<p>텍스트로 적는데는 한계가 있어서 보기 좋게 LaTeX으로 작성한걸 캡쳐했음을 알려드립니다.</p><p><br></p><p>푸리에 변환이 가능한 함수 f가 있어서 다음을 정의한다고 합시다.</p><p style="text-align: center;"><img src="https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/23068E4D551B8A562B" class="txc-image" hspace="1" vspace="1" border="0" actualwidth="365" width="365" exif="{}" data-filename="K-1.png" style="line-height: 19.2000007629395px; text-align: center; clear: none; float: none;" id="A_23068E4D551B8A562BF9F0"/><br></p><p>이 때 다음을 성립하는것을 증명하는 과정입니다.</p><p style="line-height: 19.2000007629395px; text-align: center;"><img src="https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/2521B74D551B8A5617" class="txc-image" hspace="1" vspace="1" border="0" actualwidth="441" width="441" exif="{}" data-filename="K-2.png" style="clear: none; float: none;" id="A_2521B74D551B8A5617EC49"/></p><p style="line-height: 19.2000007629395px; text-align: center;"><br></p><p style="text-align: left;">먼저, 무한 대신 N을 넣고 부분적분을 통해 다음과 같은 식을 얻습니다.<br></p><p style="text-align: center;"></p><p style="line-height: 19.2000007629395px; text-align: center;"><br></p><div><p style="line-height: 19.2000007629395px; text-align: center;"><img src="https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/256E8E38551B895F24" class="txc-image" hspace="1" vspace="1" border="0" actualwidth="1024" width="1024" exif="{}" data-filename="K-6.png" style="clear: none; float: none;" id="A_256E8E38551B895F246407"/></p></div><div><br></div><p>이 후, N을 무한으로 보내면 바로 두번째 식이 성립한다고 책에 쓰여 있습니다.</p><p><br></p><p>그러나 여기서 전 의문이 듭니다. 복소 지수는 oscillating function 이니까 무한으로 가도 극한이 정의가 안되어야 하는데, 왜 저게 0이 되는지 이해가 안갑니다.</p><p><br></p><p>혹시나 이 부분에 대하여 명확한 설명을 해주실분 계시는지요?</p>
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첫댓글http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform의 Uniform continuity and the Riemann?Lebesgue lemma 파트 참고하였습니다. 이 부분을 정리하자면 ^f(xi) 가 적분 가능한 함수이면 f(x)는 균등 연속이며 |x|->inf 일때 f(x)->0 라는 말이 됩니다. 즉 위에서 0가 되는 이유는 oscillating function이라서가 아니라 f(x)가 플러스 마이너스 무한대에서 0이기 때문입니다.
답변 감사드립니다. 그러나 여전히 의문점이 남는듯 합니다. 원본을 읽어봤지만, 거기선 f(x)의 F.T. 결과인 F(ξ)(표기법 혼란을 방지하기위해 대문자를 쓰겠습니다.) 에 대하여, |ξ|가 ∞으로 감에 따라 F(ξ)가 0으로 수렴한다고 써져 있습니다. 그러나 여기서 제가 의문을 제기한 식에는 F(ξ)가 아닌, f(x)가 쓰여져있고, 따라서 pmop님이 설명해주신 부분은 표기법이 섞여서 논리가 변질된 느낌이 듭니다. 이 부분에 대하여 다시 설명을 해주실 수 있으실까요?
@4Bytes오해를 드려 죄송합니다. 리반-르벡의 보조정리는 단지 한 함수가 균등연속이며 적분가능하면 푸리에변환으로 정의된 그 함수의 듀얼함수는 플러스마이너스 무한대 극한에서 0이 되어야 한다는 정리 입니다. 그래서 ^f(xi)가 균등 연속이고 적분 가능한 함수이면 |x|->inf 일때 f(x)->0 가 됩니다. 제 주장은 문제에서 ^f(xi)가 균등 연속이고 적분 가능한 함수라는 가정이 생략 되어 있다는 것입니다.
x와 xi표기를 신경쓰실 필요는 없습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_inversion_theorem에서 Properties of inverse transform 파트 보시면 리만-르벡 보조정리가 역변환에서도 똑같이 나타난다고 되어있기때문입니다.
@4Bytes참고로 물리학이나 공학에서 배우는 배울때는 역변환이 엄격한 논의 없이 그냥 등장하는데 이는f(x)와 ^f(xi) 가 적분가능 하고 연속이라는 가정이 생략되어 있는 것입니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_inversion_theorem 에서 Conditions on the function 부분 보시면 어떨때 역변환이 잘 정의되는지 나와 있습니다. 혹시 제가 적은 것이 이해가 잘 되시지 않는다면 댓글 남겨 주세요. 답글 쓰기로 다시 정리해 드리겠습니다.
첫댓글 http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform의 Uniform continuity and the Riemann?Lebesgue lemma 파트 참고하였습니다. 이 부분을 정리하자면 ^f(xi) 가 적분 가능한 함수이면 f(x)는 균등 연속이며 |x|->inf 일때 f(x)->0 라는 말이 됩니다. 즉 위에서 0가 되는 이유는 oscillating function이라서가 아니라 f(x)가 플러스 마이너스 무한대에서 0이기 때문입니다.
답변 감사드립니다. 그러나 여전히 의문점이 남는듯 합니다. 원본을 읽어봤지만, 거기선 f(x)의 F.T. 결과인 F(ξ)(표기법 혼란을 방지하기위해 대문자를 쓰겠습니다.) 에 대하여, |ξ|가 ∞으로 감에 따라 F(ξ)가 0으로 수렴한다고 써져 있습니다. 그러나 여기서 제가 의문을 제기한 식에는 F(ξ)가 아닌, f(x)가 쓰여져있고, 따라서 pmop님이 설명해주신 부분은 표기법이 섞여서 논리가 변질된 느낌이 듭니다. 이 부분에 대하여 다시 설명을 해주실 수 있으실까요?
@4Bytes 오해를 드려 죄송합니다. 리반-르벡의 보조정리는 단지 한 함수가 균등연속이며 적분가능하면 푸리에변환으로 정의된 그 함수의 듀얼함수는 플러스마이너스 무한대 극한에서 0이 되어야 한다는 정리 입니다. 그래서 ^f(xi)가 균등 연속이고 적분 가능한 함수이면 |x|->inf 일때 f(x)->0 가 됩니다. 제 주장은 문제에서 ^f(xi)가 균등 연속이고 적분 가능한 함수라는 가정이 생략 되어 있다는 것입니다.
x와 xi표기를 신경쓰실 필요는 없습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_inversion_theorem에서 Properties of inverse transform 파트 보시면 리만-르벡 보조정리가 역변환에서도 똑같이 나타난다고 되어있기때문입니다.
@4Bytes 참고로 물리학이나 공학에서 배우는 배울때는 역변환이 엄격한 논의 없이 그냥 등장하는데 이는f(x)와 ^f(xi) 가 적분가능 하고 연속이라는 가정이 생략되어 있는 것입니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_inversion_theorem 에서 Conditions on the function 부분 보시면 어떨때 역변환이 잘 정의되는지 나와 있습니다.
혹시 제가 적은 것이 이해가 잘 되시지 않는다면 댓글 남겨 주세요. 답글 쓰기로 다시 정리해 드리겠습니다.
답변 감사드립니다. 정리가 다 되었네요. 다만 현재 나온 정보 대로면, 리만-르벡 정리를 이용하여 저 문의점을 해려면 반드시 푸리에 역변환의 유일성이 증명되어야 하니 조금 돌아가는 느낌이 들기도 합니다. 수학의 엄밀함은 여러모로 어렵네요.
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Integrable_Function 는 적분 가능한 함수의 정의 입니다. 르벡 적분 꼴로 적혀 있지만 그냥 ^f(xi)함수를 절대값을 xi에 대해 적분해서 무한대가 될 수 없으면 됩니다.