<p>환 R에 대하여 I 와 J가 환 R의 이데알이고 I+J=R 이라 하자</p><p>이때 잉여환 R/J=I+J / J = I / J 가 성립할까요?</p><p>I + J = {i + j / i€I , j €J } 이니 </p><p>(i+j)+J=(i+J)+(j+J)=(i+J)+J=i+J가 되어 위 식이 성립할거라 생각했습니다.</p><p> </p><p>근데 Z로 예를들어 I=2Z J=3Z 라 했을때</p><p>Z/3Z=2Z/3Z가 되어 성립하지 않을거 같습니다.. </p><p> </p><p>무엇을 잘 못 생각하고 있는건가요?</p>
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첫댓글I+J=R 이라고 해서 J⊂I 일 필요가 없으므로, 상환 I/J 라는 표현은 문제가 있어 보입니다. 그리고 제2동형 정리인가 보면 I, J가 R의 이데알일때, (I+J) / J = I / (I ∩ J) 으로 알고있습니다. 이때는 I∩J 가 이데알이 되면서 I∩J ⊂ I 입니다. 만약에 J⊂I라는 조건이 있다면, 그 때는 주장하신 식이 성립하겠지요.
표현에 있어서 정확하지 않은 부분이 있습니다. 플라티니리디움님 답변에 있는 내용을 참고하시면 될 것 같습니다. 다만, 아주 잘못된 것은 아닙니다. R의 아이디얼 I, J에 대하여 I+J=R 이라고 할 때 R에서 R/J상으로 자연사영사상 f를 생각합니다. 그러면 환 준동형사상 f:I -> R/J는 전사이며 그 상인 f(I)는 R/J 그 자체입니다.
첫댓글 I+J=R 이라고 해서 J⊂I 일 필요가 없으므로, 상환 I/J 라는 표현은 문제가 있어 보입니다.
그리고 제2동형 정리인가 보면
I, J가 R의 이데알일때, (I+J) / J = I / (I ∩ J) 으로 알고있습니다.
이때는 I∩J 가 이데알이 되면서 I∩J ⊂ I 입니다.
만약에 J⊂I라는 조건이 있다면, 그 때는 주장하신 식이 성립하겠지요.
답변 감사합니다
현대 대수학 질문 게시판으로 옮길게요.
표현에 있어서 정확하지 않은 부분이 있습니다. 플라티니리디움님 답변에 있는 내용을 참고하시면 될 것 같습니다.
다만, 아주 잘못된 것은 아닙니다.
R의 아이디얼 I, J에 대하여 I+J=R 이라고 할 때 R에서 R/J상으로 자연사영사상 f를 생각합니다.
그러면 환 준동형사상 f:I -> R/J는 전사이며 그 상인 f(I)는 R/J 그 자체입니다.
J가 I의 부분환이 아닐수도 있으니 I/J 표현은 불가하다. 하지만 I,J가 R의 아이디얼이고 I+J=R일때 R/J의 원소는 I의 원소를 대표원으로 하여 모두 표현가능하다.
이렇게 이해했는데 맞는건가요?
@기적 답이 늦어서 죄송합니다. 그렇게 이해하신 것은 맞습니다.
말머리를 달아주세요. 이번엔 제가 달겠습니다.