슈뢰딩거가 1926년 발표 E=hν F=ma

[장끼]

양자역학적 관점에서 물질의 상태를 기술하는 방정식이다. 

취리히 대학교 교수였던 오스트리아의 빈 출신 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 1926년 발표하였다.

양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴 방정식 F=ma,  동일한 위상을 가지며

고전적인 운동 방정식과 슈뢰딩거 방정식은 기초적인 방정식이라는 공통점 외에 많은 차이가 있다.

큰 차이로 두 방정식이 다루는 대상이 있다.

고전적인 운동 방정식에서는 입자 혹은 질점의 위치나 운동량같이 의미가 직관적으로 잘 와닿는 것을 대상으로 하는 데

슈뢰딩거 방정식은 다소 추상적인 파동함수라는 것을 다룬다.

그리고 이 파동함수는 추상적인 만큼 그 의미에 해석이 필요하다. 예를 들자면 파동함수가 물리적인 실체인가 아닌가 하는 부분이나 측정이 도대체 어떤 식으로 양자상태를 붕괴시키는지는 양자 역학의 해석에 따라 설명이 갈린다. 그러나 이러한 해석 방법에 관계없이 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다는 것만은 기본적인 가정(혹은 해석에 따라 가정으로부터 다다를 수 있는 현상)이다. 이는 실험적으로도 잘 증명되어 있다. 따라서 파동함수가 물리적 실체인지 아닌지는 불확실하더라도 양자역학을 세우는 데 필수적임은 확실하다.[3]

사실 고전역학보다 양자역학이 훨씬 근본적인 법칙이기에 이 방정식으로도 당연히 고전역학적인 문제를 풀 수 있으며, 양자역학의 고전역학 근사(플랑크 상수를 0으로 보내는 등)를 취하면 당연히 구해지는 답도 고전역학에서 구한 값과 일치한다. 다만 고전적 풀이보다 훨씬 어렵고 복잡하기에 실용적으로 쓰이는 경우가 드물 뿐이다. 자세한 내용은 물질파, 양자역학 항목을 참고.

2. 아이디어[편집]

비록 슈뢰딩거 방정식이 양자역학에서 일종의 공리와 같은 존재라지만, 그렇다고 기존의 물리학적 흐름과 완전히 동떨어져서 등장한 것은 아니다. 슈뢰딩거 방정식을 착안해 내는 아이디어는 여러 가지가 있지만, 가장 직접적으로는 제임스 클러크 맥스웰이 정립한 전자기학 혹은 파동역학에서 출발하며, 여기에 막스 플랑크가 제시한 "양자가설", 즉 에너지의 양자화 E=hν

빛의 입자성을 포함한 입자와 파동의 거동을 원자 수준에서 서술하는 양자역학의 수학적인 표현에서 특징적으로 나타난다. 이 상수는 1900년 독일의 물리학자인 막스 플랑크가 흑체, 즉 복사 에너지를 완전하게 흡수하는 물체에서 방출되는 복사의 분포에 관한 정확한 표현을 계산하는 과정에서 도입되었다(→ 플랑크의 복사법칙).

플랑크 상수의 중요성은 빛과 같은 복사가 그 주파수와 플랑크 상수에 의해서 결정되는 불연속적인 에너지의 덩어리, 즉 양자(quanta)의 형태로 방출·전달·흡수된다는 것이다.

각 양자(광자)의 에너지 E는 플랑크 상수 h와 그리스 문자 ν(뉴)로 표현되는 주파수의 곱, 즉 E〓hν로 표현된다.

 ħ(h-bar) 또는 디랙(Dirac) h라고 불리는 플랑크 상수의 변형된 형태가 양자역학의 공식화에서 자주 등장하는데 이는 h를 2π로 나눈 값이다. 플랑크 상수의 차원은 에너지와 시간의 곱으로 작용이라고 불리는 양이다. 따라서 플랑크 상수는 때때로 작용의 기본적인 양자로서 정의된다.

국제 단위계에서 이 값은 6.6260755×10－34 J·s이다.

E=hν를 적용해서 역으로 미분하면 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 도달할 수 있다(이는 슈뢰딩거 본인이 사용한 방법이기도 하다.). 또한 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 해밀토니언(Hamiltonian) 연산자 역시, 고전역학의 해밀턴 역학에서 사용하는 해밀토니언 HH로부터 자연스럽게 확장시켜 사고할 수 있다. 실제로 슈뢰딩거의 논문은 해밀턴 역학에서 나오는 해밀턴-자코비 방정식에서 출발한다. 또한, 파인만이 사용한 방법으로, 최소작용의 원칙과 경로적분, 그리고 몇 가지 가정을 이용하는 방법도 있다.

bkcastle.com기원을 찾아서

질량의 기원 : 고전역학, 뉴턴의 운동 방정식, 고대 그리스 철학

보손(Higgs boson)의 발견으로 이 이론은 실험적으로 입증되었으며, 질량의 기원을 더 깊이 이해하는 데 중요한 기여를 했습니다. 2. 뉴턴의 운동 방정식과 질량 뉴턴의 운동 방정식(F=ma)은 물체의 가속도(a)와 그 물체에 작용하는 힘(F) 사이의 관계를 설명하며, 여기서 질량(m)은 물체의 고유한

질량의 기원 : 고전역학, 뉴턴의 운동 방정식, 고대 그리스 철학

아인슈타인 이전의 사람들의 생각

갈릴레이가 1642년 세상을 떠나자 그해 크리스마스에 뉴턴(1642~1727)이 태어났다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 발견하고 우리 주변에서 일어나는 물체의 운동을 세 가지 법칙으로 정리했다. 만유인력의 법칙은 모든 물체는 서로 끌어당기는 힘이 존재한다는 것이다. 그 힘은 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것이다. 세 가지 운동 법칙은 관성의 법칙, 가속도의 법칙, 작용과 반작용의 법칙이다. 뉴턴은 이런 내용을 담은 『자연철학의 수학적 원리』를 1687년에 출간했다.

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이로써 세상에서는 일어나는 모든 물체의 운동을 설명할 수 있게 되었다. 뉴턴은 운동 법칙을 만들면서 절대 공간과 절대 시간이라는 개념을 도입했다. 움직이는 물체의 운동은 우주에 있는 절대 변하지 않는 공간에서 이루어지며 시간도 어떤 장소에서나 항상 일정하게 흐르는 절대 시간을 기준으로 일어난다는 것이다. 절대 공간은 다른 물체와는 상관없이 절대 변하지 않는 좌표가 있고 물체는 그 안에서 움직인다. 시간도 과거에서 현재를 거쳐 미래로 방향이 정해져 있으며 모든 물체는 절대 시간에 따라 운동한다.

이렇게 뉴턴은 절대 공간과 절대 시간을 기준으로 물체의 운동을 세 가지 운동 법칙으로 정리했다. 이 법칙은 현재에도 어떤 특정 조건에서 유용하게 적용되고 있으며 상대성이론과 양자역학이 확립되는 데 토대가 되었다. 세 가지 운동 법칙을 간단하게 알고 넘어가자.

먼저 뉴턴의 운동 제1법칙은 '관성의 법칙'이다. 관성이란 외부에서 다른 힘이 가해지지 않으면 정지해 있는 물체는 영원히 정지해 있으려고 하고 운동하고 있는 물체는 영원히 같은 속도로 운동하려고 하는 성질을 말한다. 이 말은 물체의 운동 상태를 바꾸려면 외부에서 힘을 작용해야 한다는 것이다.

운동 제2법칙은 '가속도의 법칙'이다. 물체에 작용하는 힘은 그 물체의 질량과 가속도를 곱한 것이다. 물체를 가속 즉, 속도에 변화를 주려면 힘을 더 크게 하거나 질량을 작게 해야 한다는 것이다.

운동 제3법칙은 '작용과 반작용의 법칙'이다. 물체에 힘을 가하면 그 물체도 반대방향으로 같은 크기의 힘이 작용한다. 우리가 땅을 딛고 걸을 수 있는 것도 로켓이 우주 공간을 날 수 있는 것도 작용과 반작용의 법칙이 있기 때문이다.

뉴턴이 정리한 이 운동 법칙은 우리 눈에 보이는 세상의 모든 운동을 완벽하게 설명할 수 있었다. 하지만 눈에 보이지 않은 세계에서 원자와 분자의 운동을 설명하는 데 한계가 있었다. 또 뉴턴역학으로 해결할 수 없는 현상 중 가장 중요한 것이 바로 '빛'에 관한 문제였다.

맥스웰 “빛은 일종의 전자기파다.”

과학사에 가장 유명한 논쟁은 빛의 이중성에 대한 논쟁일 것이다. 오랫동안 사람들은 빛이 무엇으로 이루어져 있느냐에 대해 논쟁을 해왔다. 뉴턴은 빛이 입자 즉, 알갱이로 되어 있다고 생각했다. 빛이 물체에 비치면 그림자가 선명하게 생긴다. 빛이 만약 파동이라면 빛이 물체 뒤까지 돌아갈 수 있기 때문에 그림자가 생기지 않거나 생겨도 희미하게 생길 것이다.

뉴턴과 같은 시대를 살았던 네덜란드의 물리학자 하위헌스(1629~1695)는 「빛에 대한 논문」에서 빛이 파동이라고 주장했다. 빛이 입자라면 서로 부딪쳤을 때 튕겨져 나가야 하는데 빛을 아무리 부딪쳐도 똑바로 나아가기 때문이었다. 당시 사람들은 뉴턴의 권위에 눌려 빛은 입자라고 생각했고, 입자설은 100년이 넘도록 정설로 받아들여졌다.19세기 초 영국의 토머스 영(1773~1829)은 빛의 간섭 실험을, 비슷한 시기에 프랑스의 오귀스탱 장 프레넬(1788~1827)은 빛의 회절 실험을 통해 빛의 파동성을 증명했다. 이로써 빛의 파동설이 전면에 대두되었다. 여기에 19세기 말 영국의 제임스 클러크 맥스웰(1831~1879)이 빛이 전자기파의 일종이라는 것을 이론과 실험을 통해 밝혀냈다. 이제 빛은 파동설로 굳혀지는 듯했다.

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하지만 아인슈타인이 1905년 「빛의 발생과 변화에 관련된 발견에 도움이 되는 견해에 대하여」라는 논문을 통해 광전효과를 설명하면서 광양자설을 도입했다. 광전효과는 금속에 빛을 쪼이면 전자가 튀어나오는 현상인데 이것은 빛이 입자이기 때문에 가능한 것이다. 결국 빛은 이중성을 띠고 있었던 것. 어떤 현상은 빛이 입자여야만 설명되고 또 어떤 현상은 파동이어야만 설명될 수 있었다. 이것을 '빛이 이중성'이라고 한다. 빛에 대한 오랜 논쟁은 이중성을 인정하면서 끝이 난 것이다.

그렇다면 빛은 얼마나 빨리 전달될까? 빛이 유한한 속력을 가지고 있다고 생각한 사람은 갈릴레이였다. 하지만 갈릴레이는 빛의 속도를 알아내려고 수많은 노력을 했지만 제대로 측정할 수 없었다. 최초로 과학적인 방법으로 빛의 속도를 측정한 사람은 덴마크의 천문학자 올레 뢰머(1644~1710)였다. 목성의 위성 이오가 목성의 그림자에 가려지는 시간이 지구와 목성의 거리에 따라 달라진다는 사실을 이용한 것이다. 1676년 뢰머는 빛의 속도를 초속 약 22만 킬로미터로 측정했다.

프랑스의 물리학자 아르망 피조(1819~1896)는 반사경과 톱니바퀴를 이용하여 빛의 속도를 측정했다. 회전하는 톱니바퀴 틈 사이로 빛을 통과시키고 그 빛을 거울로 반사시켜 되돌아오는 데 걸리는 시간을 잰 것이다. 1849년 피조는 이렇게 해서 빛의 속도를 초속 약 31만 킬로미터로 측정했다. 여러 과학자들이 빛의 속도를 측정하기 위해 노력하고 있을 때 맥스웰은 1864년 「전자기장의 동력학적 이론」이라는 논문을 출판했다. 이 논문에 그는 맥스웰 방정식이라고 하는 수식으로 전기와 자기를 통합했다. 물론 그 이전에 전기와 자기에 대해서는 여러 가지 사실들이 밝혀졌다. 자석 사이에 코일을 회전시키면 전류가 생기고, 코일을 감은 쇠막대에 전류를 흐르게 하면 쇠막대가 자석이 된다. 전기와 자기는 한 몸이었던 것이다.

또 맥스웰은 파동이 어떻게 전달되는가를 연구하면서 전자기파가 초속 약 30만 킬로미터로 전달된다는 것을 계산해냈다. 그는 이런 사실을 맥스웰 방정식에 담았으며 빛에 대해 다음과 같이 썼다.

인용문

빛이란 전자기 법칙에 따라 전자기장에서 파동의 모습으로 전달되는 전자기파다. 이 전자기파의 속도는 빛의 속도와 같다.

맥스웰

맥스웰 방정식은 뉴턴의 운동법칙, 중력이론과 함께 모든 물리 현상을 완벽하게 설명할 수 있었다. 맥스웰은 이런 업적으로 뉴턴 이후 아인슈타인 이전 가장 위대한 물리학자로 칭송받게 되었다. 하지만 이때까지도 사람들은 빛은 에테르라는 가상의 물질이 매개한다고 생각하고 있었다. 소리가 공기를 통해 전달되듯이 빛이 에테르를 통해 전달된다는 것이다. 빛이 전자기파의 일종이라고 결론을 내린 맥스웰은 에테르 속에서 운동하는 지구의 속도를 구하고자 했다. 지구가 움직이는 수평 방향으로 갔다가 되돌아온 빛과 수직 방향으로 갔다가 되돌아온 빛을 한곳에 모이게 하면 같은 거리를 움직였지만 에테르 속에서 지구가 움직였기 두 빛이 간섭 현상을 일으킬 것으로 예상했다. 맥스웰은 결국 이 실험을 성공하지 못하고 세상을 떠났다. 이 실험을 정확하게 해낸 사람은 미국의 물리학자 마이컬슨과 몰리였다.

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1887년 마이컬슨과 몰리는 빛의 간섭실험을 통해 두 빛 사이에서 간섭현상이 일어나지 않았고, 따라서 지구가 에테르 속에서 움직인다는 증거가 없다는 사실을 알아냈다. 빛은 지구가 움직이는 방향과 수직인 방향 모두에서 똑같은 속도로 진행했다. 이 이야기는 빛을 매개하는 에테르는 존재하지 않으며 빛은 어떤 방향이든 속도가 동일하다는 것이다.

마이컬슨과 몰리는 이때 빛의 속도를 정확히 측정한 것은 아니지만 이 공로로 1907년 노벨 물리학상을 수상했다. 그리고 40년이 지난 1926년 마이컬슨은 빛의 속도를 초속 299,796±4킬로미터로 측정했다. 이 값은 현재 빛의 속도의 측정치인 초속 299,792.458킬로미터와 오차 범위 내에서 같은 값이다.

내가 만약 빛의 속도로 움직인다면?

갈릴레이가 사망한 해에 뉴턴이 태어났는데 맥스웰이 사망한 1879년에는 아인슈타인이 태어났다. 스위스 연방 공과대학을 졸업한 아인슈타인은 1902년부터 특허국 심사관으로 일하게 되었다. 특허를 얻기 위해 출품한 발명품을 심사하는 일은 생각하기 좋아하는 아인슈타인에게 딱 맞는 직업이었다. 일을 하면서 아인슈타인은 물리학 연구를 할 수 있었으며 사고실험을 통해 자신의 이론을 만들기 시작했다. 아인슈타인이 관심을 가진 것은 시간과 공간과 그리고 빛이었다.

인용문

내가 만약 거울을 들고 빛의 속도로 움직인다면 거울 속에 내가 보일까?

아인슈타인의 '빛'에 대한 의문

이것이 빛이 대해 생각하면서 가진 아인슈타인이 의문이었다. 두 대의 기차가 같은 방향으로 시속 100킬로미터로 달린다면 기차 안에 있는 사람은 다른 쪽의 기차가 멈춰 있는 것처럼 보인다. 두 대의 기차가 각각 시속 100킬로미터로 서로 반대 방향으로 달린다면 기차 안에 있는 사람은 다른 쪽의 기차가 시속 200킬로미터로 달리는 것처럼 보인다. 이것은 지극히 상식인 현상으로 '속도의 합산 법칙'으로 나타낼 수 있다. 즉, 내가 관측하는 물체의 속도는 자신과 상대의 속도를 더하거나 빼서 나타낼 수 있다. 물체가 빛의 속도로 움직여도 마찬가지여야 한다. 시속 100킬로미터로 달리는 기차를 타고 같은 방향으로 움직이는 빛을 보면 빛은 빛의 속도에서 100킬로미터를 뺀 만큼 보이고, 기차가 반대 방향으로 달린다면 100킬로미터를 더해 주어야 한다. 그렇다면 빛의 속도로 움직이면서 거울을 보면 얼굴에서 나온 빛이 절대 거울에 닿지 않을 것이다. 따라서 거울에 아무것도 비치지 않는다. 그런데 빛의 경우는 어떤 경우든 항상 일정한 속도를 가지고 있다. 속도의 합산 법칙이 성립되지 않는다. 이것이 당시 물리학의 가장 큰 수수께끼였다.

이 수수께끼를 해결한 사람이 아인슈타인이며 그가 제시한 것이 특수상대성이론이다. 1905년 발표한 5개의 논문 중 하나인 「운동하는 물체의 전기역학에 대하여」가 바로 특수상대성이론에 관한 것이었다. 논문 제목을 보면 상대성이란 말은 없고 전기역학이란 말이 나온다. 이것은 특수상대성이론이 맥스웰의 전자기학에서 출발했고, 맥스웰 방정식에서 다루고 있는 빛이 속도가 불변하다는 것을 전제로 하고 있다. 우리가 흔히 말하는 '광속 불변의 원리'다. 빛의 속도가 불변이고 속도의 합산이 성립하지 않는다는 것은 뉴턴역학으로 볼 때 맞지 않는 것이기 때문에 사람들은 맥스웰 방정식이 틀렸다고 생각했다. 하지만 아인슈타인은 광속이 불변이라면 시간과 공간에 대한 그동안의 개념이 잘못된 것이 아닐까 의심하게 되었다.

아인슈타인은 갈릴레이의 상대성원리를 빛의 경우에 적용하면서 시간과 공간에 대한 생각을 정리했다. 자, 지금 광속에 가까운 일정한 속도로 날아가는 우주선이 있다. 이 우주선 중심에 우주선 앞쪽과 뒤쪽으로 빛을 쏠 수 있는 장치가 있고 같은 거리에 빛을 감지할 수 있는 센서가 장치되어 있다. 이 센서에서 빛이 감지되면 신호등이 켜진다. 우주선 안에 있는 관찰자는 우주선과 함께 등속 운동을 하고 있기 때문에 빛이 쏘아지면 앞뒤에 있는 신호등이 동시에 켜지는 것을 볼 수 있다.

그렇다면 이 우주선에 대해 정지해 있는 지구에서 이 상황을 지켜보는 관찰자에게도 신호등이 동시에 켜지는 것으로 보일까? 그렇지 않다. 중심에 나온 빛은 뒤쪽의 센서는 가깝고 앞쪽의 센서는 더 먼 거리를 가게 된다. 그래서 지구에 있는 관찰자는 뒤쪽의 신호등이 먼저 켜지는 것을 볼 수 있다. 어떤 관찰자에게는 동시에 일어나는 일도 다른 관찰자에게는 동시에 일어난 일이 아닌 것이다. 이것을 '동시성의 불일치'라고 한다. 그러나 빛의 속도는 항상 일정하다. 이 이야기는 시간은 절대적인 것이 아니라 상대적으로 다르게 흐른다는 것이다. 위의 경우 두 가지 경우의 차이점은 멈추어 있느냐 움직이느냐다. 즉 멈추어 있는 사람의 시간과 움직이는 사람의 시간이 다르게 흐르고 있다.

아인슈타인의 상대성 원리

중심에 앞쪽과 뒤쪽으로 빛을 쏠 수 있는 장치가 있는 우주선

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그렇다면 시간이 어떻게 흐르고 있는지 계산해 보자. 이번에는 우주선 안에 빛 시계가 있다고 하자. 빛 시계는 바닥에서 빛을 쏘면 천장에 있는 센서가 감지하게 되어 있다. 바닥에서 쏘아진 빛이 센서에 닿기까지 1초가 걸린다고 하자.

아인슈타인의 상대성 원리

빛 시계가 안에 있는 우주선

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이제 이 우주선이 광속의 

만큼 등속도로 날아간다. 그럼 우주선 밖의 관찰자가 보면 우주선이 앞으로 나아간 만큼 빛이 비스듬하게 진행하는 것을 볼 것이다. 이것은 우주선이 날면서 빛이 이동하는 거리가 늘어난 것이다.

아인슈타인의 상대성 원리

우주선이 날면서 빛이 이동하는 거리

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여기서 빛의 움직임을 직각삼각형으로 나타낼 수 있고 변의 길이를 각각 X, Y, Z 그리고 우주선의 속도 V, 빛의 속도 c, 우주선 안의 관찰자가 본 빛의 이동 시간 t, 우주선 밖의 관찰자가 본 빛의 이동 시간 T라고 할 수 있다. 피타고라스의 정리를 이용하면 우주선 밖의 관찰자가 본 빛의 이동 시간을 계산할 수 있다.

피타고라스의 정리를 이용한 우주선 밖의 관찰자가 본 빛의 이동 시간 계산

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그런데 t는 1초이고, V/c는 이므로 T는 약 1.15초가 나온다. 이것은 움직이는 물체는 시간이 느리게 간다는 것이다. 이것을 '시간 지연'이라고 한다. 만약 이 우주선이 광속의 0.8배의 등속도로 날아간다면 우주선 안의 1초가 우주선 밖에서는 약 1.67초로 느려진다. 그렇다면 우주선이 빛의 속도로 날아간다면? 분모가 0이 되어 시간은 무한대가 된다. 이런 일은 결코 있을 수 없다. 따라서 모든 물체는 빛보다 빨리 이동할 수 없다는 결론이 나온다.

결국 아인슈타인은 빛의 속도로 움직이면서 거울을 보면 얼굴이 보일까라는 의문에 '보인다'라고 결론을 내렸다. 빛은 언제 어디서나 움직이는 물체든 정지해 있는 물체든 항상 같은 속도로 이동하기 때문이다. 시간이 절대적이지 않다면 공간은 어떨까? 속도는 이동한 거리를 시간으로 나눈 것이다. 빛의 속도는 절대적으로 동일하다. 하지만 시간은 관찰자에 따라 다르다. 상대적이다.

그렇다면 공간도 마찬가지로 상대적이다. 멈춰 있는 관찰자에게 움직이는 물체의 길이는 줄어들어 보인다. 물체의 길이도 관찰자에 따라 다르게 보이는 것이다. 빛이 속도에 가까이 움직일수록 시간이 느려지는 것처럼 길이도 줄어든다. 길이와 시간은 반비례 관계이므로 시간 지연을 유도한 식에서 길이는 다음과 같다. 여기서 L은 멈춰 있는 관찰자가 측정한 길이이고 l은 등속도로 움직이는 물체의 원래 길이다. 만약 길이 100미터의 우주선이 광속의 로 날고 있다면 지구에 있는 관찰자에게는 약 87미터로 줄어든 것처럼 보이게 된다. 우주선이 속도가 광속의 80%라면 약 60미터로 줄어들어 보이고 광속으로 난다면 길이는 없는 것으로 보인다. 이것을 '길이 축소'라고 한다.

특수상대성이론

길이 축소

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빛의 속도는 항상 동일하며 같은 속도로 움직이는 물체는 시간이 느려지고 길이가 줄어들어 보이는 것이 특수상대성이론의 핵심이다. 시간과 공간은 절대적인 것이 아니며 상대적으로 고려해야 하며 시간과 공간을 합쳐 '시공간' 4차원으로 기술해야 하는 것이 아인슈타인이 생각한 세계였다.

광속과 가까운 속도로 날고 있는 우주선을 조금 더 가속하면 빛의 속도가 되거나 빛의 속도를 넘어서지 않을까? 하지만 특수상대성이론은 빛의 속도가 언제 일정하다는 전제하에 성립되는 것이고 물체의 속도가 빨라지면 시간, 길이가 달라지는 것처럼 질량도 커진다. 질량이 증가하는 것도 시간 지연 공식과 같이 다음과 나타낼 수 있다. 여기서 M은 멈춰 있는 관찰자가 측정한 질량이고 m은 등속도로 움직이는 물체의 원래 질량이다.

특수상대성이론

질량 증가

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따라서 빛의 속도에 가까울수록 분모가 작아지므로 움직이는 물체의 질량은 커진다. 빛의 속도로 움직인다면 분모가 0이 되고 M은 무한대가 된다. 그렇다면 빛은 왜 빛의 속도가 움직일 수 있을까? 그것은 빛의 질량이 0이기 때문이다. 빛의 질량이 0이기 때문에 아무리 빨리 움직여도 질량에 변함이 없는 것이다. 그래서 빛의 속도로 움직일 수 있다.

이제 우리는 우주선을 아무리 가속해도 빛의 속도를 넘어설 수 없다는 것을 알게 되었다. 우주선을 가속하여 속도를 높일수록 질량이 커진다. 이것은 우주선을 가속하는 데 드는 에너지가 질량으로 바뀐다는 것이다. 여기서 아래와 같은 아인슈타인의 유명한 공식이 등장한다.

질량-에너지 등가 원리

E=mc2

이 공식의 의미는 에너지가 질량으로 바뀔 수 있다는 것을 나타낸다. 즉, 에너지와 질량이 똑같다는 것이다. 이것을 '질량-에너지 등가 원리'라고 한다. 여기서 c가 빛의 속도이기 때문에 작은 에너지도 엄청난 에너지를 낼 수 있음을 나타낸다. 우라늄과 같은 원자핵이 가벼운 원자로 분열하면서 줄어든 질량이 막대한 에너지로 변하는데 이것이 원자폭탄의 원리다. 물론 핵분열이 서서히 일어나게 조절하면 원자력 발전이 되는 것이다.

이 공식은 사실 어려운 것이 아니다. 서두에서 물리학은 물체의 운동을 다루는 학문이라고 했다. 운동을 이야기할 때 가장 중요한 공식이 뉴턴의 운동 제2법칙으로 다음과 같다.

뉴턴의 운동 제2법칙

F=ma

F는 물체에 작용하는 힘이고, m은 물체의 질량, a는 가속도다. 즉, 물체에 작용하는 힘은 질량과 가속도의 곱으로 나타낼 수 있다. 또 에너지는 일을 할 수 있는 물리적인 능력이고 힘과 거리의 곱으로 나타낸다. 간단하게 식을 정리해 보면 오른쪽과 같다.

뉴턴의 운동 제2법칙

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물론 이것은 힘의 공식에서 간단하게 에너지 공식을 유도할 수 있다는 것을 보여주는 것이다. 아인슈타인도 이렇게 질량-에너지 등가원리를 유도한 것은 아니다. 다만 E=mc2이 엄청 어렵거나 새로운 것이 아니라는 것을 보여주기 위한 것이다.

특수상대성이론은 빛의 속도가 변하지 않는다는 것과 움직이는 물체는 시간이 느려지고 길이가 줄어들며 질량이 증가한다는 보여준다. 또 질량과 에너지는 결국 같다는 것이 핵심이다. 그렇다면 왜 '특수'인가? 그것은 움직이는 물체가 등속도로 움직이는 특수한 상황에서만 적용되기 때문이다. 현실적으로 운동하는 물체는 등속운동보다는 가속운동이 많다. 가속운동을 하는 경우에도 적용할 수 있는 것이 바로 일반상대성이론이다.

가속도와 중력은 같다

아인슈타인은 특수상대성이론을 발표하여 그동안이 시간과 공간에 대한 개념, 질량과 에너지의 관계를 밝힌 후 10년이 지난 1915년 일반상대성이론을 발표했다. 갈릴레이의 상대성원리도 등속 직선 운동일 때만 성립하고 가속운동 즉, 속도가 변하거나 방향이 바뀌는 운동에서는 적용되지 않는다. 등속 상황과 가속 상황은 어떻게 다른 것일까?

등속 직선 운동하는 배의 돛대 위에서 물체를 떨어드릴 경우 배에 탄 사람은 물체가 똑바로 떨어지는 것을 볼 수 있다. 그런데 물체를 떨어뜨리는 순간 배의 속력을 높이거나 방향을 바꾼다면 물체는 똑바로 떨어지지 않는다. 일반적인 경우 배의 속력은 변하고 방향이 바뀐다. 따라서 특수상대성이론이 적용되지 않는다.

그렇다면 가속이란 무엇일까? 위대한 물리학자 뉴턴은 만유인력을 법칙을 발견했다. 모든 물체는 서로 끌어당기는 힘이 작용한다. 사과가 땅에 떨어지는 것도 지구와 사과가 서로 끌어당기는 힘이 있기 때문인데 지구의 질량이 사과에 비해 훨씬 커서 사과가 지구 쪽으로 끌려오는 것이다. 사과뿐만 아니라 지구상의 모든 물체는 지구 중심으로 끌리는 중력을 받고 있다. 높은 곳에서 물체를 떨어뜨리면 지구 중심을 향해 점점 더 빠른 속도로 떨어진다. 즉, 가속운동이 일어난다. 이것을 자유낙하운동이라고 한다. 자유낙하운동을 일으키는 힘은 중력이다. 중력 때문에 가속운동이 일어난 것이다. 아인슈타인은 중력과 가속도는 같다고 생각했다. 이것이 바로 일반상대성이론의 핵심이다.

자유낙하운동

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지상에서 우주선을 발사한다고 생각하자. 발사될 때는 우주비행사의 발은 중력에 의해 바닥에 닿아 있다. 그러다가 우주 공간으로 나간 다음 무중력상태가 되면 우주비행사의 발은 바닥에 닿지 않는다. 심지어 어디가 바닥이고 어디가 천장인지도 구별할 수 없다. 다시 우주선을 가속시키면 우주비행사의 발이 바닥에 닿게 된다. 가속이 중력과 똑같은 효과를 만든 것이다. 결국 중력과 가속도는 같다고 할 수 있다. 이것을 '가속도와 중력의 등가원리'라고 한다.

그렇다면 중력은 공간과 시간에 어떤 영향을 미칠까? 아인슈타인은 중력이 물체를 끌어당기는 것이 공간이 휘어져 있기 때문이라고 생각했다. 얇고 평평한 고무막에 무거운 쇠구슬을 놓으면 쇠구슬의 무게에 눌려 고무막의 표면이 휘어진다. 이 고무막 가장자리에 여기에 작은 쇠구슬을 놓으면 큰 쇠구슬 쪽으로 굴러갈 것이다. 중력이 작용한다는 것이 이런 모습이라고 아인슈타인은 생각했다. 쇠구슬이 서로 끌어당기는 것은 중력 때문에 공간이 휘어졌기 때문이다.

태양의 중력에 휘는 별빛

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즉, 중력은 공간을 일그러지게 한다. 공간이 일그러진다면 시간은 어떨까? 중력 때문에 공간이 일그러지면 빛이 지나가는 길도 일그러지고 그렇게 되면 시간이 느려진다. 이것은 중력이 빛도 휘게 한다는 것이다. 실제로 이런 생각은 1919년 영국의 천문학자 아서 에딩턴(1882~1944)이 개기일식 때 태양 뒤쪽에 있는 별에서 오는 빛이 태양의 중력으로 시공간이 휘어진다는 사실을 관측함으로써 일반상대성이론이 맞는다는 것이 증명되었다. 중력이 큰 곳이라면 시공간이 더 크게 일그러지고 빛도 더 크게 휘어질 것이다. 블랙홀이 있는 곳이라면 중력이 너무나 커서 빛조차 빠져나오지 못할 것이며 시간도 멈춰 있는 것처럼 보일 것이다.

중력이 크면 그만큼 시공간도 더 크게 일그러진다.

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중력파 관측, 아인슈타인의 예측은 빗나가고…

일반상대성이론의 핵심은 중력이 시공간을 일그러지게 한다는 것이다. 아인슈타인은 시공간이 일그러지는 것은 연못에 돌을 던졌을 때 물결이 일듯이 질량을 가진 물체가 시공간에 있게 되면 시공간이 출렁인다고 생각했다. 이것을 중력파라고 한다. 하지만 아인슈타인은 중력파의 효과가 너무나 작아 실제로 관측되는 일은 결코 없을 것이라고 예측했다. 또한 중력이 엄청 큰 블랙홀도 이론상으로나 존재할 것으로 생각했다. 슈바르츠실트가 빛조차 빠져 나올 수 없는 천체의 반지름(슈바르츠실트 반지름)을 계산하고, 오펜하이머가 별의 일생을 연구하면서 중력 붕괴를 일으키면 빛도 빠져 나올 수 없는 천체가 된다는 것을 증명했어도 아인슈타인은 이런 천체를 믿지 않았다.

이런 천체는 1967년 미국의 물리학자 존 아치볼드 휠러에 의해 '블랙홀'이라고 이름이 붙여졌다. 그런데 2016년 2월 11일, 미국의 레이저 간섭계 중력파 관측소(LIGO, 라이고)에서 중력파를 검출하는 데 성공했다고 발표했다. 2015년 9월 14일 관측소에서 감지한 신호가 아인슈타인이 관측할 수 없을 것이라고 예측한 중력파임이 판명된 것이다. 1974년 미국의 물리학자 러셀 앨런 헐스와 조셉 후턴 테일러 주니어가 중성자별 쌍성을 관측하여 중력파가 존재한다는 간접적인 증거를 보여 1993년 노벨 물리학상을 수상했다.

그로부터 세계적인 과학자들이 40년이 넘게 노력한 결과 마침내 중력파를 관측함으로써 우주에 대한 이해를 넓히고 우주 탄생의 비밀에 한 발 더 다가갈 수 있게 되었다. 이로써 100년 전 아인슈타인의 두 가지 예측은 빗나가고 일반상대성이론의 위상은 더욱 확고해졌다.

일반상대성이론은 특수상대성이론에서 밝힌 것처럼 특수한 상황이 아니라 일반적인 우주의 모습을 설명하고 있다. 물체가 있으면 중력이 있고 중력은 시공간을 일그러지게 한다. 일그러진 시공간을 지나는 빛은 휘어지고 시간은 느려진다. 상대성이론은 시간과 공간의 관계, 질량과 에너지의 관계, 중력과 가속도의 관계, 그리고 빛의 수수께끼를 푼 인류 최대의 성과라고 할 수 있다. 탄생한 지 100년이 지난 지금, 상대성이론은 양자역학과 함께 물리학의 한 축의 역할만 하는 것이 아니다. 철학, 문화, 정치, 경제, 기술 등 여러 분야에서 생각의 틀을 바꾸고 있다.