실수 전체의 집합에서 보지 말고 (0,1)에서만 봐도 됩니다.( R ~ (0,1)임은 알고 있으므로...) 그리고 유리수집합(Q)은 가부번집합(denumerable sets)이고 실수집합(R)은 비가부번집합(nondenumerable sets)입니다. 그러므로 사이에 있는 무리수의 집합이 가부번집합일 수는 없습니다.(가부번집합의 유한합집합은 역시 가부번집합이므로...) 즉 우리는 무리수의 집합이 비가부번집합임을 증명하기보다 실수의 집합이 비가부번집합임을 증명하면 됩니다. 이것을 증명해 봅시다.
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먼저 0<x<1 인 모든 x를 무한소수의 표현으로 나타냅니다. 예를 들어 √2인 경우는 1.41421.... 으로 나타내고 0.25의 경우는 0.2499.... 의 형태로 나타냅니다. 그러면 모든 x는 오직 하나의 소수형태로 나타나게 됩니다. 이 때 소수의 형태로 나타난 임의의 두 수의 소숫점이하 한자리라도 다르다면 두 수는 다른 수입니다.
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귀류법으로 증명합시다. 실수의 집합이 가부번집합이라고 가정하면 (0,1)은 자연수의 집합과 1-1 대응관계가 성립합니다.( N ~ (0,1) ) (0,1)의 각 원소에 순서를 정하고 함수를 대응시킵니다.
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f(1) = 0 . a_11 a_12 a_13 ...
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f(2) = 0 . a_21 a_22 a_23 ...
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f(3) = 0 . a_31 a_32 a_33 ...
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f(k) = 0 . a_k1 a_k2 a_k3 ...
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(0 <= a_kj <= 9 인 정수)
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여기서 f(k)의 k번째 원소만을 선택하여 z∈(0,1) 를 다음과 같은 기준에 의해서 선택합니다. a_kk ≠3 이면 z_k = 3 으로 하고 a_kk = 3 이면 z_k = 1 로 합니다. 그러면 z_1 ≠a_11 이므로 z_1 ≠f(1) 이고, z_2 ≠a_22 이므로 z_2 ≠f(2), ... 입니다. 그러므로 z는 f(N) = (0,1) 의 원소가 아닙니다. 이것은 모순입니다. 그러므로 실수의 집합이 가부번집합이라는 가정이 잘못된 것입니다. 그러므로 실수의 집합은 비가부번집합이고 무리수의 집합 역시 비가부번집합이 됩니다.
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좀 더 자세한 증명과정을 원하시면 집합론에 관련된 책을 찾아보시면 도움이 되실것 같습니다.
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