2500년의 시공을 초월하여...
유한수열:
무한수열:
수학의 꽃: 수열
하나, 둘, 셋, 넷, …
일, 이, 삼, 사, 오, 육, 칠, …
이것은 무엇일까요?
'수열'입니다.
수열에는
등차수열, 등비수열, 조화수열 등이 있습니다.
그렇다면...
'수열'이란 무엇일까요?
스승 탈레스는
처음에 가르칠 학생이 생기지 않자
자신에게 배우면 돈을 주겠다고 했답니다.
그렇게 해서 어찌 어찌 가르치게 되었는데
결국 돈이 떨어지자
가르치는 것을 포기하기에 이르렀습니다.
그러나...
한 아이가 돈을 받지 않아도 배우기를 희망하였고
그 아이는 '피타고라스의 정리' 등을 발견하게 되었다고 합니다.
(설에 의하면 피타고라스 학파의 발견은 모두 피타고라스 이름으로 발표되었다고 함)
수열 분야에서도
피타고라스는 등장합니다.
'수열'이란 무엇인가?
'수열'이란
'일정한 규칙에 따라 수를 나열한 것'으로 정의됩니다.
좀 더 엄밀하게 함수를 이용해서 정의하자면...
자연수 전체 또는 앞의 n개의 집합을 정의역으로 하는
함수 으로 정의됩니다.
즉,
각 자연수 의 함수값을
수열의 제항
으로 정의한 함수입니다.
실수열의 예를 들면,
수열 은
함수
인 셈입니다.
구체적 수열에 적용하는
(구체적) 수열의 귀납적 정의
구체적인 수열을
정의하는 방법 중 하나는
귀납적 정의법입니다.
먼저 처음 몇 항의 값을 정하고,
그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의합니다.
일반항 공식에 의한 수열의 정의가
임의의 과 사이의 관계를 사용한다면
(이를테면 )
귀납적 정의는
각 을 부터 까지의 항들로 나타낸 식을 사용합니다.
예를들어,
피보나치 수열 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …)은
귀납적으로 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예입니다.
처음 두 항은 둘 다 1이고,
셋째 항 뒤부터는 앞의 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의합니다.
즉,
피보나치 수열에 대한 귀납적 정의는
다음과 같이 간단합니다.
그러나
피보나치 수열의 일반항 공식은
피보나치 수열에 대한 귀납적 정의보다
훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵습니다.
피보나치 수열의 일반항은
다음과 같습니다.
수열 자체의
귀납적 정의
유명한 수학자들의 사진을 들여다봅니다.
들여다 보고 또 들여다 봅니다.
그러면 마치 그 수학자와 시공을 뛰어넘어
무언의 대화를 하고 있는 듯한 착각에 빠지게 됩니다.
구체적인 수열에 대한
귀납적 정의가 아닌...
수열 자체에 대한
귀납적 정의를 하게 된 것은
위와 같은 과정을 통해 얻어진 것입니다.
수열 자체에 대한
귀납적 정의를 했던 시기는
1986년 고3때 입니다.
수열은 유한수열과 무한수열로 나뉘게 되는데
유한수열과 무한수열의 귀납적 정의가 다릅니다.
현대 수학이
이러한 정의를 받아들이게 될 지는 알 수 없습니다.
학계에
정식으로 논문을 써서 발표된 적이 없기 때문에...
피타고라스(Pythagoras:BC 527?-492?)
이후
현재 AD 2020년 입니다.
피타고라스 시절
약 2500년 후
수열을 독자적으로 새롭게 정의하고 있는 것입니다.
(물론 누군가 이미 정의했을 수도 있습니다.)
유한수열의
귀납적 정의
첫번 째 식은
초항에 대한 정의입니다.
두 번째 식은
그 이후의 항들을
어떻게 구하고 나열하는 지에 대한 정의입니다.
k = 1일 때:
두번째 식에서
k는 자연수 집합의 원소이므로
k=1을 최우선적으로 대입해볼 수 있습니다.
그러면
우변을 살펴보면...
구분자로 (comma)를 사용하도록 정의하고 있음을 알 수 있으며
특히
우변의 첫번째 항은
정의의 첫번째 식에 의해
으로 바꿔 쓸 수 있습니다.
그 결과 다음과 같이 됩니다.
k = 2일 때:
유한수열 자체의 귀납적 정의 두번째 식의 양변에
k=2를 대입하면
그런데
우변 첫번째 항은
이므로
대치하면
같은 방식으로 접근하면
결국 다음을 알 수 있습니다.
유한수열 자체에 대한 귀납적 정의가 함축하고 있는 의도는
간단하고 분명합니다.
첫항부터 끝항까지
항들을 구분자를 이용하여 차례로 나열하는 것!!!
그 자체를 정의하고 있는 것입니다.
무한수열의
귀납적 정의
위에서 유한수열에 대한 귀납적 정의를 살펴보았습니다.
그렇다면
무한수열의 귀납적 정의는 어떻게 생겼을까요?
유한수열의 귀납적 정의보다 더 복잡한 형태일까요?
훨씬 더 간단합니다.
무한수열에 대한
귀납적 정의는 다음과 같습니다.
k는 자연수 집합의 원소이므로
k=1부터 대입해보겠습니다.
k=1 일 때:
무한수열 자체의 귀납적 정의
양변에 k=1을 대입하면
k=2 일 때:
무한수열 자체의 귀납적 정의
양변에 k=2을 대입하면
이 결과를
맨 처음 구한
k=1일 때의 우변에 대입하면
같은 식으로 k=3, k=4, … 등등에 적용하면
다음을 얻게 될 것입니다.
무한수열 자체에 대한 귀납적 정의가 함축하고 있는 의도 또한
간단하고 분명합니다.
첫항부터 무한대 항까지
항들을 구분자를 이용하여 차례로 나열하는 것!!!
그 자체를 정의하고 있는 것입니다.
무한히 항을 나열하는 것을
다음과 같이 간단한 두 가지 형태로
나타내기로 하겠습니다.
살펴볼 몇 가지 특이한 점은...
유한수열의 귀납적 정의
무한수열의 귀납적 정의
특이점 ①
위 두 가지 경우를 비교해보면
가 유한수열의 귀납적 정의에서는 윗 첨자에 나타나고
무한수열의 귀납적 정의에서는 아랫 첨자에 나타난다는 점입니다.
그리고
은
두 가지 경우 모두
아랫 첨자로 나타나고 있습니다.
또한...
위 두 가지 경우에서
으로
가 자연수 집합 의 원소임을 명시적으로 나타내주어야 하지만
나열되는 순서
즉, 제1항, 제2항, 제3항, … 등을 나타내는데 사용되는
에 대해서는 명시적으로 자연수 집합 의 원소임을 나타낼 필요가 없다는 점입니다.
그럼에도 불구하고
은 자연수 집합 의 원소로서 제1항, 제2항, 제3항, … 등을 나타내는데 사용되는
역할을 하고 있는 것임은
자명합니다.
특이점 ③
유한수열의 귀납적 정의는
새로운 항을 나열하기 위해
과거의 나열된 항들을 이용하지만
무한수열의 귀납적 정의는
새로운 항을 나열하기 위해
미래의 나열될 항들을 이용합니다.