2. 자유도란?

[장기현]

모집단과 표집이 있다. 가장 정확한 자료는 모집단의 구성원 모두에 대한 측정값을 분석하는 것이다. 그러나 모집단을 대상으로 조사하려면 비용이 아주 많이 소요되며, 오랜 시간이 필요하다. 그래서 모집단에서 표본으로 몇몇 개체를 선발하고 이 표본 자료를 대상으로 조사, 분석한다. 이 표본의 분석결과를 바탕으로 모집단의 상황을 가정하면서 추론한다.

표본의 분산 및 표준편차를 계산할 때는 반드시

[표본집단의 평균 - 개체값]을 제곱한 값의 합을 [표본집단의 총개체수-1]로 나누어 얻은 값이 표본의 분산이다. 이 때 [표본집단의 총개체수-1]이 자유도이다. 왜 표본집단의 총개체수가 아닌 자유도(표본집단의 총개체수-1)로 나누어야하는 지를 설명하고자한다. 

여러가지 교재에서 설명하고 있는 표현을 빌리면 다음과 같다.

  자유도(df)란 '자료들 중에서 자유로운 값을 선택할 수 있는 자료의 갯 수'로 전체수에서 하나를 뺀 값이다. 즉, df = n-1 이다. 자료의 값을 선택할 때,  n-1개는 연구자가 자유롭게 선택할 수 있지만 마지막 1개 값은 자유로이 선택될 수 없다.  

   자유도는 사례수와 분석에서 이용되는 변수의 수에 의해서 결정되며, 자유도가 달라지면 통계량과 유의도가 달라진다. 일반적으로 자유도가 커진다는 것은 표본의 수가 많아진다는 의미이며, 이는 정규분포에 접근한다는 것이다.

또 다른 설명이다. 자유도(degree of freedom=df)란 주어진 조건하에서 통계적으로 제한을 받지않고, 자유롭게 변할 수 있는 표본의 개체수이다. 표본의 개체수가 적을 때는 n 또는 n-1으로 나눌어줄 때 결과값에서 차이를 초래한다. 예를들면 30을 5로 나누면 '6'이지만, 30을 (5-1)로 나누면 '7.5'가 된다. 그러므로 적은 표본수에서는 분산과 표준편차를 계산할 때 자유도를 이용하여야한다. 예를들면, n=10 인 어떤 측정치들의 평균이 50 이라면, 이 중에서 9개의 측정치는 어떤 값이라도 자유로이 취할 수 있지만, 나머지 1개의 값은 평균이 50 이라는 조건을 만족시킬 수 있는 특정한 값을 취하도록 제한을 받는다. 따라서 개체값 10개 중에서 9개는 어떤 값이라도 취할 수 있다. 이렇게 자유롭게 값을 취할 수 있는 개체의 수가 자유도이다. 즉, n-1 이다.  

또  다른 설명이 있다. 표본이 집단에서 편차의 합은 '0'이다. n 개의 편차 중에서 (n-1) 개의 편차를 안다면 나머지 1개의 편차는 저절로 결정된다. 이것은 n 개 중에서 오직 (n-1) 개만이 무관함을 보여준다.

교재에서 다양하게 자유도를 설명하고 있는데 시원하게 이해하는 것은 어려웠다. 다만, 표본에서 측정한 값을 분석하여 분산과 표준편차를 계산할 때는 총개체수가 아닌 자유도(총개체수-1)로 나누어준다.

* 인터넷 지식 검색 1(서미혜)

주어진 조건하에서 자유롭게 변화할 수 있는 점수, 변인의 수 또는 한 변인의 범주의 수를 자유도라고 말한다. 어떤 제한을 받지 않고 임의로 3개의 수자를 쓰라고 할 때, 우리는 3개의 수를 자유롭게 선택할 수 있다. 즉 자유도는 '3'이다. 표본자료에 대한 통계적 분석의 경우에는 표본의 수(n)와 통계적 제한 조건의 수(k)와 관계가 있다. 예를들어 4명의 학생 중에서 각자가 좋아하는 학생을 1명씩 선택하는 경우는 각 학생이 자유롭게 선택할 수 있는 대상이 3명이므로 자유도는 '3'이다. 그래서 일반적인 공식은 df = n - k 이다.

* 인터넷 지식 검색 2(서미혜)  

자유도는 모집단의 모수를 추정할 때 사용되어지는 총정보를 말한다. 가령 우리가 표본의 분산을 구할 때 편차제곱합을 n-1로 나누어 주는 이유는 표본의 편차를 구할 때 이미 모편균이 아니라 표본평균이라는 추정량을 사용했기 때문이다. 이 때 총정보에서 모평균을 추정하기 위해서 사용된 표본평균이라는 하나의 추정치를 빼주는 것이 공정함으로 자유도, n-1로 나누어 준다.