옴의 법칙

[선통박영수]

현대문명은 전기문명이라 해도 과언이 아니다. 전기난로나 전기 오븐, 혹은 백열전구, 형광등 등은 전자의 흐름인 전류가 가지는 에너지를 직접적으로 이용한 것이다. 또한 전자 기기를 구성하는 전자 소자는 기본적으로 전류가 흐르느냐 흐르지 않느냐로 켜기-끄기 (on-off) 상태를 결정하여 복잡한 연산이나 기계의 논리적 작동을 해내게 된다. 이렇듯 전기의 이용에 있어서 전하들의 흐름, 즉 전류의 이해는 핵심적이다.

전류를 이해하자

전류는 전위(전기적 위치에너지)의 차이 때문에 생긴다. 질량을 가진 물체가 위에서 아래로 떨어지는 것은 중력에 의한 위치에너지를 줄이기 위해서이다. 마찬가지로 전하도 전기적인 위치에너지를 줄이기 위해 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동한다. 전위는 전하의 분포와 상관이 있다. 음의 전하가 많은 곳은 전위가 낮고, 양의 전하가 많은 곳은 전위가 높다. 만약 두 곳 사이에 통로가 생긴다면 양의 전하는 전위가 낮은 곳으로, 음의 전하는 전위가 높은 곳으로 양쪽의 전위 차이가 없어질 때까지 움직일 것이다. 전류와 그 전류를 만드는 전위 차이의 관계를 처음으로 연구한 사람은 영국의 유명한 물리학자인 캐번디시(Henry Cavendish, 1731-1810)이다. 1781년에 그는 라이덴병(대전된 입자를 모아둔 병)과 소금물로 채워진 유리관, 그리고 자기 몸을 이용해서 전기 회로를 구성한 후, 실험 조건을 변경해 가면서 스스로 느끼는 전기적 충격을 주의 깊게 기록하였다. 그리하여 전위 차이는 전류에 거의 정비례한다는 사실을 처음으로 알아내었지만 그것을 출판하거나 다른 과학자들에게 알리진 않아서, 1879년에 맥스웰(James C. Maxwell, 1831-1879)이 공식적으로 소개하기 전까지는 다른 이들이 그의 연구를 알지 못했다.

4개의 라이덴병을 연결시킨 것. 축전지의 역할을 한다. <출처: (cc) Alvinrune at Wikipedia>

독일 과학자 옴, 수많은 실험 끝에 ‘옴의 법칙’을 제시

약 반세기의 세월이 흐른 뒤인 1827년, 독일의 과학자 옴(Georg S. Ohm, 1789-1854)이 ‘옴의 법칙’을 제시하였다. 옴은 다양한 길이와 재질을 가지는 여러 도선들에 흐르는 전류를 측정하기 위해 셀 수 없이 많은 실험을 하였다. 그는 실험 결과를 종합하여 전위 차이와 전류는 정비례한다는 결론을 얻었다. 그의 결과를 수식으로 쓰면 다음과 같다. 여기서 V는 전위 차이, I는 전류, R은 도선의 저항이라고 불리는 비례상수이다.

옴의 법칙을 이해하기

이해를 쉽게 하기 위해 서로 높이가 다르게 물이 차있는 두 물통을 생각해 보자. 두 물통 아랫부분에 구멍을 뚫고 고무 튜브 등으로 둘 사이에 물길을 만들어 보도록 하자. 그러면 두 물통의 물 높이가 같아질 때까지 물의 높이가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 물이 옮겨 가는데, 두 물통의 물 높이가 같아지면 두 물통 사이의 물의 흐름은 없어진다. 그런데 누군가가 물의 높이가 낮은 물통에서는 밖에서 들어온 만큼 물을 다시 빼내고, 다른 쪽 물통에서는 밖으로 나간 만큼의 물을 넣어 주어, 두 물통의 물의 높이 차이가 항상 일정하게 유지되면 어떻게 될까? 당연히 고무튜브 안의 물의 흐름 또한 일정하게 될 것이다.

독일의 물리학자 게오르크 옴(Georg S. Ohm, 1789-1854). 옴의 법칙을 발견한 인물.

이제 물의 높이 차이가 같은 두 쌍의 물통들을 한 쌍(A)은 속이 깨끗한 튜브로 연결하고 다른 한 쌍(B)은 속이 거의 막혀 있는 튜브로 연결해 보자. 그러면 같은 시간 동안, A의 경우가 B의 경우보다 많은 물이 튜브 속을 통과할 것이다. 물론 밖에서 물을 보충해 주고 빼내 주는 사람은 A의 경우 훨씬 바쁘긴 하겠지만 말이다. 여기서 두 물통의 높이 차이는 전위 차이에 해당하고, 튜브는 도선에 해당하며, 튜브 속의 물의 흐름은 전류에 해당한다. 전류는 도선 양단의 전위 차이를 해소하기 위해 이동하는 전하의 흐름이다. 물이 흐르기 쉬운가 어려운가를 결정하는 고무 튜브의 상태는 저항에 해당할 것이다. 같은 전위 차이에 대해 저항이 크다면 적은 전류가 흐르고, 저항이 작다면 더 큰 전류가 흐른다. 저항이 일정하다면, 전위 차이가 클수록 저항을 이겨내고 큰 전류가 흐를 것이고, 전압 차이가 작다면 작은 전류가 흐를 것이다. 두 물통의 물의 높이 차이가 커질수록 증가하는 수압차이로 인해 연결 튜브 속에는 빠른 물살을 만들어 내는 것을 연상해보면 쉽게 이해가 간다. 따라서, 전류(물의 흐름)와 전위 차이(물 높이의 차이) 사이에는 비례의 관계가 성립할 것이다. 그러나 전류가 전위 차이에 정비례할 것인지, 제곱에 비례할 것인지, 혹은 또 다른 어떤 복잡한 관계를 가질 것인지 명확하지는 않은데, 옴의 업적은 여기서 정비례의 관계를 확립한 것이다.

도선의 양단에서 전자를 빼주거나 전자를 공급해 주지 않고 일시적인 전위 차이만 있다면, 도선 양단에서의 전위는 전하의 이동에 의해 곧 같아지게 되고 더 이상 전류는 유지되지 않는다. 그러나, 도선의 양단에서 전위 차이를 유지해 주기 위해 도선의 한쪽엔 전하를 공급해주고 한쪽은 빼준다면, 도선에는 일정한 전류가 흐르게 될 텐데, 이런 역할을 하는 것이 전지(battery)이다.

저항이 생기는 이유

보통 전기 도선은 금속으로 만드는데, 이는 금속 안에서 전자들이 자유롭게 움직일 수 있기 때문이다. 물론 금속 안에는 전자를 잡아끄는 양의 전하를 가진 원자핵들이 있다. 그러나 공간에 주기적으로 배치되어 격자(lattice)를 이루고 있는 금속의 원자들은 최외각전자들을 쉽게 놓아주는 성질이 있다. 이렇게 생겨난 자유전자들은 금속 도선 안을 온갖 방향으로 돌아다니고 있어서 도선 양단에 전위 차이가 생기지 않는 한, 도선을 따라 일정한 방향으로 흐르는 순 전류는 없다.

이제 도선의 양쪽 끝에 전지의 음극과 양극을 연결해 보자. 음전하를 가진 전자들은 양극 쪽의 높은 전위를 낮추기 위해 그쪽으로 이동하려 할 것이다. 전자가 양극 쪽으로 이동하는 이유는 전기장이 개념으로도 설명할 수 있다. 전하를 띈 모든 물체는 전위를 ‘가장 많이’ 낮추는 방향으로 힘을 받게 된다. 그리고 그 힘의 세기는 그 공간에서의 전위의 기울기에 해당한다. 비탈길에 물이 떨어졌을 때 흐르는 방향과 세기를 생각해보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 이처럼 어떤 공간에서 전위가 가장 많이 감소하는 기울기와 방향을 전기장이라고 한다.

편의상 도선 전체에 걸쳐서 일정한 비율로 전위가 떨어지고 있다고 가정하자. 이것은 도선 내부의 모든 곳에서 크기가 같고 방향이 도선과 평행한 전기장을 생각하는 것과 같다. 전기장은 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하게 되는데, 음전하를 가진 전자는 전기장의 반대 방향으로 힘을 받게 될 것이므로, 전위가 높은 쪽으로 전자가 이동하게 되는 것이다. 그런데, 거의 모든 금속 재료들은 소량의 불순물을 포함하고 있거나 격자에 구조적 결함을 가지고 있어서, 이것들이 원활한 전자의 흐름을 방해한다. 게다가 금속을 이루는 원자들은 가만히 있는 것이 아니라, 아주 빠르게 진동하고 있는데 이것들도 전자의 흐름을 가로막는다. 또한 전자들은 운동 중에 서로 부딪히기 때문에 이것도 전자의 흐름을 방해할 것이다. 금속 도선을 흐르는 전자들이 이러한 다양한 장애물들을 만나게 되면 운동방향이 흐트러진다. 하지만, 이러한 진로 방해에도 불구하고 긴 시간을 두고 보면, 전자들은 도선 내부에 변함없이 걸려 있는 전기장에 휩쓸려서 아주 서서히 이동하여 결국은 전지의 양극에 도착한다.

백금 원자가 규칙적으로 배열된 모습 <출처: IBM>

이렇게 전자의 실제 운동속력에 비해 대단히 느린, 전자의 양(+)극을 향한 실질적 이동 속력을 표류속력(drift speed)이라고 부른다. 전자가 음극에서 양극으로 도선을 타고 빠르게 이동할수록 정해진 시간 동안 이동한 전자가 많을 것이기 때문에, 표류속력과 전류의 크기는 정비례한다. 도선의 길이가 정해지면 전위 차이는 전기장 세기에 정비례하므로, 표류속력이 전기장의 세기에 정비례한다는 것을 옴의 법칙은 말하고 있다.

참고로 구리 도선의 경우 실제 전자의 운동속력은 빛의 속력의 1/100 정도로 매우 빠르다. 그러나 1cm²의 단면적을 가진 구리 도선에 1A의 전류가 흐를 때, 표류속력은 시간당 3mm에 불과하다. 그런데 전하의 표류속력이 이렇게 느린데도 불구하고, 전기 스위치를 켜자마자 전기 장치들이 작동하는 이유는 무엇일까? 이는 금속 도선 속에는 자유 전자들이 이미 많이 존재했해서 도선 내부에 전기장이 생기자마자 도선 끝 근처에 있던 전자들이 즉시 이동하기 때문이다. 이것은 마치 수도꼭지를 열면 즉시 물이 쏟아지는 것과 같다.

저항은 길이에 정비례하고 단면적에 반비례한다

그렇다면 저항의 크기는 도선의 모양에 어떻게 의존할까? 우선 금속 도선을 원래 도선보다 길이와 재질은 같지만 두 배 넓은 단면적을 가지는 도선으로 교체했다고 생각해 보자. 전지의 양쪽 단자 사이의 전위차이는 도선의 성질에 무관한 전지의 고유한 특성이므로, 도선의 교체에 의해 변화가 없다. 그런데 전자가 이동할 통로의 너비가 두 배가 되었으므로, 전류의 크기도 두 배가 될 것이지만, 전위 차이는 변하지 않으므로 옴의 법칙에 의해 저항은 절반이 되어야 한다. 따라서 저항은 도선의 단면적에 반비례한다.

이제 단면적과 재질은 같지만, 길이가 두 배인 도선으로 교체해 보자. 이러면 도선 내부에 걸리는 전기장의 크기는 절반이 될 것이다. 왜냐하면 같은 전위 차이가 두 배 긴 거리에서 생겨야 하므로, 전위의 공간에 대한 변화율은 원래의 절반이다. 그런데 옴의 법칙에 의하면 전기장의 세기와 표류속도는 정비례하므로 전류의 크기도 절반이 된다. 따라서, 같은 전위 차이를 주기 위해서는 저항이 두 배 더 커져야 한다. 그러므로 우리는 옴의 법칙에 의해서 금속 도선의 두께와 길이에 대해 저항이 어떻게 변할지 추측을 해볼 수 있다. 즉 도선의 길이를 L, 단면적을 A라 할 때, 저항을 다음과 같이 적을 수 있다.

ρ는 금속 도선의 재질, 온도 등에 따라 결정되는 값으로,  비저항이라고 부른다. 저항의 단위는 Ω(옴, Ohm)이고,  1Ω은 1V의 전위 차이에 의해 1A의 전류가 흐를 때의 저항값이다. 따라서 비저항의 단위는 Ω·m가 된다. 영국의 물리학자 발로우(P. Barlow, 1776-1862)는 이것과는 다른 관계식을 제시했는데, 그것은 도선의 저항이 도선의 길이의 제곱근에 비례한다는 것이었다. 훗날 실험에 의해 발로우는 틀렸고 옴은 옳았음이 검증되었다.

비저항은 도선의 재질과 불순물, 온도 등에 따라 달라진다

그렇다면 금속 도선의 어떤 성질이 비저항의 값을 결정할까? 우선 금속 도선 속에 존재하는 단위 부피당 자유전자의 개수가 중요하다. 이것을 전하 나르개 밀도(carrier density)라고 하는데, 도선의 재질에 따라 고유한 양이다. 이 양이 크면 클수록 큰 전류가 흐를 수 있는 것은 당연하므로, 비저항의 값은 이 값에 반비례한다. 나무나 고무, 세라믹 같은 부도체는 어지간히 큰 전위 차이를 걸어주기 전엔 이 값이 0이어서 전류가 흐를 수가 없다.

또한 비저항 값은 도선 내부에 있는 격자 결함이나 불순물 등의 밀도에 비례할 것이다. 격자결함이나 불순물들이 고정되어 있는 것과는 달리, 움직이는 장애물들이라 할 수 있는 원자들의 진동이나 전자끼리의 산란은 온도가 중요하다. 원자들의 진동은 온도가 높아지면, 그 세기가 세어지고 양태는 더 다양하게 된다. 또한 고온에선 전자들의 운동이 활발해지므로 자유 전자들끼리의 산란도 빈번해 진다. 따라서 온도가 올라가면 금속 도선의 비저항 값도 올라가는 것이 일반적이다.

옴의 법칙은 예외도 많다

대부분의 물질은 옴의 법칙을 따른다. 하지만 어떤 경우는 전류와 저항에 의한 열효과 등으로 물성이 바뀌고 그 결과로 저항의 값 자체가 바뀔 수도 있다. 또한 P-N 다이오드(diode)와 같은 반도체 계에서도 옴의 법칙이 성립하지 않는다. 최근엔 폭이 나노미터(10^-9m) 정도로 아주 좁은 나노선(nanowire)을 통한 전자의 수송도 많이 연구되고 있다. 이때는 온도가 아주 낮고 도선이 매우 깨끗하더라도, 전자의 파동 성질로 인해 없앨 수 없는 근원적인 전기 저항이 생긴다. 역시 이때도 옴의 법칙이 성립하지 않는다.

옴의 법칙도 처음부터 인정받은 것은 아니다

옴의 법칙은 수학적으로 유도된 것이 아니라, 옴의 지난한 노력으로 이루어진 실험의 결과물들을 종합한 것이지만, 그의 당시(1825-1826) 실험 노트를 보면 여러 가지 이론적인 고려들이 실험에 큰 기여를 한 것을 알 수 있다. 옴의 연구 성과들은 당대에는 많은 공격을 받았는데, 특히 헤겔(Georg W. F. Hegel, 1770-1831)의 특별한 관심 아래 비슷한 주제에 대해 독자적 연구를 하던 자연 철학자 폴(Georg F. Pohl, 1788-1849)의 비난이 거셌다. 그는 옴의 연구가 '전기 회로의 본질'을 놓치고 있다고 비판하였다. 또한 당시 독일의 교육부 장관은 옴을 향해 “그런 사론(邪論)을 퍼뜨리고 다니는 교수는 과학을 가르칠 자격이 없다.” 고 비난할 정도였다. 그러나 옴의 법칙은 1831년 페흐너(Gustav T. Fechner, 1801-1887)의 매우 정밀한 검증 실험에 의해 신뢰를 얻기 시작했고 이후의 여러 실험들에 의해 확인되었다.

글 이충기 / 고등과학원 연구원

서울대학교 물리학과를 졸업하고 동 대학원에서 고체물리학 이론으로  박사학위를 받았다. 현재 고등과학원 물리학부 연구원으로 재직 중이다.