수학10 수학 고수님들!!! 갈켜주세요ㅠ

[ⓙⓗ-48]

모르는 문제가 좀 많아서요;

부탁드립니다.-_-;;

1)a,b,c가 0이 아닌 정수일때 a^2+b^2=c^2 이면 a,b,c중에서 적어도 하나는 3의 배수임을 증명하여라.

a,b,c모두 3의 배수가 아니라고 가정하고 결과에 모순됨을 보여서 증명하려고 했는데요..
3m+1 이랑 3n+2 로 대입해서 하려고 하니 복잡하고 막히더라고요;
더 쉽게 푸는 방법이나 그냥 귀류법으로는 증명 할 수 있는 방법 없나요..?

2)철수와 영희가 어느 편의점에서 일자리를 구하였다. 철수는 3일간 일하고 하루를 쉬고, 영희는 토요일과 일요일만을 쉬기로 하고 두 사람 모두 어느 월요일에 처음 출근하였다.
420일 동안 두 명 모두 쉬는 날은 몇 일인가?

그냥 요 문제는 4와 6의 최소공배수 12 랑 4와 7의 최소공배수 28을 각각 420으로 나눠서 더하니까 35+15=50 이 나오길래 50일 이라고 했는데 답지엔 30일이라고 되어있어서;;
답지엔 그냥 4와 7의 최소공배수만 따졌던데..
제 풀이에 이상있는 것 좀 갈켜주세요;(내공부족--;)

3)정수 a와 b가 서로소이면 2a+3b와 a+2b도 서로소임을 증명하여라.

이 문제는;; 아예 어떻게 접근해야 하는 지도 모르겠고요..^^;

4)(a-2)⊙(b-2)=a+b-2 에서 연산 ⊙에 대한 1의 역원을 구하여라.

이것도 답이랑 틀린데 왜 틀린지 모르겠어서 -_-;........우선 제가 푼 걸 보여드리면
(a-2)⊙([e+2]-2)를 정리하면
a+[e+2]-2=a
e=0 ..
1⊙([x+2]-2)=0
(3-2)⊙([x+2]-2)=0 으로 고쳐쓰면
3+x+2-2=0
x=-3..
근데 답에는 -5 라고..;;;;

아직 내공이 부족한 관계로; 풀이도 자세하게 갈켜주심 ㄳ

[비는아픔]

1. 이게 도움이 될겁니다. 모든 원시적인 피타고라스 수는 다음과 같은 꼴입니다. a = (u^2) -(v^2), b = 2uv, c = (u^2) + (v^2) (원시적이라는 말은 세 수의 최대공약수가 1이라는 뜻입니다.)

[비는아픔]

2. 일주일이 7일이니 우선은 4와 7의 최소공배수를 따져줘야겠죠. 4와 6의 최소공배수를 따진다는 말은, 영희가 처음 토요일을 쉬고 그다음 금요일을 쉰다는 얘기인데 이는 문제 조건과 어긋나죠. 다시 생각해보세요^^;

[비는아픔]

3. 이게 도움이 될겁니다. 정수 a, b가 서로소인것과 ax+by=1을 만족하는 정수 x, y가 존재한다는 것은 필요충분조건입니다. 이건 정수론적 풀이고요, 고등학교 이하 수준으로는 대우를 이용하여 증명하는게 편하겠죠;

[비는아픔]

4. 항등원의 정의를 잘 생각해보세요. a⊙e = a 로 놓고 풀어야 옳겠죠? (a-2)⊙ e = a-2에서, e=b-2이므로 b=2+e, 그러므로 a+e = a-2이고 e=-2이죠...

[atommath]

1. 정수를 제곱하여 3으로 나눈 나머지는 0또는 1 만 존재 a^2 ,b^2 모두 3의 배수가 아니라고 하면 나머지는 2이어야 한다. 그러면 c는 존재할 수 없네요. 따라서 적어도 하나는 3의 배수여야 하네요.

[ⓙⓗ-48]

두 분 정말 감사합니다^^; 4번에서 연산⊙ 뒤에 바로 e 라고 놓지 않은 것이 문제였군요; atommath 님이 정수를 제곱해서 3으로 나눈 나머지는 1과 0 밖에 없다고 쓰신것 보고'앗! 이런..' 하하^^;; 암튼 ㄳ

[비는아픔]

아,, 4만 그런줄알았더니 3도 그렇군요 ; 또 그런게 있나요? 제곱했을때 나머지 두세가지 정도만 나오는거...