외직적 되면 가환?

[텀블러]

1.사진의 G가 가환 됨을 증명될까요? 아니라면 반례 궁금합니다!

2. H×K ~ G일때
G 가환 <=> H,K 모두 가환

이건 정방향이 맞나요? 역방향은 자명해서요!
( ~기호는 동형 의미 입니다)

[쿨여누]

양방향 모두 성립합니다.
G≅H×K 이면 G는 H와 동형인G1, K와 동형인G2 부분군을 포함합니다.
이때, G가 가환군이므로 G의 부분군 G1, G2는 가환군이므로 H, K도 가환군이 됩니다.

[텀블러]

오! 정말감사합니다!
1번 질문도 답변 뷰탁드려요! 사진내용이요!

[쿨여누]

질문이 하나더 있었네요.
G=Z2×S3 일때, H=Z2×{(1)}, K={0}×S3 라 하면
H, K⊴G 이고 H∩K={(0,(1))} 이고 HK=KH=G 이지만, G는 가환군이 아닙니다.

[텀블러]

반례 정말 감사합니다!!!