@수학쟁이™제가 어제 계속 밖이라서 재밌는 문젠데 풀이를 적을수가 없어서요... 아쉽네요... 더군다나 써야할것도 많고 해서 그냥 간략한 아이디어들 몇가지만 설명하겠습니다.
일단 저 P'이 최소가 된다는 것은 구의 중심에서 각 원의 중심까지의 벡터가 길이가 같고 반대방향이기에 OP, OQ와 OR을 각각 이 중심까지의 벡터와 원 위의 벡터로 분해하여 계산하면 원(즉, 성분분해한 에센셜한 원) P가 R과 최대한 가까워질 때 주어진 값이 최소라는 이유를 얻을 수가있습니다.(그래야 원위에서 두 정사역 벡터가 이루는 값이 최소이기에) 그 뒤에 계산들은 위에서 깔끔하게 해주셨구요.
@수학쟁이™다른 방법은 해석학적인 접근인데 사실 풀이의 근본이 로테이션이라 좋은 풀이라고 보긴 힘들것 갇네요. X=(x+₩sqrt{3}z)/2, Y=y, Z=(₩sqrt{3}x-z)/2라고 놓으면 이 변환은 등장변환이기에 거리를 보존시키고, 또한 원래생각하던 두 원이 X=₩pm3/2로 변하기에 원위에서 P의 좌표를 삼각함수로 재매개화하고 반지름이 ₩sqrt{11}인 구와의 교점을 구하는 식으로 값을 구하는것이 가능해보입니다. 사실 이건 구상만해보고 전혀 계산하지 않았지만, 계산이 충분히 깔끔해지기에 시도해볼만하지 싶습니다. 다시 계산해보니 너무 복잡하네요 더군다나 등장변환도 고등학교과정도 아니구요.
저는 도형성질을 이용해서 풀어봤는데 계속 81-36루트2가 나오네요. 어디서 잘못 생각한 건지 못찼겠습니다. 구의 중심에서 두 평면까지의 거리가 (루트3)/2으로 동일함을 이용하여 그림을 쉽게 바꿨습니다. 원점이 중심이고 반지름이 루트3인 구는 그대로 하고 주어진 두 평면대신 xy평면과 평행하고 원점에서 거리가 (루트3)/2 두 평면으로 바꿨고 점 P와 Q를 고정해놓고 벡터 PQ대신 벡터 OR을 시점 O를 Q로 옮겨놓고 회전시켜봤습니다.
반구라서 R의 궤적을 제한해야 하는데 구로 생각하고 제한하지 않았네요. 구일 때는 주어진 그림에서 PQ를 수학쟁이님처럼 고정한 상태에서 R이 C2의 원주를 따라 회전한다 생각할 때 지금 그림보다 약간 더 아래에 위치했을 때 두 벡터가 이루는 각이 최대가 되어 내적이 최소가 됩니다. 하지만 반구이기 때문에 지금 그림과 같은 위치에 R이 있을 때가 최대각이 되어 내적은 최솟값을 갖겠네요.
@새본익명인식으로 세워서 할 수는 있겠지만 식을 세우는 과정 자체가 매우 복잡하기도 하고 그렇게 세운 식으로 언제 최소가 될 지 찾으려면 매우 복잡하지 않을까 싶습니다. 그래서 최대한 도형의 성질을 활용해서 최대가 되는 경우를 찾은 후에 그 때의 값을 찾을 수 있는 식만 즉, 꼭 필요한 식만을 세워서 푸는 것을 택한 것입니다. 그리고 이 문제는 문제 자체가 상당히 까다롭네요.
저도 이 그림으로 했었는데 PQ대신 R을 회전시켰습니다. PQQ'가 포함된 평면과 벡터OR이 평행인 두 가지 경우가 최대일 때와 최소일 때가 될텐데 지금 새로 구하신 것은 최댓값도 최솟값도 아닌듯 합니다. 최대가 되는 경우는 R이 조금 더 앞으로 나와서 QPQ'를 포함한 평면과 평행이 되는 경우일 것이고 최소가 되는 경우는 그 반대편에 있는 경우일 것입니다. 그림으로 표현하는 솜씨가 좋으셔서 이 그림으로 보니 잘 보이네요. 반대편에 있는 경우가 붉은 색으로 표시하신 범위를 벗어난다면 R이 뒤쪽 붉은색 끝점일 때 즉, 수학쟁이님이 처음 구하신 결과가 올바른 결과가 될 것이고, 벗어나지 않는다면 처음 제가 구한 값이 맞겠네요
@수학쟁이™클포 모 샘이 올리셨는 데 아마도 풀어보신듯 한 문제가 아닌가 합니다.(추측) 열심히 활동하시는 모습에 많이 자극 받습니다. 많은 분들이 여러가지 이유로 해서 열심히 하시다 조용히 잠수타신 것을 봅니다. 샘도 학생이 너무 많아서 도저히 시간이 없는 등^^ 이 아니라면 오래 뵙으면 합니다. ~~
첫댓글 졸 어렵네요. 죄송. .출처가?
답이 25인거 같은데요.
확신은 없지만 풀이는 올려봅니다.
몇분내에 풀수 있는 문제는 아닌듯합니다 ^^
OQ랑 오큐프라임이 같은거나 오피랑 오피프라인이같다는거 기벡 어디서 배우는거에요????
@새본익명인 구의 중심에서 구의 표면까지는 반지름으로 항상 일정하겠지요.
답이 틀렸다고 생각하진 않지만 조금 부족해보이는 부분은. 식 전개하실 때 두번째 텀은 최대 첫번째텀은 최소로 하여 P'을 찾으신것 같은데 P'을 저렇게 픽싱하면 앞에것이 최소가된다는 보장을 하긴 어려워보입니다.
물론 정사영하고 여러가지 이유들에 의해서 P'이 저 점일 수 밖에 없긴한데 P'을 설명하기에 부족해보입니다.
@blacky 맞습니다. 나중에 역으로 확인을 해보니 앞쪽이 최소가 되는건 확인했습니다만..좋은풀이라고 보기는 어렵고 설득력도 부족합니다. 시간날때 다시 생각해보려합니다.
@수학쟁이™ 제가 어제 계속 밖이라서 재밌는 문젠데 풀이를 적을수가 없어서요... 아쉽네요... 더군다나 써야할것도 많고 해서 그냥 간략한 아이디어들 몇가지만 설명하겠습니다.
일단 저 P'이 최소가 된다는 것은 구의 중심에서 각 원의 중심까지의 벡터가 길이가 같고 반대방향이기에 OP, OQ와 OR을 각각 이 중심까지의 벡터와 원 위의 벡터로 분해하여 계산하면 원(즉, 성분분해한 에센셜한 원) P가 R과 최대한 가까워질 때 주어진 값이 최소라는 이유를 얻을 수가있습니다.(그래야 원위에서 두 정사역 벡터가 이루는 값이 최소이기에) 그 뒤에 계산들은 위에서 깔끔하게 해주셨구요.
@수학쟁이™ 다른 방법은 해석학적인 접근인데 사실 풀이의 근본이 로테이션이라 좋은 풀이라고 보긴 힘들것 갇네요. X=(x+₩sqrt{3}z)/2, Y=y, Z=(₩sqrt{3}x-z)/2라고 놓으면 이 변환은 등장변환이기에 거리를 보존시키고, 또한 원래생각하던 두 원이 X=₩pm3/2로 변하기에 원위에서 P의 좌표를 삼각함수로 재매개화하고 반지름이 ₩sqrt{11}인 구와의 교점을 구하는 식으로 값을 구하는것이 가능해보입니다. 사실 이건 구상만해보고 전혀 계산하지 않았지만, 계산이 충분히 깔끔해지기에 시도해볼만하지 싶습니다. 다시 계산해보니 너무 복잡하네요 더군다나 등장변환도 고등학교과정도 아니구요.
@대전er 댓글 봤습니다^^
위에 풀어놓은 제 풀이가 틀린거 같습니다.
다시 풀어놓은 거 올릴테니 검토 부탁드립니다.
저는 도형성질을 이용해서 풀어봤는데 계속 81-36루트2가 나오네요. 어디서 잘못 생각한 건지 못찼겠습니다.
구의 중심에서 두 평면까지의 거리가 (루트3)/2으로 동일함을 이용하여 그림을 쉽게 바꿨습니다. 원점이 중심이고 반지름이 루트3인 구는 그대로 하고 주어진 두 평면대신 xy평면과 평행하고 원점에서 거리가 (루트3)/2 두 평면으로 바꿨고 점 P와 Q를 고정해놓고 벡터 PQ대신 벡터 OR을 시점 O를 Q로 옮겨놓고 회전시켜봤습니다.
xy평면과 주어진 평면이 평행하지가 않습니다. 이면각의 크기가 60도라는 사실은 적용하셨는지요? 그방법으로 시도했다가 복잡하고 답하는데 실패했습니다. 이상하게 무리수로 나오더군요 ..
도형의 성질을 적용해서 풀이하시면 한번 올려주세요^^
그 풀이를 혹시 알려주실수 있으신가요??
@수학쟁이™ 수학쟁이님 풀이는 피가 저 점일때가 최소일 것이라고 푸신거같아서....
@새본익명인 벡터의 크기가 동일하기때문에 p는 저위치여야 각의 크기가 최소여서 내적의 최댓값을 갖는 위치는 맞습니다.
반구라서 R의 궤적을 제한해야 하는데 구로 생각하고 제한하지 않았네요. 구일 때는 주어진 그림에서 PQ를 수학쟁이님처럼 고정한 상태에서 R이 C2의 원주를 따라 회전한다 생각할 때 지금 그림보다 약간 더 아래에 위치했을 때 두 벡터가 이루는 각이 최대가 되어 내적이 최소가 됩니다. 하지만 반구이기 때문에 지금 그림과 같은 위치에 R이 있을 때가 최대각이 되어 내적은 최솟값을 갖겠네요.
그럼 식으론안되는문제인건가요?
전 왜 수학이 늘지않을까요ㅜ
@새본익명인 식으로 세워서 할 수는 있겠지만 식을 세우는 과정 자체가 매우 복잡하기도 하고 그렇게 세운 식으로 언제 최소가 될 지 찾으려면 매우 복잡하지 않을까 싶습니다. 그래서 최대한 도형의 성질을 활용해서 최대가 되는 경우를 찾은 후에 그 때의 값을 찾을 수 있는 식만 즉, 꼭 필요한 식만을 세워서 푸는 것을 택한 것입니다. 그리고 이 문제는 문제 자체가 상당히 까다롭네요.
@성지훈 성 선생님 일하시능 학원가서 제자로 배우고싶네요
위에 풀어놓은 제 풀이가 틀린듯합니다. 다시 풀이 올리니 선생님들 검토 부탁드립니다.
원기둥을 위에서 본그림에서 PQ그림자를 OR과 평행인 상태를 기준으로 움직여서 최소값이 되는 위치를 생각해봤습니다.
20년 이상 강의 하면서 손에 꼽게 무리수를 둔 문제가 아닌가 싶습니다. 출처가 궁금합니다.
수학쟁이님 저좀 많이가르쳐주세요ㅜㅜ 수학이 안늘어요...ㅜ 출처는 모인강강사의 실전모의고사에서 발췌한것입니다
@새본익명인 저도 실력이 미천한지라 가르쳐드릴께 있을지 의문입니다.ㅎㅎ
@수학쟁이™ 수학쟁이님이나 성지훈님 밑에들어가서 몇년간 처음부터 다시 학원강의 배우는게 꿈이에요
@새본익명인 스스로 부족하다고 느끼시니 노력하시면 금방 탑이 되시겠네요. ^^
@대전er 아닙니다..어제도 오늘도 사실 확신이 없네요.
4a^2값을 물어봤으니 아마도 (루트얼마)/2 꼴이 답일듯도 한데....
여러 선생님들의 검토를 들어보고 싶어서요 ㅎㅎ
저도 이 그림으로 했었는데 PQ대신 R을 회전시켰습니다. PQQ'가 포함된 평면과 벡터OR이 평행인 두 가지 경우가 최대일 때와 최소일 때가 될텐데 지금 새로 구하신 것은 최댓값도 최솟값도 아닌듯 합니다. 최대가 되는 경우는 R이 조금 더 앞으로 나와서 QPQ'를 포함한 평면과 평행이 되는 경우일 것이고 최소가 되는 경우는 그 반대편에 있는 경우일 것입니다. 그림으로 표현하는 솜씨가 좋으셔서 이 그림으로 보니 잘 보이네요. 반대편에 있는 경우가 붉은 색으로 표시하신 범위를 벗어난다면 R이 뒤쪽 붉은색 끝점일 때 즉, 수학쟁이님이 처음 구하신 결과가 올바른 결과가 될 것이고, 벗어나지 않는다면 처음 제가 구한 값이 맞겠네요
@성지훈 그런가요? ^^
예전에는 처음에 해결못하는 문제도 끈기있게 도전하면 다 풀었는데..뇌세포가 줄어드는 나이가 되었는지 아님 끈기가 부족해졌는지..심히 어렵고 답안도 확신이 안서네요 ㅎㅎ
해설 최종완성본입니다. 맨처음에 풀었던 방법은 답은 맞았는데 당위성이 부족했네요...
이건 정답이라고 확신이 드네요~
b와 d의 내적이 최소가 되는 경우는 서로 평행이면서 방향이 반대인 경우가 아닐까요? 그 때의 내적은 -3루트2가 되어 -4보다 더 작습니다.
@성지훈 b의크기가 루트8로 고정되므로 그런 상황은 안나옵니다.
@수학쟁이™ b의 크기가 루트8로 고정인건 맞는데 회전시 지금 그림에서의 상황보다는 b와 d가 평행이 되어 180도를 이룰 때가 내적이 최소가 되지 않나 하는 겁니다. 2루트2*3/2*cos파이=-3루트2 이렇게요.
@성지훈 b벡터의 시점 H가 검정색원주에서 움직이기때문에 루트8의 크기를 가지면서 최솟값의 상황에는 d벡터와 평행하고 방향이 반대인 상황은 안나오겠죠^^
최댓값 상황은 평행하고 방향이 같을수 있겠네요.
@수학쟁이™ 아 검정색으로 표시하신 아래쪽 원에서 제한 되는 걸 고려하지 않았네요. 빨간 부분만 제한범위로 착각했어요. 이제 이해했습니다. 감사합니다~^^
타사이트 샘 풀이 올려봅니다.
제가 그림으로 표현한것을 식으로 나타내면 똑같은 식이 되겠군요^^
@수학쟁이™ 클포 모 샘이 올리셨는 데 아마도 풀어보신듯 한 문제가 아닌가 합니다.(추측)
열심히 활동하시는 모습에 많이 자극 받습니다.
많은 분들이 여러가지 이유로 해서 열심히 하시다 조용히 잠수타신 것을
봅니다. 샘도 학생이 너무 많아서 도저히 시간이 없는 등^^
이 아니라면 오래 뵙으면 합니다. ~~
@빙고 20년념게 학원생활을 하다보니 지겨운것은 아니지만 제스스로 너무 연구도 안하고 나태해지는 듯해서..
그나마 이곳에 올라오는 질문도 한번씩 풀어보고 올리는게 조금은 액센트가 되는듯 합니다. ^^
이곳에 온지 얼마 안된 신참이지만 열심히 노력하겠습니다. 자주뵈요~