수학 총 정리(중학교1학년)

[오랑]

I. 집합과 자연수

1. 집합의 뜻과 표현

   집합이란

어떤 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임

▶집합의 예
① 우리 반에서 키가 150cm이상인 학생들의 모임
② 우리 반에서 안경을 쓴 학생들의 모임

▶집합이 아닌 예-(대상을 명확하게 찾을 수 없다.)
① 아름다운 꽃들의 모임
② 우리 반에서 수학을 잘하는 학생들의 모임

   원소

집합을 구성하는 대상 하나 하나를 그 집합의 원소라 한다.

   원소의 표현

원소는 알파벳 소문자 a, b, c, x, y, z,… 로 나타낸다.

   원소 기호

▶a가 집합 A의 원소일 때, a는 집합 A에 속한다고 하고 기호로 또는 와 같이 나타낸다.
▶b가 집합 A의 원소가 아닐 때, b는 집합 A에 속하지 않는다고 하고 기호로 와 같이 나타낸다.
예) 10보다 작은 짝수의 집합을 A라고 할 때, 이고

   집합의 표현

원소나열법
주어진 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 나열해서 집합을 나타내는 방법
▶원소를 나열하는 순서는 생각하지 않으며 같은 원소를 중복하여 쓰지도 않는다.
▶주어진 집합의 원소가 너무 많을 때는 원소 사이의 규칙을 찾을 수 있을 만큼의 원소만 나열하고 나머지는 줄임표 '…'를 사용하여 생략해서 나타낸다.
예1) 10보다 작은 홀수의 집합을 A라고 하면,
     A={ 1, 3, 5, 7, 9 }와 같이 나타낸다.
예2) 100보다 작은 짝수의 집합을 A라고 하면,
     A={ 2, 4, 6, …, 96, 98 } 와 같이 나타낸다.

조건제시법
주어진 집합의 원소가 만족하는 조건을 제시하여 집합을 나타내는 방법

{ x｜x의 조건 }

예) 100보다 작은 홀수의 집합을 A라고 하면,
A={ x｜x는 100보다 작은 홀수 }

   벤 다이어그램(Venn diagram)

집합을 나타내는 그림
예) 4의 약수의 집합을 A 라고 하면.
    A = { 1, 2, 4 } ☜ 원소나열법
    A = {x｜x는 4의 약수} ☜ 조건제시법

☜ 벤다이어그램

   집합의 종류

집합을 구성하는 원소의 개수에 따라 분류된다.

유한집합

원소의 개수를 셀 수 있는 집합

예) A={ 1, 2, 3, 6 }

무한집합

원소의 개수를 셀 수 없는 집합

예) B={ 2, 4, 6, 8, … }

공집합

원소를 하나도 갖지 않는 집합,
기호로 Φ와 같이 나타낸다

공집합 Φ는 유한집합으로 생각한다

예) A={ x｜ 1 < x < 2 인 자연수 }라 하면, A = Φ 이다.

   원소의 개수 표시

집합 A의 원소의 개수를 기호로 n(A)와 같이 나타낸다.

원소의 개수는 유한집합에서만 생각한다.

예) A={ 1, 3, 5, 7, 9 } 이면, n(A)= 5

 2. 부분집합

   부분집합

집합 A의 원소가 모두 집합 B에 속할 때, 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 한다.
이 때, A는 B에 포함된다 또는 B는 A를 포함한다고 하고,

▶기호로 A⊂B 또는 B⊃A와 같이 나타낸다.

집합 A가 집합 B의 부분집합이 아닐 때, 기호로 A B 또는 B A 와 같이 나타낸다

 
예) 두 집합 A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, B={ 2, 4, 6, 8 }에서 집합 B의 원소는 모두 집합 A의 원소이다.

 ∴ B ⊂ A

   부분집합 구하기

집합 A={ 1, 2, 3 }의 부분집합을 다음 순서에 의해 구하면

▶원소가 하나도 없는 것 : Φ

▶원소가 1개인 것 : { 1 }, { 2 }, { 3 }

▶원소가 2개인 것 : { 1, 2 }, { 1, 3}, { 2, 3 }

▶원소가 3개인 것 : { 1, 2, 3 }

모두 8개의 부분집합을 갖고 있다.

   집합 A의 부분집합의 개수 구하기

n(A)를 A의 원소의 개수라고 하면, 집합 A의 부분집합의 개수는 2^n(A)이다.

예) A={ a, b, c, d } 의 부분집합의 개수는 집합 A의 원소의 개수가 4개이므로
    2⁴ = 16개이다

  서로 같다

두 집합 A, B가 같은 원소로 이루어져 있으면 A와 B는 서로 같다 라고 하며 기호로 A = B 와 같이 나타낸다.

즉, A⊂B 이고 B⊂A 이면 A = B 이다.

 예) { 1, 2, 3, 6 } 와 { 2, 1, 6, 3 }은 서로 같은 집합이다.

 

 

 ▶A와 B가 서로 같지 않을 때는 A≠B 와 같이 나타낸다.

3. 집합의 연산

   교집합

 두 집합 A, B 에 대하여 A에도 속하고 B에도 속하는 원소전체의 집합을 A와 B의 교집합이라고 하며 기호로 A∩B 와 같이 나타낸다.

 

 

 

 

예) A = { 1, 3, 5 }, B = { 2, 3, 4, 5 } 일 때, A∩B = { 3, 5 }

   합집합

 두 집합 A, B 에 대하여 A에 속하거나 또는 B에 속하는 원소 전체의 집합을 A와 B의 합집합이라고 하며 기호로 A∪B 와 같이 나타낸다.

 

 

 

 

예) A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 3, 4, 5, 6 } 일 때, A∪B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

   

   여집합

전체집합

주어진 집합에 포함되는 부분집합만을 다룰 때, 그 주어진 집합을 전체집합이라 하며, 보통 U로 나타낸다.

 전체집합 U의 부분집합을 A라고 할 때, U에 속하고 A에 속하지 않는 모든 원소의 집합을 U에 대한 A의 여집합이라고 하며 기호로 A^c 와 같이 나타낸다.

 

 

예) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 1, 3, 5, 7, 9 } 일 때,

A^c = { 2, 4, 6, 8, 10 }

 

 

차집합

 두 집합 A, B 에 대하여 A에 속하고 B에는 속하지 않는 모든 원소의 집합을 A에 대한 B의 차집합이라고 하며 기호로 A-B 와 같이 나타낸다.

            

예) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } 일 때,

    A - B = { 1, 2, 3 }



   집합의 연산과 원소의 개수

차집합과 여집합의 관계
A - B = A ∩ B^c

   합집합, 교집합의 원소의 개수 구하기

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

 

 예) A={ a, b, c, d }, B = { c, d, e, f, g }에서

n(A), n(B), n(A∪B), n(A∩B)를 구하여라.

n(A) = 4 , n(B) = 5 ,
n(A∩B) = 2, n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 4 + 5 - 2 = 7

  차집합의 원소의 개수 구하기

n(A-B) = n(A) - n(A∩B)

 

4. 약수와 배수

   몫과 나머지

자연수 a를 자연수 b로 나누면, a = b × (몫) + (나머지) 인 관계가 성립한다.
(몫은 0 또는 자연수이고, 나머지는 b 보다 작다.)

특히 나머지가 0 일 때는 a = b × (몫) 인 관계가 성립한다.

   약수와 배수

자연수 a가 자연수 b로 나누어 떨어질 때 곧 a = b × (자연수)의 꼴로 나타낼 수 있을 때, b를 a의 약수, a를 b의 배수 라고 한다.

    ▶ 모든 자연수 a 에 대하여 a = 1 × a 이므로 다음과 같은 성질을 갖는다.

1. 1은 모든 자연수의 약수이다.
2. a는 자기 자신의 약수이고 배수이다.
<주의> 약수와 배수는 자연수에서만 생각하기로 한다.

    배수 찾기

2의 배수 : 일의 자리 숫자가 0 또는 2의 배수이면 그 수는 2의 배수
5의 배수 : 일의 자리 숫자가 0 또는 5이면 그 수는 5의 배수
4의 배수 : 끝의 두 자리가 00 또는 4의 배수이면 그 수는 4의 배수
3의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이면 그 수는 3의 배수
9의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이면 그 수는 9의 배수

       예) 1512 - 각 자리의 숫자의 합이 9 (9의 배수)이므로 1512은 9의 배수

5. 소인수분해

   거듭제곱

     같은 수를 여러 번 곱할 때 표시하는 방법

       예) 5×5×5 = 5³

   소수와 합성수

소 수 : 약수의 개수가 두 개인 자연수, 즉 1보다 큰 자연수 중에서 1과 그 수 자신만을 약수로 가지는 자연수
  예) 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
합성수: 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수, 즉 약수의 개수가 3개 이상인 자연수
 ▶ 1은 소수도 합성수도 아니다.

   소인수분해

인수 : 자연수 a, b, c 에 대하여 a = b × c 로 나타내어질 때, b와 c를 a의 인수라고 한다.
특히, 인수가 소수일 때, 그 인수를 소인수라고 한다.

소인수분해 : 주어진 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것

소인수 : 2, 3, 5

      소인수분해의 성질
 

자연수를 소인수분해한 결과는, 소인수들의 순서를 생각하지 않으면, 오직 한 가지뿐이다.

   약수 구하기

1) 소인수분해하여 소인수와 소인수들의 곱을 모두 구한다.
2) 약수의 개수 : a^l×b^m×cⁿ (a,b,c는 서로 다른 소수)의 약수의 개수는
(l +1)×(m+1)×(n+1)

예) 75의 약수를 모두 구하여라.
75를 소인수분해를 하면 75 = 3 × 5²
 
1	5	52
3	3 × 5	3 × 52

75 의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75 이고 개수는 (1+1)(2+1) = 6 개이다

6. 공약수와 공배수

   공약수

두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공통인 약수를 그들 수의 공약수 라고 한다.

   최대공약수

      공약수 중에서 가장 큰 수

      예) 12와 16의 공약수와 최대공약수

12의 약수의 집합  A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
16의 약수의 집합  B = { 1, 2, 4, 8, 16 }

공약수의 집합  A ∩ B = { 1, 2, 4 }
최대공약수는 4

   최대공약수의 성질
 

두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공약수는 그들의 최대공약수의 약수이다.

▶ 공약수를 구하는 방법은 최대공약수를 구하여 최대공약수의 약수를 구하면 된다.

   서로소

     공약수가 1뿐인 두 자연수를 서로소라고 한다.

     예) 7, 9 의 공약수는 1뿐이다.

   최대공약수 구하기

     예1) 24와 60의 최대공약수를 구하여 보자

소인수분해를 이용하는 방법

     ▶최대공약수는 각 수의 공통인 소인수를 모두 곱한 것과 같다.

     예2) 12와 48의 최대공약수를 구하여보자

공통인 소인수로 나누어 구하는 방법

   공배수

두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공통인 배수를 그들 수의 공배수라고 한다.

   최소공배수

      공배수 중에서 가장 작은 수

      예) 4와 6의 공배수와 최소공배수

4의 배수의 집합  A = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … }
6의 배수의 집합  B = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, … }
공배수의 집합  A ∩ B = { 12, 24, 36, … }
최소공배수는 12

   최소공배수의 성질
 

두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공배수는 그들의 최소공배수의 배수이다.

▶ 공배수를 구하는 방법은 최소공배수를 구하여 최소공배수의 배수를 구하면 된다.

   최소공배수 구하기

     60과 100의 최소공배수를 구하여보자

      ① 소인수분해를 이용하는 방법

 60 = 2 × 2 × 3 × 5
100 = 2 × 2 ×      5 × 5
---------------------------------
      2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300

▶최소공배수는 각 수의 공통인 인수와 공통이 아닌 인수 모두의 곱과 같다.

      ② 공통인 소인수로 나누어 구하는 방법

7. 기수법

   십진법

수의 자리가 왼쪽으로 하나씩 올라감에 따라 자리의 값이 10배씩 커지는 수의 표시법
▶십진법의 전개식
십진법의 수를 10의 거듭제곱을 써서 나타낸 식

▶기수법은 수를 나타내는 방법을 말한다.
▶3264= 3×10³ + 2×10² + 6×10 + 4×1

   오진법

수의 자리가 왼쪽으로 하나씩 올라감에 따라 자리의 값이 5배씩 커지는 수의 표시법
▶오진법의 전개식
오진법의 수를 5의 거듭제곱을 써서 나타낸 식

▶오진법의 수에서는 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개의 숫자를 사용하여 나타낸다.
▶오진법의 수를 십진법의 수와 구분하기 위하여 4321₍₅₎와 같이 나타내고
▶"오진법의 수 사삼이일"이라고 읽는다.
▶4321₍₅₎= 4×5³ + 3×5² + 2×5 + 1×1

   이진법

수의 자리가 왼쪽으로 하나씩 올라감에 따라 자리의 값이 2배씩 커지는 수의 표시법
▶이진법의 전개식
이진법의 수를 2의 거듭제곱을 써서 나타낸 식

▶이진법의 수에서는 0, 1의 두 개의 숫자를 사용하여 나타낸다.
▶이진법의 수를 구분하기 위하여 1011₍₂₎와 같이 나타내고
▶"이진법의 수 일영일일"이라고 읽는다.
▶1011₍₂₎= 1×2³ + 0×2² + 1×2 + 1×1

   오진법, 이진법의 덧셈과 뺄셈

오진법의 덧셈, 뺄셈
▶덧셈은 5가 될 때마다 한 자리씩 위로 올라가고
▶뺄셈은 한 자리씩 아래로 내릴 때마다 5가 내려간다.

   이진법의 덧셈, 뺄셈

▶덧셈은 2가 될 때마다 한 자리씩 위로 올라가고
▶뺄셈은 한 자리씩 아래로 내릴 때마다 2가 내려간다.

 

II. 수 와 식

 1. 정수와 유리수

   부호를 가진 수

수에 붙은 부호는 무슨 뜻인가 ?

  각 온도계가 가리키는 온도는 각각 영상 10℃, 영하 10℃ 이다.
이것을 각각 +10℃, -10℃ 와 같이 나타내기로 한다.

기호 +, - 를 덧셈, 뺄셈 기호와 구별해서 부호라고 한다.

여기서, '+'를 양의 부호, '-'를 음의 부호라고 한다.

  양수 : 0보다 큰 수 : +8, +3, +0.5, …

 음수 : 0보다 작은 수 : -3, -1, -1.5, …

▶+3에서의 양의 부호 "+" 와 -4에서의 음의 부호 "-" 는  그 모양이

덧셈, 뺄셈의 기호와 같지만 그 의미는 다르다.

 

 

 

   정수와 유리수

정수

 

 

 

 

유리수 : 분모와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수(단, 분모는 0이 아님)
▶+2 :"양의 정수 이" 또는 "양수 이" 또는 "플러스 이" 라고 읽는다 
▶-4 :"음의 정수 사" 또는 "음수 사" 또는 "마이너스 사" 라고 읽는다 
▶모든 유리수는 수직선 위의 점으로 나타낼 수 있다. 

 

 

 

   수의 대소관계

절대값
수직선 위에서 어떤 수를 나타내는 점과 원점 사이의 거리로 양수, 음수에서 부호 +, - 를 없앤 수
▶절대값이  a (단, a>0)인 수는 +a 와 -a의 두 개가 있다.
▶｜0｜=0
수의 대소 관계
1. 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다. 즉, 양수는 음수보다 크다.
2. 두 양수에서는 절대값이 큰 수가 크다.
3. 두 음수에서는 절대값이 큰 수가 작다.
▶ 대소관계는 부등호 "< ,>" 또는 "≤,≥"를 사용하여 나타낸다.
x는 a보다 크다 → x > a
x는 a보다 작다 → x < a
x는 a보다 크거나 같다 → x ≥ a
x는 a보다 작거나 같다 → x ≤ a

2. 유리수의 덧셈과 뺄셈

   유리수의 덧셈

▶ 부호가 같은 두 수의 덧셈
두 수의 절대값의 합에 공통인 부호를 붙인다.
▶ 부호가 다른 두 수의 덧셈
두 수의 절대값의 차에 절대값이 큰 수의 부호를 붙인다.
▶ 덧셈의 계산법칙
a + b = b + a (교환법칙)
(a + b) + c = a + (b + c) (결합법칙)
▶ 절대값이 같고 부호가 다른 수의 합은 0이다.

   유리수의 뺄셈

▶유리수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더한다.
▶덧셈과 뺄셈이 혼합된 경우에는 뺄셈을 덧셈으로 고친 후 양수는 양수끼리, 음수는 음수끼리 모아서 계산한다. 
▶부호가 없는 수는 "+"가 생략된 것이다.

3. 유리수의 곱셈과 나눗셈

   유리수의 곱셈

▶ 부호가 같은 두 수의 곱셈
각 절대값의 곱에 양의 부호(+)를 붙인다.
▶ 부호가 다른 두 수의 곱셈
각 절대값의 곱에 음의 부호(-)를 붙인다.
▶임의의 수와 0 과의 곱은 항상 0 이다.
▶곱셈의 계산법칙
a × b = b × a  (교환법칙)
( a × b ) × c = a × ( b × c )  (결합법칙)
a × ( b + c ) = a × b + a × c  (분배법칙)

   유리수의 나눗셈

▶ 부호가 같은 두 수의 나눗셈
두 수의 절대값의 나눗셈의 몫에 양의 부호(+)를 붙인다.
▶ 부호가 다른 두 수의 나눗셈
두 수의 절대값의 나눗셈의 몫에 음의 부호(-)를 붙인다.
▶유리수의 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱한 곱셈과 같다.
▶곱셈과 나눗셈의 혼합된 식은 곱셈만의 식으로 고쳐서 계산한다. 셋 이상의 수의 곱셈에서 부호는, 짝수 개의 음수의 곱이면 양수, 홀수 개의 음수의 곱이면 음수로 정한다. 그리고 난 후 절대값의 곱에 부호를 붙인다.
▶역 수 : 두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한다.

   복잡한 식의 계산

▶ 거듭제곱이 있으면 이것을 가장 먼저 계산한다.
▶ 소괄호 → 중괄호 → 대괄호 순으로 한다.
▶ 곱셈, 나눗셈을 먼저 계산하고 덧셈, 뺄셈은 나중에 한다.

4. 문자의 사용

   수량을 나타내는 문자

▶ 문자식
수량 관계를 문자를 이용하여 나타낸 식
▶ 문자식을 쓰는 방법
1. 곱셈기호 "×" 는 생략한다.  (예) a×b×c = abc
2. 수는 문자 앞에 쓴다. (예) a×5 = 5a
3. 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 나타낸다. (예) a×a×b×3 = 3a²b
4. 괄호가 있는 식과 수의 곱은 수를 앞에 쓴다. (예) (a+b)×3 = 3(a+b)
5. 나눗셈 기호 "÷" 는 쓰지 않고 분수의 꼴로 나타낸다. (예) a÷b = a/b
6. 1 또는 -1 과의 곱이나 몫에서 1은 생략한다. (예) (-1)×a×b = -ab

   식의 값

▶ 대입
문자를 사용한 식에서 문자 대신에 수를 넣는 것을 대입한다고 한다.
▶ 식의 값
문자를 사용한 식에 문자 대신 수를 대입하여 얻어진 값

5. 식의 계산

   식의 계산

▶ 항
수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식
▶ 상수항
수만으로 된 항
▶ 단항식
한 개의 항으로만 된 식
▶ 다항식
여러 개의 항들의 합으로 된 식
▶ 계수
문자를 포함한 항에서 문자에 곱해진 수
▶ 차수
항에 포함된 문자의 곱해진 개수
 (예) 다항식  x² -2x +1 에서
항 : x² , -2x ,  1 로 모두 3개
x²의 계수 : 1
x의 계수 : -2
상수항 : 1

   동류항의 계산

▶ 동류항
문자와 차수가 서로 같은 항
-x² 과 -x는 문자는 같으나 차수가 다르므로 동류항이 아니다.
▶ 동류항의 계산
분배법칙을 이용하여 계수끼리의 합 또는 차에 공통인 문자를 곱한다.
▶ 분배법칙
a(m+n) = am + an

   일차식의 계산

▶ 괄호가 있으면 괄호를 먼저 풀어준다.
▶ 동류항끼리 모아서 계산한다.
▶ (수) ×(다항식) : 다항식의 각 항에 수를 곱한다.
 -2(2x - 1) = -4x + 2
   (다항식) ÷(수) : 다항식의 각 항에 수의 역수를 곱한다.
(3x - 4)÷3 =(3x - 4)×1/3 = x - 4/3

 

III. 방 정 식

  1. 등  식

   등식

등호 "=" 를 사용하여 "두 수량의 크기가 같다."는 관계를 나타내는 식

좌변 : 등호의 왼쪽에 있는 수나 식
우변 : 등호의 오른쪽에 있는 수나 식
양변 : 좌변과 우변을 통틀어 말함

예) 3x + 4 = 10 에서 좌변은 3x +4 이고 우변은 10 이다.

   방정식

문자를 포함한 등식 중 문자의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
즉 문자 x의 값이 특정한 값일 때만 참이 되는 등식

예) 2x + 4 = 10

    미지수

방정식이 가지고 있는 문자

    항등식

문자를 포함한 등식이 언제나 참이 되는 등식을 그 문자 x에 관한 항등식
예) 5x - 2x = 3x

    해 또는 근

x에 관한 방정식을 참이 되게 하는 x의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라 한다.

    방정식을 푼다

방정식의 해를 구하는 것

    등식의 성질

 

 등식 A = B가 있을 때,
1. 양변에 같은 수 m을 더하여도 등식은 성립한다.
A + m = B + m
2. 양변에 같은 수 m을 빼어도 등식은 성립한다.
A - m = B - m
3. 양변에 같은 수 m을 곱하여도 등식은 성립한다.
A × m = B × m
4. 양변에 0 이 아닌 같은 수 m을 나누어도 등식은 성립한다.
A ÷ m = B ÷ m  (m≠0)

 

2. 일차방정식의 풀이

   이항

좌변에서 우변으로, 우변에서 좌변으로 항을 옮기는 것을 이항이라고 한다.
이  때,  옮겨진 항의 부호가 바뀌어진다.

   방정식을 푸는 법

방정식을 풀 때에는, 우선 미지수를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하고 동류항을 정리하여 푼다.

예1) 방정식 4x - 3  = 2x - 15 를 풀어라.
좌변의 '-3'을 우변으로,  우변의 '2x'를 좌변으로 이항하면
4x - 2x = -15 + 3 ( 이항을 한 항의 부호가 바뀜을 주의 한다.)
       2x = -12
양변을 2로 나누면,

                 x = -6

   일차방정식

방정식의 우변의 항을 모두 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, 좌변이 일차식이 되는 방정식, 즉 (일차식) = 0 의 꼴로 바꿀 수 있는 방정식을 일차방정식이라고 한다.
 문자 x를 포함한 일차방정식을 x에 대한 일차방정식이라고 한다.

   일차방정식을 푸는 법

1. 계수가 분수나 소수로 되어 있을 때에는 계수가 정수로 되도록 고치고, 괄호가 있으면 괄호를 푼다.
2. 이항하여 미지항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 옮긴다.
3. 양변을 정리하여 ax = b ( a ≠ 0)의 꼴로 만든다.
4. 양변을 x의 계수 a로 나눈다.

3. 일차방정식의 활용

   방정식을 이용하여 문제를 푸는 순서

1. 보통 구하려는 양을 x로 한다.
2. 문제에서 제시하고 있는 양을 미지수 x를 사용하여 나타낸다.
3. 그들 양 사이의 관계를 찾아 방정식을 만든다.
4. 그 방정식을 풀어 해를 구한다.
5. 그 해가 문제의 답으로 맞는지를 확인한다.

문제 유형1>
A와 B는 매월 각각 5000원씩을 예금하고 있다. 현재 A의 예금액은 80000원 이고, B의 예금 액은 50000원이다. A의 예금액이 B의 예금액의 2배가 되는 때는 언제인가?

풀이) x개월 후에 A의 예금액이 B의 예금액의 2배가 된다고 생각하면,
x개월 후의 A의 예금액은 (80000 + 5000x) 원
           B의 예금액은 (50000 + 5000x) 원
A의 예금액은 B의 예금액의 2배와 같으므로, 다음 방정식이 만들어진다.
             80000 + 5000x = 2(50000 + 5000x)
이것을 풀면, 80000 + 5000x = 100000 + 10000x
                    -5000x = 20000
                         x = -4
지금부터 -4개월 후는 4개월 전이라고 생각할 수 있다.

문제 유형2>
5%의 소금물 300g이 있다. 여기에 몇 g의 물을 더 넣으면 2%의 소금물이 되겠는가 ?
(풀이)
(소금의 양) = (소금물의 양) × (농도)

5%의 소금물 300g의 소금의 양은 300 × 0.05
2%의 소금물 (300 + x)g의 소금의 양은 (300 + x ) × 0.02

두 소금물의 소금의 양은 같으므로,
300 × 0.05 = (300 + x) × 0.02
       1500 = 600 + 2x
         2x = 900

       ∴ x = 450
물 450g을 넣어야 한다.
문제 유형3>
A지점에서 B지점까지 가는 데, 시속 10km인 자전거로 가면 시속 60km인 자동차로 가는 것 보다 1시간이 더 걸린다고 한다. 두 지점 A, B사이의 거리를 구하여라.
(풀이)
(걸린 시간) = (거리) / (속력)
A, B의 거리를 x km라 하면
자전거로 걸린 시간 : x / 10 시간
자동차로 걸린 시간 : x / 60 시간

(자전거로 간 시간) = (자동차로 간 시간) + 1 이므로
x /10 = x / 60 + 1
   6x = x + 60
 ∴ x = 12

두 지점 A, B사이의 거리는 12km이다.
 

IV. 함 수

1. 대응과 함수

   대응

어떤 주어진 관계에 의하여 집합 X의 원소 x에 집합 Y의 원소 y가 짝지어지는 것을 집합 X 에서 집합 Y로의 대응이라고 한다.

   대응의 표시

X의 각 원소 x에 대하여 Y의 원소 y가 맺어지면 x에 y가 대응한다고 하며 기호로 x→y와 같이 나타낸다.

   일대일대응

집합 X의 모든 원소와 집합 Y의 모든 원소가 하나도 빠짐없이 꼭 한 개씩 대응되는 것을 특별히 X에서 Y로의 일대일대응이라고 한다.

   함수의 뜻

두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소가 집합 Y의 원소에 반드시 하나씩 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라 한다.
이 함수를 f 라고 하면 기호로 f : X →Y 와 같이 나타낸다.
집합 X를 함수 f : X →Y 의 정의역, 집합 Y를 f : X →Y의 공역이라고 한다.

   함수의 간단한 표현

함수 f : X →Y에서 X의 원소 x에 대응되는 Y의 원소 y를 y=f(x)로 쓰고, 이 함수를 f : X →Y , y=f(x) 로 나타낸다.

특히, 정의역과 공역이 분명할 때에는 정의역과 공역을 생략하여 간단히 함수 'y=f(x)'로 나타낸다.

2. 함수값의 변화

   함수값과 치역

함수 f : X →Y에서 정의역 X의 원소 x에 대응되는 공역 Y의 원소를 f(x)와 같이 나타내고 이것을 함수 f에 의한 x의 함수값이라고 한다.
함수 f에 의하여 X의 각 원소 x에 대응되는 Y의 원소 f(x) 전체의 집합을 함수 f의 치역이라고 한다.

   변수

y=f(x)에서 x가 변하면 함수 f에 의하여 y도 변한다.
이러한 x, y와 같은 문자를 변수라고 한다.

   상수

일정한 값을 나타내는 수나 문자를 상수라고 한다.

   정비례

변수 x 와 y 사이에 일정한 수 a가 있어 y = ax(a≠0)인 관계가 있으면 y는 x에 비례한다고 하고, 이 때 a를 비례상수라고 한다.

   반비례

변수 x 와 y 사이에 일정한 수 a가 있어 y = a / x (a≠0)인 관계가 있으면 y는 x에 반비례한다고 하고, 이 때 a를 비례상수라고 한다.

3.  순서쌍과 좌표

   순서쌍

두 집합 X, Y에서 X의 원소 x와 Y의 원소 y를 순서를 생각하여 만든 x와 y의 쌍(x, y)를 순서쌍이라 한다.
예) (a, b) 와 (b, a)는 다르다.

   좌표평면

좌표축 : 두 수직선이 점 O에서 수직으로 만날 때, 가로축을 x축, 세로축을 y축, 이 두 축을 통틀어 좌표축이라 한다.
원점 : x축과 y축의 교점
좌표평면 : 좌표축이 그려져 있는 평면
좌표 : 좌표평면에서 점의 위치를 순서쌍 (x좌표, y좌표)으로 나타낸 것

사분면 : 좌표평면이 좌표축에 의하여 나누어진 4개의 부분

      (좌표축은 어느 사분면에도 속하지 않는다.)

	제1사분면	제2사분면	제3사분면	제4사분면
x좌표의 부호	+	-	-	+
y좌표의 부호	+	+	-	-

 

   대칭점의 좌표

점 P(a,b) 에 대하여

▶x축에 대칭인 점의 좌표는 (a, -b)

▶y축에 대칭인 점의 좌표는 (-a, b)

▶원점에 대칭인 점의 좌표는 (-a, -b)

4.  함수의 그래프

   함수의 그래프

함수 f : X → Y에서, 정의역 X의 각 원소 x에 대응하는 함수값 y=f(x) 와의 순서쌍(x, f(x))전체의 집합을 좌표로 하는 점들을 좌표평면에 나타낼 때, 이들 점 전체의 집합을 그 함수의 그래프라고 한다.

   함수 y=ax(a≠0) 의 그래프

▷(공역이 구체적으로 주어지지 않은 경우에는 보통 이들을 수 전체의 집합으로 생각한다.)

함수 y = ax (a≠0)의 그래프는

 ▶원점을 지나고 점(1,a)를 지나는 직선이다.
 ▶a>0 이면 오른쪽 위로 향하는 직선으로 제1, 3사분면을 지나고, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

 ▶a<0 이면 오른쪽 아래로 향하는 직선으로 제2, 4사분면을 지나고, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

   함수 y= a/x (a≠0) 의 그래프

y= a/x(a≠0)의 그래프는

▶원점에 대하여 대칭이고 x축과 y축에 한없이 가까이 가는 쌍곡선이다.
▶a>0 일 때 그래프는 제1, 3사분면 위에 있고, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
▶a<0 일 때 그래프는 제2, 4사분면 위에 있고, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

(함수 y = a/x (a≠0) 의 정의역과 공역은 0을 제외한 수 전체의 집합이다.)

 

V. 통 계

1. 자료의 정리

도수분포표

자료 전체를 몇 개의 계급으로 나누고, 각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표

변량 - 자료를 수량으로 나타낸 것
계급 - 변량을 나눈 구간
계급의 크기 - 구간의 나비
계급값 - 계급을 대표하는 값으로 계급의 중앙값
도수 - 각 계급에 속하는 자료의 개수

히스토그램

주어진 도수분포표에 따라 계급의 크기를 가로, 도수를 세로로 하는 직사각형을 그려 나타낸 그래프

도수분포다각형

히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중점을 차례로 선분으로 연결하고 양 끝은 도수가 0인 계급을 하나씩 추가하여 그 중점과 연결해서 만든 그래프

*도수분포다각형 그리는 방법

1. 도수분포표를 보고 히스토그램을 그린다.
2. 직사각형의 윗변의 중점들을 선분으로 연결한다.
3. 양 끝은 도수가 0인 계급을 하나씩 추가하여 그 중점을 연결한다.

도수분포다각형의 넓이는 히스토그램의 직사각형의 넓이의 합과 같다.

2. 자료의 관찰

상대도수

전체도수에 대한 각 계급의 도수의 비율

(각 계급의 상대도수) = (각 계급의 도수) / (도수의 총합)
상대도수의 분포표 : 각 계급의 상대도수를 구하여 만든 표

상대도수분포다각형

가로축에 계급, 세로축에 상대도수를 잡아 도수분포다각형처럼 그린 그래프

 상대도수의 총합은 반드시 1 이다.

누적도수

도수분포표에서 작은 계급의 도수부터 어떤 계급까지의 도수의 합

(각 계급의 누적도수) = (앞 계급까지의 누적도수) + (그 계급의 도수)

누적도수의 분포표 - 각 계급의 누적도수를 써 놓은 표
누적도수의 분포다각형 - 가로축에 계급, 세로축에 누적도수를 잡아 도수분포다각형처럼 그린 그래프

 마지막 계급의 누적도수는 도수의 총합과 같다.

VI-1. 평면도형(1)

1. 점·선·면

점·선·면 사이의 관계

교점 : 선과 선 또는 선과 면이 만나서 생기는 점

교선 : 면과 면이 만나서 생기는 선

▶삼각형이나 원과 같이 한 평면 위에 있는 도형을 평면도형이라 하고, 각기둥이나 구와 같이 한 평면 위에 있지 않는 도형을 입체도형이라 하는데, 이들은 모두 점, 선, 면으로 이루어져 있다.

선

▶직선 : 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선은 오직 하나이고 이것을 직선 AB 라 하고,

로 나타낸다.

▶반직선 : 점 A에서 시작하여 점 B 쪽으로 뻗어가는 직선의 부분을 반직선 AB 라 하고,

로 나타낸다.

▶선분 : 직선 AB의 점 A에서 점 B까지의 부분을 선분 AB 라 하고, 로 나타낸다.

선분 AB의 길이도 로 나타낸다.

▶두 점 A,B를 양 끝으로 하는 무수히 많은 선 중 길이가 가장 짧은 것이 선분 AB이다. 이 선분 AB의 길이를 두 점 A, B 사이의 거리라고 한다.

평면의 결정 조건 

1. 한 직선 위에 있지 않은 세 점
2. 한 직선과 그 직선 밖의 한 점
3. 만나는 두 직선
4. 평행한 두 직선

▶평면을 그림으로 나타낼 때는 평면의 일부인 평행사변형을 그리고, 평면ABCD로 나타내거나 대문자를 붙여 평면 P, 평면 Q 등으로 나타낸다.

2. 각

각

한 점 O에서 시작한 반직선 OA. OB로 이루어진 도형

• 예각 : 0°보다 크고 90°보다 작은 각
• 직각 : 90°인 각, ∠R 로 표시
• 둔각 : 90°보다 크고 180°보다 작은 각
• 평각 : 180°인 각

▶각을 나타내는 기호 : ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a ,…

맞꼭지각

▶맞꼭지각 : 두 직선이 만나서 생기는 네 개의 각 중 서로 마주 보는 각

∠a 와 ∠c, ∠b 와 ∠d

▶맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

∠a = ∠c, ∠b = ∠d

수직이등분선

• 교각 : 두 직선이 만날 때 생기는 각
• 수직 : 교각이 직각인 두 직선을 서로 수직이라 하고, 이 때 한 직선은 다른 직선의 수선이라 하며 두 직선이 만나는 점을 수선의 발이라 한다.
• 수직이등분선 : 선분의 중점을 지나 이 선분에 수직인 직선

▶직선 AB 밖의 점 C에서 위의 점에 그은 선분 중 길이가 가장 짧은 것은 C에서의 수선의 발과 C를 이은 선분이다. 이 선분의 길이를 점 C와 직선 AB 사이의 거리라고 한다.

 3. 평행선의 성질

동위각과 엇각

두 직선이 한 직선과 만날 때 생기는 8개의 각 중에서

• 동위각 : 같은 위치에 있는 두 각
• 엇  각 : 엇갈려 위치한 두 각

▶동위각 : ∠a 와 ∠e, ∠b 와 ∠f,∠c 와 ∠g,∠d 와 ∠h

▶엇각 : ∠c 와 ∠e, ∠d 와 ∠f

평행선의 성질과 조건

▶평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 동위각과 엇각의 크기는 각각 같다.

▶동위각 또는 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

평면에서 두 직선의 위치 관계

 4. 도형의 작도

각의 이등분선의 작도

① 점 O를 중심으로 적당한 원을 그려서, 반직선 OA, 반직선 OB와의 교점 C, D를 잡는다.

② 점 C, D를 중심으로 반지름이 같은 원을 각각 그려서 교점을 P라 한다.

③ 점 O와 P를 연결하면 반직선 OP가 구하는 ∠AOB의 이등분선이다.

 

 각의 옮김

① 점 O를 중심으로 적당한 반지름의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라 한다.

② 점 E를 줌심으로 ①과 같은 반지름의 원을 그려 반직선 EZ와의 교점 Q를 잡는다.

③ 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잡아 선분 AB를 반지름, 점 Q를 중심으로 원을 그려 ②에서 그린 원과의 교점 P를 잡는다.

④ 점 E와 P를 지나는 EP를 그으면 ∠PEQ가 구하는 각이다.

 

  5.도형의 합동

도형의 합동

• 대응변의 길이가 서로 같다
• 대응각의 크기가 서로 같다

삼각형의 합동조건

두 삼각형은 다음의 각 경우에 합동이다.

1.대응하는 세변의 길이가 각각 같다.

2.대응하는 두변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.

3.대응하는 한변의 길이가 같고, 그 양끝각의 크기가 각각 같다.

VI-2. 평면도형(2)

 1. 삼각형

삼각형

한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C 와 선분 AB, 선분 BC, 선분 CA로 이루어진 도형을 삼각형 ABC (또는 △ABC )라고 한다.

▶삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다.

삼각형의 내각과 외각

▶삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다.

▶삼각형의 외각의 크기의 합은 360°이다.

▶삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.

2. 다각형

n각형의 대각선의 개수

▶한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : (n-3) 개

▶대각선의 총수 :

다각형의 내각과 외각의 크기의 합

▶(n각형의 내각의 크기의 합) = 180°×(n-2)

▶(n각형의 외각의 크기의 합) = 360°

정다각형

모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형

▶(정n각형의 한 내각의 크기) =

▶(정n각형의 한 외각의 크기) =

 3. 원과 부채꼴

중심각의 크기와 호의 길이

한 원 또는 합동인 두 원에서

▶같은 크기의 중심각에 대한 호의 길이는 같다.
▶호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다.

중심각과 현의 길이

한 원 또는 합동인 두 원에서

▶같은 크기의 중심각에 대한 현의 길이는 같다.
▶현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다.

 4. 원과 직선

원과 직선의 위치 관계

1. 두 점에서 만난다.        2. 한 점에서 만난다.           3. 만나지 않는다.

                       

원과 접선

1. 접선의 성질

   원의 접선은 그 접점과 원의 중심을 연결하는 선분(반지름)에 수직이다.

2. 접선의 길이 : 원의 외부의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.

▶
▶ △POT ≡ △POT`
▶ ∠TPT` + ∠TOT` = 180°

 

 5. 부채꼴의 호의 길이와 넓이

원주와 원의 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서

1. 원주 l = 2πr
2. 원의 넓이 S = πr²

부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 x°라 하면

   1. 호의 길이 : l = 2πr ×(x / 360 )
   2. 부채꼴의 넓이 : s =πr² ×( x / 360 )
                      s = 1/2×rl

VII. 입체도형

 1. 직선과 평면

공간에서 두 직선의 위치 관계
 

1. 평행하다	2. 만난다.	3. 꼬인 위치에 있다.

          

▶ 꼬인 위치 : 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않다.

공간에서 직선과 평면의 위치 관계
 

1. 직선이 평면에           포함된다.	2. 한 점에서 만난다.	3. 평행하다.

             

공간에서 두 평면의 위치 관계
 

1. 만난다.	2. 평행하다.	3. 일치한다

 

2. 다면체

다면체

다각형의 면으로만 둘러싸인 입체도형

1. 각기둥

두 밑면은 평행하면서 합동인 다각형이며,
옆면은 모두 직사각형인 다면체

 

2. 각 뿔 : 밑면은 다각형이고 옆면은 모두 삼각형인 다면체

3. 각뿔대 : 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 입체도형 중에서 각뿔이

            아닌 쪽의 다면체

정다면체

1. 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모인 면의 개수가 같은 볼록한

   다면체

2. 정다면체의 종류

정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체
 
 

다면체	정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체
꼭지점의 수	4	8	6	20	12
모서리의 수	6	12	12	30	30
면의 수	4	6	8	12	20
면의 모양	정삼각형	정사각형	정삼각형	정오각형	정삼각형

 

 3. 회전체

회전체

1. 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형

2. 회전체의 종류 : 원뿔, 원기둥, 구, …

 

회전체의 성질

1. 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 그 단면은 항상 원이다.

2. 회전체를 회전축을 포함한 평면으로 자르면 그 단면은 서로 합동이며,

   회전축에 대하여 선대칭이다.

 4. 입체도형의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이와 부피

겉넓이

1. (각기둥의 겉넓이) = (밑넓이) × 2 + (옆넓이)
2. (원기둥의 겉넓이) = (밑넓이) × 2 + (옆넓이) = 2πr² + 2πrh

r : 밑면의 반지름, h : 높이

▶ 겉넓이는 전개도를 이용하여 구한다.

부피

1. (각기둥의 부피) = (밑넓이) × (높이)
2. (원기둥의 부피) = πr² h
r : 밑면의 반지름, h : 높이

▶ 기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이)

뿔의 겉넓이와 부피

겉넓이

1. (각뿔의 겉넓이) = (밑넓이) + (옆넓이)
2. (원뿔의 겉넓이) = πr² + πrl
r : 밑면의 반지름, l : 모선의 길이

▶ 겉넓이는 전개도를 이용하여 구한다.

부피

1. (각뿔의 부피) = 1/3 × (밑넓이) × (높이)
2. (원뿔의 부피) = 1/3πr² h
r : 밑면의 반지름, h : 높이

구의 겉넓이와 부피

반지름이 r인 구에서

겉넓이 = 4πr²
부피 = 4/3πr³

[박종돈]

많은 자료를 올려 놓으셨습니다. 학생들에게 좋은 자료가 되었으면 좋겠습니다. 샬롬!