우산을든투자자

[박대선]

우산을든투자자을 읽었다. 번역의 문제인지 초반을 읽으며 계속 읽어야 하는지 생각했다. 하지만 서평을 조사하니 나쁘지 않아서 계속 읽었다. 세이프헤이븐을 그대로 직역한 것은 번역자의 선택이다. 하지만 독자를 생각했다면 최소한 원어인 Safe haven을 병기했다면 더 좋았을 것이다. 자주 언급되는 이 단어를 구글없이 이해하는 것을 기대했기에 서평에 어렵다는 내용이 포함되는 것이다. 참고로 이 단어는 안전한 장소를 뜻하고 성소를 의미하기도 한다. 한국사시간에 배운 삼한시대 하늘에 제사를 지내던 신성한 지역 소도와 비슷한 개념이라고 생각하면 될 듯하다. 죄인도 성지인 이 곳으로 피하면 체포하거나 처벌하지 않았다. 56

"가장 빠른 경사면 형태"라는 개념은 물리학에서 최단 시간 경로 또는 최속 하강 경로와 관련이 있다. 이는 물체가 특정 지점에서 다른 지점으로 이동할 때, 시간을 최소화하는 경로를 의미한다. 이 문제는 브라케이스의 문제(Brachistochrone problem)로 알려져 있다. 이는 물체가 중력에 의해 경사면을 따라 미끄러질 때, 가장 빠른 경로는 어떤 형태일까?라는 문제다. 이 문제에서의 답은 원호(arc of a circle)다. 즉, 물체가 두 지점 사이를 중력의 영향을 받으며 가장 빨리 이동할 수 있는 경로는 직선이 아니라, 특정 반지름을 가진 원의 호라는 의미다. 그 이유는; 
- 원호는 중력의 영향을 받을 때 속도가 점진적으로 증가하도록 하여, 물체가 빠르게 가속될 수 있게 한다.
- 경사면이 일정하게 변화하기 때문에 물체가 움직이는 동안 속도가 계속해서 증가하고, 최단 시간 내에 도달할 수 있다.
이 문제는 가속도가 중요하기에 속도와의 관계 특성상 미적분학을 통해 해결할 수 있으며, 물리학적 원리는 최소 시간 원리 또는 하강 시간 최소화 원리에 근거한다. 57

베르누이는 그의 유명한 베르누이의 법칙은 물론 한계효용체감의 법칙의 근간이 되는 에몰루멘툼 미디움에 대한 의견에서 같은 손실도 자본크기에 따라 리스크가 다르다고 주장한다. 즉 자본의 로그값에 비례한다. 100만불을 가진 사람과 10만불을 가진사람에게 1만불의 손실은 로그`100이 10이고 로그 10은 1이기에 1%와 10%의 크기로 리스크가 다르다. 부자는 보다 더 리스크를 부담할 수있고 대부분의 경우 리스크가 크면 리턴도 비례하기에 부익부라는 선순환이 발생하게 된다. 66

베르누이 기대값은 확률 이론에서 중요한 개념으로, 베르누이 시행(Bernoulli trial)에서의 기대값을 의미한다. 베르누이 시행은 두 가지 가능한 결과(성공과 실패)만 있는 실험이나 과정을 의미한다. 각 시행에 대해 성공할 확률을 ( p )라고 하고, 실패할 확률은 ( 1 - p )다. 예를 들어, 동전을 던질 때 앞면(성공)이 나올 확률이 ( p )이고, 뒷면(실패)이 나올 확률이 ( 1 - p )일 때 동전을 한 번 던지는 것이 베르누이 시행이 된다. 베르누이 변수 (Bernoulli Random Variable):
베르누이 시행에서의 결과는 이진 값(0 또는 1)로 나타낼 수 있다. 성공을 1로, 실패를 0으로 나타내면 베르누이 확률 변수 ( X )는 다음과 같은 분포를 가진다.
- ( P(X = 1) = p ) (성공 확률)
- ( P(X = 0) = 1 - p ) (실패 확률)

베르누이 확률 변수의 기대값 (Expected Value)은 다음과 같이 계산된다: [E(X) = 1 * P(X = 1) + 0 * P(X = 0)]
여기서 ( P(X = 1) = p )이고, ( P(X = 0) = 1 - p )이므로, [E(X) = 1 * p + 0 * (1 - p) = p]
따라서 베르누이 확률 변수의 기대값은 그 성공 확률 ( p )와 같다.

베르누이 시행에서의 기대값 ( p )는 한 번의 시행에서 성공할 평균적인 확률을 나타낸다. 예를 들어, 동전을 던지는 경우 성공(앞면)이 나올 기대값은 ( p = 0.5 )다. 여러 번의 베르누이 시행을 한 결과의 합은 이항 분포를 따른다. 이때 여러 시행의 기대값은 각 시행의 기대값을 합한 값으로 계산할 수 있다. 실제 투자에서 기대값은 에몰루멘툼 미디움으로 계산할 수있는데 각 시행의 성공을 로그로한 평균을 뜻한다. 쉽게 기하평균을 내는 것이 편하다. 72 만약 악마가 나타나서 주사위를 던저 1이 나오면 전재산의 50%를 주고 6이 나오면 50%를 가져가며 나머지 2-5의 경우 각각 5%를 준다고 하면 좋은 거래일까? 

답은 좋은 듯보인다. 산술평균이 3.3%이익이니 만약 300번을 한다면 1.03^300이 19천배가 되기 때문이다. 그런데 문제는 기하평균은 1.033인 산술평균과 다르게 0.912에 불과하다. 그래서 300번을 하면 그 결과는 손실이다. 산술평균이 높은 이유는 마치 극소수의 부자가 가진 재산이 많아서 수많은 빈자에도 불구하고 평균은 높아 보이는 것과 유사하다. 쉬뢰딩거의 악마의 경우는 동시에 1-6까지의 주사위가 존재하기에 3.3%의 이익이 시행시마다 발생하지만 니체의 악마는 순차적으로 시행되기에 1.05*4*1.5*.5=0.9116296875가 되고 사칙연산은 교환법칙이 성립하기에 각 눈이 한번씩 나온다면 순서에 관계없이 기대값은 손실이다. 114

다중우주의 쉬뢰딩거는 300회의 시행결과 원금의 19,000배가 되지만 니체는 0.912^300이 0.000000000000882이므로 거의 파산수준이 된다. 그래서 버핏이 강조했듯이 원금을 잃지않는 것이 가장 중요하다. 예금이 안전하다고 사람들은 착각하는데 실제로 액면만을 따지면 틀리지않다. 현재 금리가 1%대이므로 은퇴가 30년이 남았다면 은퇴시 예금은 1.01^30=1.35이니 35%의 예금증식을 기대할 수있다. 하지만 한국을 포함한 대부분의 국가에서 중앙은행의 물가상승목표율이 2%대라는 것을 고려하면 액면가는 35%가 증가하는 동한 물가는 81%가 오르므로 확실하게 구매력이 25%가 감소한다. 

하지만 주가지수에 투자한다면(수수료가 0.02%로 저렴한 인덱스도 있다) 주가지수가 장기적으로 연평균 10%가 상승하므로 물가상승률 2%를 제외해도 실질 구매력이 8%가 증가한다. 즉 1.08^30=2.43이므로 구매력이 35%가 늘어나기에 더 오래 살고 싶을 것이다. 간단하게 10억이 있어서 예금으로 30년간 두면 구매력은 7.5억으로 감소하지만 주가지수에 투자하면 13.5억으로 증가하기에 두배에 가깝게 부유해지는 셈이다(예금 보유자에 비해 79% 더 구매가능하다). 116

중간값, 기하평균, 산술평균의 크기는 데이터 집합의 특성에 따라 달라지지만, 일반적으로 산술평균, 기하평균, 중간값의 순서로 크기가 결정된다. 그 이유는:
- 산술평균은 데이터 값들의 합을 데이터의 개수로 나눈 값이므로, 극단적인 값(이상치)에 영향을 받는다. 그래서 산술평균은 데이터의 분포가 고르게 퍼져 있지 않으면 극단적인 값에 의해 왜곡될 수 있다.
- 기하평균은 데이터를 곱한 뒤 그 루트를 취하는 방식이기 때문에 값들이 균등하게 분포하는 경우 더 정확하게 중앙값을 대표할 수 있다. 기하평균은 극단적인 값에 덜 민감하다.
- 중간값은 데이터를 정렬했을 때 가운데 위치한 값이다. 따라서 이상치에 전혀 영향을 받지 않으므로 가장 안정적인 중심값이지만, 전체 데이터의 분포를 반영하지 못할 수 있다.

대칭적인 분포의 경우 (정규분포와 비슷한 데이터), 데이터 집합: {2, 4, 6, 8, 10}
- 산술평균: ({2 + 4 + 6 + 8 + 10}/{5} = 6)
- 기하평균: (sqrt[5]{2 * 4 * 6 * 8 * 10} = 5.68)
- 중간값: 6
- 이 경우, 산술평균 = 중간값 > 기하평균.

비대칭적 분포의 경우 (편향된 데이터), 데이터 집합: {1, 2, 3, 100}
- 산술평균: ({1 + 2 + 3 + 100}/{4} = 26.5)
- 기하평균: (sqrt[4]{1 * 2 * 3 * 100} = 6.5)
- 중간값: 2.5
- 이 경우, 산술평균 > 기하평균 > 중간값. 120

상기한 니체의악마와의 게임에서 만약 전재산이 아닌 일부만 투자하면 어떻게 될까? 예를 들어 40%만 걸었다면 산술평균은 1.3%로 감소한다. 하지만 기하평균은 1.013*.4+.6=1.0052이기에 시행을 반복할 수록 결과는 커진다. 즉 1.0052^300=4.7이기에 원래 거의 0이어서 파산수준에서 거의 5배로 증가한다. 이는 켈리의법칙으로 입증되기도 했다. 124 "SPX"는 S&P 500 Index의 약어로, Standard & Poor's 500 Index를 의미한다. S&P 500은 미국 주식 시장에서 시가총액이 가장 큰 500개의 상장 기업을 포함하는 주식 시장 지수다. 이 지수는 미국 경제의 전반적인 건강과 주식 시장의 흐름을 나타내는 중요한 지표로 널리 사용된다.

6면 주사위대신 120면을 이용하여 최근 120년동안의 주가지수 등락률을 활용하면 조금 더 현실에 가까운 시행을 해볼 수있다. SPX ETF(S&P 500 지수를 추종하는 상장지수펀드 SPY등)을 사용해도 된다. 1901년부터 220년간의 연간수익률을 간단하게 5개로 구분하면 -15%이하가 10%, 0%이하가 20%, 15%이하가 30%, 30%이하가 35%, 30%초과가 나머지로 배당락을 감안하지 않은(즉 배당금을 재투자하는 경우) 기하평균은 10%다. 최근 120년을 해도 유사할 것으로 보이고 단순히 주사위가 1이 나오면 1901, 99가 나오면 1999년의 수익률을 넣음으로서 몬테카를로식으로 결과를 시행해볼 수있다. 178 실제 주식시장에서는 국채나 금 등으로 분배하는 것이 그다지 유리하지 않아서 실망했다. 299

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감사의 말 7; 나심 니콜라스 탈레브 서문 10
1부 앞선 것으로부터 21
1. 운과의 전쟁 22; 피로 쓴 글 ┃ 탐색적 베팅 ┃ 세이프 헤이븐이란 무엇인가? ┃ 거대한 딜레마 ┃ 제1원리 ┃ 부정 논법 ┃ 연역적 주사위
2. 자연의 경고 58; 스위스의 베르누이가 ┃ 상트페테르부르크 역설 ┃ 에몰루멘툼 미디움 ┃ 기하평균 ┃ 또 다른 상트페테르부르크 역설 ┃ 곡선의 오목성 ┃ 라인 ‘로그’ 폭포
3. 영겁 회귀 95; 실존적 원칙 ┃ 다중 우주 속으로 ┃ 슈뢰딩거의 악마와 함께 하는 주사위 게임(N=∞) ┃ 니체의 악마와 함께 하는 주사위 게임(N=1) ┃ 비에르고딕성이라는 꼼수 ┃ 마술인가 수학인가? ┃ 사이드 베팅 ┃ 보물의 일면

2부 뒤의 것으로부터 149
4. 분류 체계 150; 본질주의 ┃ 공통점보다는 차이점이 더 많다 ┃ 표현형 ┃ 리스크 완화의 아이러니 ┃ 유사종 ┃ 분산투자라는 도그마 ┃ 귀납적 주사위
5. 전체론 183; 시계 속 뻐꾸기 ┃ 두 눈을 모두 지키기 ┃ 임상 시험 ┃ 비용과 효과의 관계 ┃ 리셔플링 ┃ 불가지론 ┃ 공격적 방어 ┃ 좁고 깨진 창틀 ┃ 트랙 전체를 보기 ┃ 대해적
6 과감한 추측 236; 인식론 ┃ 해왕성인가, 벌컨인가? ┃ 현금이 왕이다 ┃ 흐름을 타라 ┃ 반짝이는 모든 것 ┃ 세이프 헤이븐 경계선 ┃ 해맑게 휘파람을 불며 지나는 무덤
후기: 운명을 사랑하라 276; 옮긴이의 말 296