마방진의 원리

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마방진이란 무엇인가?

마방진이란 아래 그림과 같이 가로, 세로, 및 대각선에 있는 각각의 합이 같도록 배열한 것을 말한다. 마방진은 가로, 세로 3×3 형의 방진에서 4×4, 5×5, 6×6 …과 같이 여러 가지 형태로 만들 수 있다. 

 

 먼저, 빈칸이 9개 있는 정사각형을 만들고(그림 A), 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 비스듬히 1, 2, 3, … 9까지의 숫자를 그림B와 같이 쓰고, 정사각형의 바깥쪽에 있는 각 숫자를 그 줄에서 가장 먼 자리에 있는 칸으로 옮겨쓴다. 즉, 1은 9 바로 위에, 3은 7옆에 그리고 9 는 5 위에 오도록 한다

 4×4 형은 가로, 세로 4줄로 된 칸을 만들고 그림처럼 대각선 2개를 긋는다. 그리고 각 칸마다 A, B, C…와 같이 이름을 붙인다. 먼저, 1을 A칸에 둔다.그러나 대각선이 있기 때문에 쓰지 않고 그대로 둔 채 2를 다음 B칸에 3을 C칸에 써 넣는다. 6, 7은 F, G칸에 들어가야 하지만 대각선이 있기 때문에 그만 두고, H에 8을 넣고, I에 9를 넣는다. J, K에는 10, 11이 들고, N, O에 14, 15를 넣는다.

 다음은 대각선상에 있는 칸을 메워 간다. P에 1을 A에 16을 둔다. 이어서 왼쪽에서 오른쪽으로 15, 14, 13 …과 같이 거꾸로 D에 13을 F, G, J, K, M에 각각 11, 10, 7, 6, 4를 채우면 4×4 형의 마방진은 완성된다.
 

 

 5×5 형의 마방진도 3×3 형의 같은 방법으로 만들 수 있다. 이런 식으로 7차, 9차의 마방진도 만들 수 있다.

학생들 스스로 규칙을 찾아 확인해 봅시다.

마방진의 '方'자는 정사각형을 나타내는 말이다.

정사각형에 오른쪽과 같이 1부터 9까지의 수를 대입하면 가로,세로, 대각선의 합이 모두 15로 같게 된다.

 옛날 사람들은 이와 같은 것에 신비로움을 느껴 때로는 마귀를 쫓는 부적으로도 사용하게 되었고, 서양에서도 매직 스퀘어(Magic Square)란 용어가 사용되었다.

마방진에 쓰이는 숫자는 중복하여 쓰면 안 되고, 자연수를 꼭 한 번씩만 써야 한다. 이미 완성된 마방진을 보면 간단한 것 같으나 실제로 시도해 보면 매우 어렵다.
 

 

 마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕(禹王)이 강의 치수 공사(治水工事)를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무늬를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 많은 사람들이 연구한 결과 매우 큰 수의 마방진까지도 만들어 내었다.

일반적으로 홀수 개의 마방진은 다음과 같은 규칙으로 만들 수 있다. 화살표와 같이 진행하여 작성한다.

5×5의 마방진을 예로 알아본다
 

 마방진이란 일반적으로 1에서 n²까지의 자연수를 n행(가로줄), n열(세로줄)이 정사각형 모양으로 중복없이 배열하여 가로, 세로, 대각선 방향의 선에 따른 수의 합이 전부 같게 되도록 만든 것을 말한다. 여기서 정사각형의 한 변에 배열된 자연수의 개수 n에 방향의 선에 따른 수의 합은 3방진은 15, 4 방진은 34, 5방진은 65, …, n방진은 n(n²+1) / 2 이다.

우리나라에도 30세에 진사 시험에 수석 합격하고, 그 후 부제학, 이조참판, 우의정, 좌의정, 대제학 그리고 마침내는 영의정 등 왕조의 주요 직책을 모두 거쳤던 수학자 최석정(1646∼1715)이 다음 그림과 같은 마방진 비슷한 것을 창안하여 그의 수학 저서인 「구수략」(九數略)에 실었다.

1에서 30까지의 수를 한 번씩만 사용하여 만든 마방진으로, 각 육각형의 수의 합은 같다.

           지수귀문도 ⇒  

 마방진(魔方陳)이란 가로, 세로, 대각선 위의 합이 모두 같아지도록 수를 나열한 것이다. 여기서, 방(方)은 정사각형, 진(陳)은 나열한다는 뜻이다. 마방진은 마법진이라고도 하는데, 이것은 영어의 magic square를 번역한 말이다.

기원전 5000년경 하(전설 속의 중국의 고대 왕국)의 우왕이 계속되는 황하의 범람을 막기위해 제방 공사를 시작할 때, 한 마리의 거북이 흘러 내려왔는데 그 거북의 등에 마방진이 그려져 있었다고 한다. 그 거북이 흘러 내려온 이후 홍수가 그쳤다는 이야기가 전해지는데, 이것이 마방진에 관한 가장 오래 된 이야기이다.

그 후, 마방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페르시아, 아라비아의 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다.

16세기에는 독일인 뒤러의 동판화 '멜랑콜리아'에 마방진이 그려진 것이 동기가 되어 전 유럽에서 유행하게 되었다. 당시의 유럽에는 신비주의라 불리는 사상이 있어, 그 사상에서 기인한 점성술이라든가 연금술이 현재의 과학과도 같이 연구되었다.

마방진은 정사각형 외에도 여러 가지 유형을 생각할 수 있다.

오른쪽의 마방진은 원주 8원진이라 불리는 것으로서, 1부터 33까지의 수를 그림과 같이 배치하면, 4개의 동심원 위의 수의 합이 140이 된다. 여기에 중심의 1을 더하면 141이 되고, 4개의 지름 위의 수의 합도 141이 된다.

또, 서로 이웃하고 있는 반지름 위의 수의 합도 141이 된다.
 

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