[집합론] 러셀의 역설(2)

[pmop]

  앞서 러셀의 역설이 어떤 내용인지 소개해 드린바 있습니다. 하지만 왜 이런 역설이 일어나는지는 언급하지 않았죠. 이제 그 예기를 하고 수학자들은 이 문제를 어떻게 해결 했는지 소개해 드리고자 합니다.

 결론부터 말하자면 사실 러셀의 역설은 칸토어가 집합론을 예기할 때 너무 직관적으로 정리 했기 때문에 생기는 문제입니다. 집합을 그저 모임으로 보는 엄밀하지 못함이 불러온 비극이라 할 수 있습니다. 그래서 칸토어의 집합론을 영어로는 naive set theory라고도 합니다. 네이버에서 찾아보면 naive는 다음과 같은 의미를 가지는데

 (경험・지식 부족 등으로) 순진해 빠진, (모자랄 정도로) 순진한   2. 순진무구한

한마디로 집합 예기를 너무 쉽게 예기 해 버렸다는 거죠. 그래서 모순을 일으킬 만한 논리 구멍들이 있었던 것입니다. 하지만 많은 경우 집합론을 공리 체계 위에서 배울 필요는 없는 것으로 보입니다. 학부 과정에서 칸토어의 방식대로 집합론을 가르치는 것이 그 증거입니다. 따라서 그냥 러셀의 역설과 같은 몇가지 발견된 문제점들을 해결코자 공리적 집합론이 필요했다고 보면 될 것 같습니다.

대표적인 공리적 집합론의 예는 체르멜로-프랑캘의 집합론(Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of Choice-ZFC) 이 있습니다. ZFC-Wiki

ZFC 내용은 한글 위키에 자세히 설명 되어 있습니다. 그 중에서 러셀의 역설과 관련 있는 공리는 두번째 공리인 정칙성 공리(혹은 기본 공리)와 세번째 공리인 분류 공리꼴입니다. 그 내용은 다음과 같습니다.

정칙성 공리

정칙성 공리(영어: axiom of regularity) 혹은 기초공리(영어: axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다.

분류 공리

z가 집합이고 가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때 이를 만족하는 것들로 이루어진 z의 부분집합이 존재한다.

분류 공리에서는 '성질'을 이용하여 존재하는 집합이 무엇인지를 예기를 하고 있습니다. 주요한 특징은 z가 집합임을 전제로 하다는 것입니다. 다시말해 러셀의 역설을 예로 들면 집합z에 대해 {x∈z|x not in x}인 x로 이뤄진 z의 부분집합이 존재한다는 것입니다. z는 정칙성 공리에 따라 '모든 집합의 집합'이나 '자기자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합의 집합'은 될 수 없습니다. 따라서 러셀의 역설에서 등장한 자기자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합의 집합은 ZFC에서는 집합 자체가 될 수 없다는 결론을 내게 됩니다.

결국 ZFC는 러셀의 역설을 공리로 배제시켜 논외의 대상으로 만든 것이라고 할수 있겠습니다.