나름대로 아이디어를 가지고 풀었는데, 게산할때마다, 값이 다르게 나오더군요.
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게산력이 뛰어나신 분이 한번 게산해서 답을 올려주시기 바랍니다.
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한변의 길이가 1인 정오각형의 넓이를 S라고 합시다.
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그리고 정 12면체의 위면과 아래면 까지의 높이를 H라면, 정 12면체의 부피는
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밑면이 S이고, 높이가 H/2인 오각뿔 12개를 합친 부피라고 할수 있지요.
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그러면 정 12면체의 부피는 2SH 가 되네요.
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먼저 S를 구하기 위해 한변의 길이가 1인 정오각형 ABCDE를 그리고 (그림은 각자 그려보기 바랍니다) 그러면 대각선 AC의 길이는 (1+root5)/2인 것은 모두 아실 거고,A에서 변 BC에 수선을 내려 그 길이를 구하면 S는 쉽게 나오겠지요, 이것도 복잡한 값이 나옵니다.
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먼저 수선의 길이를 a라고 합시다. 그리고 정 12면체의 위면과 아래면을 정확하게 반으로 잘라서(부연 설명하면 윗면의 한꼭지점에서 대변에 수선 아래면도 같이 잘라서 앞에서 보면
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6각형의 도형이 나오겠지요. 윗변의 길이 a로 해서 aa 1 aa1(첫번째 a는 윗변의길이, 네번째
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a는 아래변 길이) 가 될것이고 a와 a 의 각은 정12면체의 이웃한 면끼리 이루는 각 (x 라고 정하죠) a와 1 사이의 각은 한면과 면에 이웃한 모서리가 이루는 각 (y라고 정하죠)
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그러면 H는 a*sinx + siny 가 되네요.
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그러면 x와 y를 구하기 위해 삼각뿔 V-ABC ( VA=VB=VC=1 이고, AB=BC=CA=(1+root5)/2 )를 그려보면 됩니다. 그러면 x는 면 VAB와 면 VBC가 이루는 각이고, y는 면 VAB와 변 VC가 이루는 각이 되지요, 그림을 그리고 필요한 몇가지 길이를 구한다음 코사인 제2 법칙을 사용하면
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cosx 와 cosy를 게산 할수 있지요. 여기서 sinx와 siny를 구하면 H를 구하는데, 이 게산도 상당히 복잡하게 되더군요. 그래서 S와 H를 대입하여 게산하는데 이 게산만 시험지 한두장 분량이 되더군요. 나중에 이중근호가 모두 풀리므로 중간에 2중근호 나온다고 해도 그대로 사용하면 됩니다. 그런데 몇번 해봣는데 할때마다 게산이 자꾸 틀리게 나오네요.
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게산이 어디서 틀린지 잘 찿지도 못하겠더군요, 게산력이 아주 자신잇는 분이 한번 정확하게 게산해주시기 바랍니다.
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