175
       5)  41wg+27wu+23wc+84ws>23
       6)  285.2wg+162.3wu+275.7wc+210.4ws-275.7E<0
       7)  123.8wg+128.7wu+348.5wc+154.1ws-348.5E<0
       8)  106.72wg+64.21wu+104.1wc+104.04ws-104.1E<0

OPTIMAL SOLUTION

Objective Function Value =           0.905

      Variable             Value             Reduced Costs   
   --------------     ---------------      ------------------ 
         wg                     0.212                   0.000
         wu                     0.260                   0.000
         wc                     0.000                   0.095
         ws                     0.527                   0.000
         E                      0.905                   0.000


     Constraint        Slack/Surplus           Dual Prices    
   --------------     ---------------      ------------------
         1                      0.000                   0.239
         2                      0.000                  -0.014
         3                      0.000                  -0.014
         4                      1.615                   0.000
         5                     37.027                   0.000
         6                     35.824                   0.000
         7                    174.422                   0.000
         8                      0.000                   0.010

OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES

   Variable       Lower Limit       Current Value     Upper Limit
 ------------   ---------------    ---------------  ---------------
      wg                 -0.200              0.000            0.446
      wu         No Lower Limit              0.000            0.364
      wc                 -0.095              0.000   No Upper Limit
      ws                 -0.427              0.000            0.180
      E                   0.000              1.000   No Upper Limit


RIGHT HAND SIDE RANGES

  Constraint      Lower Limit       Current Value     Upper Limit
 ------------   ---------------    ---------------  ---------------
       1                  0.915              1.000            1.015
       2                 36.485             36.720           44.911
       3                 43.829             45.980           53.285
       4         No Lower Limit            175.000          176.615
       5         No Lower Limit             23.000           60.027
       6                -35.824              0.000   No Upper Limit
       7               -174.422              0.000   No Upper Limit
       8         No Lower Limit              0.000           13.527

목적 함수 값이 0.905 이 나왔습니다.

이는 현재 County Hospital 에 투입된 양의 약 90%만 투입해도 해당 결과가 나오게 된다는 의미 입니다.

따라 현재 County Hospital은 효율이 좋지 못하게 운영되고 있는 것을 알 수 있습니다.

이를 반영하듯 wc는 선택되지 못한 값을 보이고 있는 것을 확인 할 수 있습니다.

[현승용]

시험 후에도 상세한 내용의 복습글로 참여 하는 구나.