저항 구하는거 있잖아요.
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보통 V0 를 가정하고 boundary condition 을 정한다음에
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▽^2 V = 0 으로 놓고 V 구한 다음에 E 구하고 J 구하고 I 구해서
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R = V/I 로 구하는게 일반적으로 쓰인다고 하잖아요.
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여기서 궁금한게 있습니다.
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cheng 책에서는 이때 inhomogeneous 하거나 conductivity(δ ; 시그마) 가 constant 일때만
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Laplace's equation 이 성립한다고 했습니다. 만일 시그마가 constant 가 아니면 Laplace's equation 이 does not hold(적용되지 않는다??) 한다고 했습니다. 책에는 do you know why? 라는 물음만 제시해놓고 답이 나와 있지 않더군요.
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그래서 연습문제중에 5-16번 문제를 보았더랬습니다
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5-15번은 위에 제시한 방법대로 해도 풀리는 문제이지요. 시그마가 상수니깐요
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5-16번은 시그마가 R 에 대한 함수로 나와 있습니다. 그래서 일단 제대로 풀고 났는데
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갑자기 의문이 드는겁니다.
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왜...라플라스가 성립하지 않을까???
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그래서 라플라스가 성립하기 위한 요건을 생각해 보았습니다. 다음과 같이요...
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1. E 가 conservative 하니까 curl-free 벡터이다.
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2. Curl-free 니까 scalar 함수의 gradient 형태로 나타낼 수 있기 때문에
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E = -▽V 가 되는건 때려죽여도 맞다.(Null identity 에 의해..)
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3. ▽˙E = ρ/ε 인건 절대적으로 맞는거다.(postulate 니깐) 근데 16번에서 시그마가 아무리 함수인들 ρ 는 0일테니까 ▽˙E = 0 이다. 그러니까 ▽^2 V = -ρ/ε 가 아니라 ▽^2 V = 0 인거다.
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1.2.3 중에서 틀린게 뭔가요??? 전 1-2시간을 고민했는데도 틀린데를 찾지 못하겠습디다.
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왜왜왜왜 틀린데가 없는데 시그마가 공간에 대한 함수로 주어졌다고 해서 라플라스는 쓰면 틀린답이 나오는걸까요???
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▽X(J/δ) 의 경우 0이 절대로 될수 없기 때문에 ▽^2 Ψ 는 적용될수 없는건 알겠습니다.
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하지만 V 에 대해서는 시그마가 어떠한 이유에서 라플라스 식의 적용에 영향을 미치게 되는지 그게 궁금합니다.
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고수님들 혹은 고수가 아니셔도 좋으니 아시거나 대충 감이라도 잡힌다고 생각하시는 분들의 답변 부탁드립니다. 전 감도 안오니깐요..ㅡㅡ;
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저는 이렇게 생각 했습니다. 쉽게 평행판으로 생각하고 시그마가 위치 함수라고 하면 divJ=시그마*E , 여기서 divJ는 상수, 시그마가 위치 함수기때문에 E도 위치 함수입니다. 그러면 D도 위치에 따라 달라 집이다. 그럼 p가 0이 안되겠죠.. 그러니까 시그마가 위치 함수기때문에 불연속 면이 생겨서 경계조건에 따라 경계면에서 p가 만들어 진다고 저는 이해 했습니다. 단 이런경우에는 경계면이 연속적이죠.
δ가 이미 선형적으로 증가하는 함수이고, 정전계이므로 전하보존의 법칙이 성립함에서 J가 항상 일정한게 유도되죠. 그다음 J=δE이니, E는 (δ=δ0+R*δ 형식이었죠? 아마.) E=K/δ=K/(δ0+R*δ)형태가 되니, 라플라스 방정식은 0이 되지 않음이 수식으로 보이는군요 ^^;;
특별하게 δ가 주어진다면 물론 성립하는 경우도 있을런지도 모르겠지만, constant가 아닌 이상 일반적인 함수로 나타내여지는 δ에 대하여, 라플라스식은 δ에 반비례하므로 (정전계에 한해서)..항등식인 라플라스 식은 성립하지 않는다고 보는것이 정답입니다. 답변이 되셨는지요.. ^^;;;
디지기직전님// 도전율과 유전율은 별개가 아닐거라는 생각은 해봤는데요. E*입실론 = D 보다는 저는 RC = 입실론/시그마 의 관계를 생각했었거든요. 그런데 이 식도 inhomogeneous 한 경우에는 성립하지 않기 때문에 입실론/시그마 사이의 관계는 inhomogeneous 한 경우 특별한 관계를 맺지 못할거라는 결론을 내렸습니다. 어떤가요?? Royal Roader 님// ▽˙E = ρ/ε 에 대해서는 postulate 라고 책에 나와 있는데 postulate 라 함은 가장 기본이 되고 증명의 필요 없이 무조건 맞는것으로 간주하고 증명과 논의의 시발점으로 잡는것 아닌가요?? 그게 틀리다면 전자기학 다 틀리지 않을까 하는데...postulate 정할때는 보통 제한조건을
달지 않는것으로 알 고 있습니다만... 좋은사람님//divJ=시그마*E 가 아니라 J=시그마*E 아닌가요??? divJ=시그마*E 가 어떻게 나온건지 궁금합니다. 위치에 따라 달라진다고 불연속이 되라는 법은 없을거 같습니다. 위치에 따라 다른것도 연속적으로 달라질 경우 p 는 생기지 않을듯 합니다. 그리고 여기서 D 가 불연속으로 생기는 p 는 p_s 로 surface charge density 이므로 이는 volume charge density 랑 전혀 다른 물리적 개념 아닐까 하는데요.. kicaesar 님// δ=δ0+R*δ 는 아니고 δ=δ0(1+k/R) 의 형태로 주어졌습니다. 그래도 수식으로 딱보더라도 라플라스가 0이 될 수 없는걸 알 수 있으신가요??? ㅡㅡ; 전 잘 모르겠습니다
좀 쉽게 알려주세요...^^;; J 가 상수인거, 그래서 E 는 상수랑 시그마가 곱해진거니까 시그마에 대한 함수 모양이 유지되고 결국 시그마에 대한 함수를 무한대에서 0까지 적분한거에 마이너스 취해준걸 V 로 보신다는 말씀이신지요? 한번 해봐야 되겠네요...^^; 그리고 질문에 답해주셔서 감사합니다. 딴지거는듯한 말투로 비춰졌다면 죄송하구요. 저도 생각을 대충해본건 아니라 나름대로 답글다신 분들에 대한 반론이 생겼기 때문에 나름대로 길게 쓴것이랍니다. 제 의견이 틀리다고 생각하시면 또 가르쳐 주시면 감사하겠습니다. (--)(__) 시험 잘 보세요~
전하밀도가 0이라는 데에 오류가 있는 것 같습니다. 도전율이 상수가 아니고 거리의 함수라는 얘기는 일정한 전계 내에서도 위치에 따라 전류밀도가 다르다는 얘긴데, 그러면 전하의 축적이 생기게 되고 전하밀도는 0이 아니게 된다는 게 제 생각입니다. 따라서 비선형 매질에서는 Laplace 방정식이 성립하지 않는 것 아닐까요? 제가 하수라 완전 추측성...;;;
δ가 constant가 아닌경우에, δ를 좌표의 함수 δ(x,y,z) (궂이 직교좌표계가 아니더라도 상관없죠)로 나타낼수 있으므로, J=δE에서 E=J/δ=J/δ(x,y,z)이겠죠. 이경우 δ(x,y,z)는 constant하지 않으므로 δ(x,y,z)의 x,y,z에 대한 미분중 최소한 하나 이상은 0이 아니죠. 그리고 ▽^2V=▽˙E=▽˙{J/δ(x,y,z)}이 되겠죠? 미분한 결과는 (x에 대해서만 보이죠) J*(-dδ(x,y,z)/dx)/{δ(x,y,z)}^2이므로, 일반적으로 δ(x,y,z)의 미분이 0이 아닌데서, 위의 결과는 0이 나올수가 없으므로, 라플라스 방정식도 만족시킬 수 없습니다.
kicaesar 님// 잘 알겠습니다..^^ 그러면 ▽^2V 의 값이 0 이 아닌건 알겠는데요. 그렇다고 ▽^2V = - ρ/ε 가 되는건 아니겠죠??? 다른 분들이 ▽^2V = - ρ/ε 가 된다고 말씀들을 많이 하시는데 제 생각에는 ▽^2V = - ρ/ε 도 아니고 ▽^2V = 0 도 아닌 다른 어떤값이 될거 같거든요. 어떻게 생각하시는지 알고 싶습니다.
열심히살아봐// 푸아송 방정식은 성립해야한다고 봅니다.. conductivity가 다른 매질에서 정상상태에서는 들어가는 전하=나오는 전하 이지만, 그 상황에서 같은 매질에서도 E의 크기가 변하는 현상이 관측되거든요. 이는 정상상태 이전의 과도상태에서 영역에 전하의 적절한(..)분포가 이루어지고 나서야 설명할수 있습니다. conductivity가 연속적인 경우(부피전하), 또 불연속적인경우(매질의 표면의 표면전하)의 관계를 생각해보세요 ^^ 세가지소원// 지적 감사합니다. 왜 델타로 썼는지 모르겠네요 ㅡㅡㅋ
첫댓글 도전율과 유전율은 별개가 아닙니다. E*시그마=J , E*입실론=D 이렇게 하나의 전계로 연결 되어 있으니까요.
저는 이렇게 생각 했습니다. 쉽게 평행판으로 생각하고 시그마가 위치 함수라고 하면 divJ=시그마*E , 여기서 divJ는 상수, 시그마가 위치 함수기때문에 E도 위치 함수입니다. 그러면 D도 위치에 따라 달라 집이다. 그럼 p가 0이 안되겠죠.. 그러니까 시그마가 위치 함수기때문에 불연속 면이 생겨서 경계조건에 따라 경계면에서 p가 만들어 진다고 저는 이해 했습니다. 단 이런경우에는 경계면이 연속적이죠.
δ가 이미 선형적으로 증가하는 함수이고, 정전계이므로 전하보존의 법칙이 성립함에서 J가 항상 일정한게 유도되죠. 그다음 J=δE이니, E는 (δ=δ0+R*δ 형식이었죠? 아마.) E=K/δ=K/(δ0+R*δ)형태가 되니, 라플라스 방정식은 0이 되지 않음이 수식으로 보이는군요 ^^;;
특별하게 δ가 주어진다면 물론 성립하는 경우도 있을런지도 모르겠지만, constant가 아닌 이상 일반적인 함수로 나타내여지는 δ에 대하여, 라플라스식은 δ에 반비례하므로 (정전계에 한해서)..항등식인 라플라스 식은 성립하지 않는다고 보는것이 정답입니다. 답변이 되셨는지요.. ^^;;;
디지기직전님// 도전율과 유전율은 별개가 아닐거라는 생각은 해봤는데요. E*입실론 = D 보다는 저는 RC = 입실론/시그마 의 관계를 생각했었거든요. 그런데 이 식도 inhomogeneous 한 경우에는 성립하지 않기 때문에 입실론/시그마 사이의 관계는 inhomogeneous 한 경우 특별한 관계를 맺지 못할거라는 결론을 내렸습니다. 어떤가요?? Royal Roader 님// ▽˙E = ρ/ε 에 대해서는 postulate 라고 책에 나와 있는데 postulate 라 함은 가장 기본이 되고 증명의 필요 없이 무조건 맞는것으로 간주하고 증명과 논의의 시발점으로 잡는것 아닌가요?? 그게 틀리다면 전자기학 다 틀리지 않을까 하는데...postulate 정할때는 보통 제한조건을
달지 않는것으로 알 고 있습니다만... 좋은사람님//divJ=시그마*E 가 아니라 J=시그마*E 아닌가요??? divJ=시그마*E 가 어떻게 나온건지 궁금합니다. 위치에 따라 달라진다고 불연속이 되라는 법은 없을거 같습니다. 위치에 따라 다른것도 연속적으로 달라질 경우 p 는 생기지 않을듯 합니다. 그리고 여기서 D 가 불연속으로 생기는 p 는 p_s 로 surface charge density 이므로 이는 volume charge density 랑 전혀 다른 물리적 개념 아닐까 하는데요.. kicaesar 님// δ=δ0+R*δ 는 아니고 δ=δ0(1+k/R) 의 형태로 주어졌습니다. 그래도 수식으로 딱보더라도 라플라스가 0이 될 수 없는걸 알 수 있으신가요??? ㅡㅡ; 전 잘 모르겠습니다
좀 쉽게 알려주세요...^^;; J 가 상수인거, 그래서 E 는 상수랑 시그마가 곱해진거니까 시그마에 대한 함수 모양이 유지되고 결국 시그마에 대한 함수를 무한대에서 0까지 적분한거에 마이너스 취해준걸 V 로 보신다는 말씀이신지요? 한번 해봐야 되겠네요...^^; 그리고 질문에 답해주셔서 감사합니다. 딴지거는듯한 말투로 비춰졌다면 죄송하구요. 저도 생각을 대충해본건 아니라 나름대로 답글다신 분들에 대한 반론이 생겼기 때문에 나름대로 길게 쓴것이랍니다. 제 의견이 틀리다고 생각하시면 또 가르쳐 주시면 감사하겠습니다. (--)(__) 시험 잘 보세요~
전하밀도가 0이라는 데에 오류가 있는 것 같습니다. 도전율이 상수가 아니고 거리의 함수라는 얘기는 일정한 전계 내에서도 위치에 따라 전류밀도가 다르다는 얘긴데, 그러면 전하의 축적이 생기게 되고 전하밀도는 0이 아니게 된다는 게 제 생각입니다. 따라서 비선형 매질에서는 Laplace 방정식이 성립하지 않는 것 아닐까요? 제가 하수라 완전 추측성...;;;
설명드리죠..^^ 정전계에서, 전하 보존의 법칙에 의해, ▽˙J=0이죠. 따라서, J는 직교좌표계에서는 상수, 원통에서는 거리상수 r 구형에서는 R^2을 곱해줘서 보면 역시나 상수입니다.(뭐 r이나 R^2의 인수가 있어도 상관없지만요)
δ가 constant가 아닌경우에, δ를 좌표의 함수 δ(x,y,z) (궂이 직교좌표계가 아니더라도 상관없죠)로 나타낼수 있으므로, J=δE에서 E=J/δ=J/δ(x,y,z)이겠죠. 이경우 δ(x,y,z)는 constant하지 않으므로 δ(x,y,z)의 x,y,z에 대한 미분중 최소한 하나 이상은 0이 아니죠. 그리고 ▽^2V=▽˙E=▽˙{J/δ(x,y,z)}이 되겠죠? 미분한 결과는 (x에 대해서만 보이죠) J*(-dδ(x,y,z)/dx)/{δ(x,y,z)}^2이므로, 일반적으로 δ(x,y,z)의 미분이 0이 아닌데서, 위의 결과는 0이 나올수가 없으므로, 라플라스 방정식도 만족시킬 수 없습니다.
근데 왜 도전율을 계속 델타로 쓰는지요? 델타로 나온 책도 있나요?
시그마랑 비슷하게 생겼자나요 델타가 ㅋㅋㅋ
kicaesar 님// 잘 알겠습니다..^^ 그러면 ▽^2V 의 값이 0 이 아닌건 알겠는데요. 그렇다고 ▽^2V = - ρ/ε 가 되는건 아니겠죠??? 다른 분들이 ▽^2V = - ρ/ε 가 된다고 말씀들을 많이 하시는데 제 생각에는 ▽^2V = - ρ/ε 도 아니고 ▽^2V = 0 도 아닌 다른 어떤값이 될거 같거든요. 어떻게 생각하시는지 알고 싶습니다.
Poisson 방정식은 당연히 성립해야죠. 다만 전하밀도를 어떻게 구하느냐가 관건이지. 아마 연속방정식 쓰면 될 것 같은데... 안 풀어봐서 잘..
열심히살아봐// 푸아송 방정식은 성립해야한다고 봅니다.. conductivity가 다른 매질에서 정상상태에서는 들어가는 전하=나오는 전하 이지만, 그 상황에서 같은 매질에서도 E의 크기가 변하는 현상이 관측되거든요. 이는 정상상태 이전의 과도상태에서 영역에 전하의 적절한(..)분포가 이루어지고 나서야 설명할수 있습니다. conductivity가 연속적인 경우(부피전하), 또 불연속적인경우(매질의 표면의 표면전하)의 관계를 생각해보세요 ^^ 세가지소원// 지적 감사합니다. 왜 델타로 썼는지 모르겠네요 ㅡㅡㅋ
카이시저 너 성 "곽" 이지?
1년내에작살낸다// 헉... 누구신지요...? ㅡㅡ;;;
알아서 하는 놈 친구