미분과 적분 부분적분법, 치환적분법

[텅빈머리]

(3) ∫cos²θdθ 는?

책에는 부분적분법으로 풀어서 답이 (sin2θ)/4 + θ/2 + C가 나왔습니다.

그런데 심심해서 치환적분법으로 풀어봤는데,


[풀이과정]

x=cosθ라 하면, dx/dθ = -sinθ, dθ = -dx/sinθ ...(1)

따라서,
(준식) = ∫(cosθ)²(dθ) ← (1)을 대입하면

= -∫x²(dx/sinθ)

= -(1/sinθ)∫x²dx (x에 대해서 sinθ는 상수이므로 인테그랄 밖으로...)

= -(1/sinθ)*(x³/3) + C

= -cos³θ/3sinθ + C

보시다시피 치환적분법으로 푼 답이 책에 나온 답이랑 다릅니다.

도대체 어떻게 된거죠? 치환적분법으로 풀면 안되나요? 안되면 이유는 뭐에요?



또다른 질문

∫√(1-x²)*dx는 치환적분법으로 풀 수 있습니까? 이것도 답이 다르게 나오는데요?

[김민우]

문제점은 θ를 던져놓은데 있습니다. θ 는 x와는 관련없는 수 같지만 x=cosθ라는 관계가 있으므로 x가 변하면 θ 도 변하지요. 그러므로 θ 는 x와 관련된 변수입니다. 제 생각에는 그 상황에서 1/sinθ를 x로 풀어내기는 쉽지 않을 듯 하군요.

[김민우]

저같은 경우에는 cos²θ를 적분할때에는 반각공식을 이용해서 (1+cos2θ)/2로 고친 뒤에 적분하지요. 그게 훨씬 편합니다.