피보나치 수열과 황금비율

[하늘바다]

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황금비와 피보나치 수열

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자연을 지배하는 거대한  힘  피보나치 수열 

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피보나치수열과 황금비는 이음 동의어

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피보나치 수열

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...

규칙이 보이시나요?

이 수열을 처음으로 소개한 사람의 이름인 레오나르도 피보나치(1170~1250)의 이름을 따서 "피보나치 수열"이라고 불리며, 이 피보나치 수열은 앞 두수의 합이 바로 뒤의 수가 되는 수열을 말합니다.

Q. 토끼 문제

피보나치 수열의 대표적인 예인 토끼문제입니다.

한 쌍의 어린토끼가 있습니다. 어린토끼는 한 달이 지나면 어른토끼가 됩니다.

어른토끼 한 쌍은 한 달이 지나면 어린토끼 한 쌍을 낳습니다.

과연 10달 뒤에는 몇 쌍의 토끼들이 있을까요?

이 문제를 풀다보면 피보나치 수열이 숨어있다는 것을 알 수 있습니다.

아래 그림을 따라가며 풀어보면, 10달 뒤에는 89쌍의 토끼들이 있다는 것을 알 수 있어요.

중학교 아이들에게 내보았는데 "토끼는 안죽어요??" 라는 웃긴 답변이 돌아오기도 했습니다ㅋ

◈ 황금비

피보나치 수열!! 하면 꼭 따라오는 것이 바로 황금비(Golden Ratio)입니다.

어떤 양을 두 부분으로 나누었을 때 각 부분의 비가 가장 균형있고 아름답게 느끼는 비라고 하죠.

피보나치 수열의 한 숫자를 그 다음 숫자로 나누어보자.

1/1 = 1

1/2 = 0.5

2/3 = 0.666...

3/5 = 0.6

5/8 = 0.625

8/13 = 0.615384...

13/21 = 0.619047...

이렇게 쭈욱 가다보면 어떠한 무리수로 수렴을 하게 됩니다.

" phi " : 1.61803...

이 황금비의 작도법은 여러가지가 있는데, 그 중 두가지만 들어보겠습니다.

첫 번째 작도 그림에서 직사각형 밑변을 a = 1.618... , 높이를 b = 1 이라고 두어보자.

a + b 만큼의 길이의 끈이 있다고 상상하고, 그 끈으로 둥근 원을 만들어보자.

그리고 b 만큼의 길이를 호로 갖는 부채꼴의 중심각을 r 이라 하자.

이 때, r = 137.5077...

이 각도는 "황금각"으로 불린다. 해바라기 씨, 샤워기 분무기 모양 등과 관련이 있는 각도!!

좁은 공간에 최대한 많은 씨 또는 점을 담고 있기 위해서라고 합니다.

- 황금나선형곡선

피보나치 수열의 숫자들을 한 변으로 하는 정사각형을 아래 그림과 같이 배열하고 사각형끼리 만나는 바깥쪽 점들을 선으로 이으면 나선형 형태의 아름다운 곡선이 나오게 됩니다. 이 직사각형의 가로세로 비율도 황금비를 이룬다. 암모나이트나 복족류의 패각구조의 모양도 이와 같아 등각나선형곡선이라고 불리기도 합니다.

태풍, 은하수의 형태가 황금나선형곡선으로 되어있다고 합니다.

- 피라미드 속의 황금비

고대 이집트 피라미드에도 황금비가 들어있습니다.

과연 고대 이집트 사람들은 황금비를 계산을 해낸걸까요? 아니면 우연의 일치일까요?

MO : PO : PM ≒

또한, 피라미드를 지면에 서서 어떤 방향으로 바라보든 3개의 선만 보이고

높은 위치에서 바라보면 5개의 선만 보이고

하늘 위에서 바라보면 8개의 선만 보인다고 합니다.

3 , 5 , 8 모두 피보나치 숫자라는게 신기하죠?

- 피아노 음계

피아노 건반을 보다보면 여기서도 피보나치 숫자들을 볼 수 있습니다.

도레미파솔라시도~♬ (8개) + 검은건반 (5개) = 13 음계

검은 건반은 2개 + 3개

3번째, 5번째 화음은 모든 화음의 기본이 된다고 합니다.

이 외에도

- 인체의 여러부분의 비율이 황금비.

- 애플로고 속에 숨어있는 황금비와 피보나치 수.

- 꽃잎 갯수 가 대부분 피보나치 수.

- 파르테논 신전, 비너스 상의 황금비.

- 태양계 내의 각 행성들 간의 거리 & 각 행성의 공전궤도, 속도의 황금비

와 같이 피보나치 수열과 황금비의 예들이 있다고 합니다.

이 중 개인적으로 제일 신기했던 것이 애플로고 !!

※ '다빈치 코드' 속 암호에도 피보나치 수열이 숨어있답니다!

① 13 - 3 - 2 - 21 - 1 - 1 - 8 - 5

② O, Draconian devil (오, 드라코 같은 악마여)

③ Oh, Lame saint (오, 불구의 성인이여)

1번 을 보시면 숫자들이 피보나치 숫자들이 배열만 무작위로 섞인 것을 알 수 있죠? 1번을 통해

2번, 3번의 애너그램(Anagram): 주어진 단어에서 철자를 뽑아 새로운 단어를 만드는 글자퍼즐 에 대한 힌트를 준 것!

2번을 재배열 하면 'Leonardo davinci' , 3번을 재배열 하면 'The monalisa' 가 나오는 것을 알 수 있습니다.

이상 중학교 1학년 수학 멘토링을 준비하면서 모아보았던 '피보나치 수열'에 대한 자료입니다.

아이들이 이 내용을 제일 좋아했고, 특히! 황금나선형곡선을 매우 신기해했어요ㅋ

아래영상은 '피보나치 수열'에 대한 멋진 영상자료입니다!

[출처] 피보나치 수열 [Fibonacci Sequence] & 황금비|작성자 Lubia