[수학]만족도를 높이는 방법

[풀향]

2006년 12월호 - 대입 심층구술면접 대비책

[수학]만족도를 높이는 방법

| 글 | 이창훈ㆍvmfgksmf40@hanmail.net |

전문가 클리닉

제한된 자원을 어떻게 활용해야 최대의 행복을 얻을 수 있는가 하는 경제학의 주제를 수리분석적 문제로 단순화시킨 경우입니다.

문제를 출제한 대학에서는 만족도를‘경제에서의 효용과 동일한 개념’이라 설명했습니다. 즉 ‘단위가격 당 만족도의 변화가 제일 큰 물품에 단위비용을 지불해 최대 만족도를 얻는 방법을 찾도록 했다’는 것입니다.

예시답안

세 물품을 하나씩은 사야 하므로 휴대전화, MP3플레이어, 전자수첩에 최소한 각각 20, 10, 10만원씩 지출해야 한다. 이때 남는 50만원을 어떻게 지출해야 총 만족도가 최대가 되는지 찾아야 한다. 50만원을 지출하는 것은 10만원을 다섯 번 지출하는 것으로 볼 수도 있는데, 10만원씩 추가 지출할 때 어떤 물품에 지출하는 것이 만족도 증가량이 큰지를 판단한다.

예를 들어 휴대전화에 대한 지출을 20만원에서 30만원으로 늘리는 것이 MP3플레이어나 전자수첩에 대한 지출을 10만원 늘리는 것보다 만족도를 크게 증가시킨다.

마찬가지 원리로 만족도의 증가량이 큰 쪽으로 단위가격 10만원씩 지출을 늘려나가면 가격이 40만원인 휴대전화, 30만원인 MP3플레이어, 20만원인 전자수첩을 구매할 때 총 만족도는 최대값 106을 갖는다.

단위가격 당 만족도 증가량이 일정하고 그 크기가 휴대전화, MP3플레이어, 전자수첩 순인 경우도 이 같은 원리를 적용해 총 만족도가 최대가 되는 물품 구매 방법을 결정하면 된다. 즉 각 물품에 대한 최소지출 비용을 제외한 나머지 예산으로 단위가격 당 만족도의 증가량이 가장 큰 휴대전화를 가장 비싼 제품으로 구입하고, 남는 예산으로 가능한 비싼 MP3플레이어를 구입하며, 나머지 예산으로 가능한 비싼 전자수첩을 구입하면 총 만족도는 최대가 된다.

전문가 클리닉

이 문제는 소수와 원자의 성질, 귀류법, 매미의 생활주기 등을 다룬 통합교과형 문제입니다.

예시답안

1) ①의 논리:소수는 자기 자신과 1이외의 다른 자연수에 의해 나눠 떨어지지 않는다. 이 성질은 원자는 화학반응에 의해 쪼개지지 않는 물질의 최소입자라는 점과 유사하다. 또한 모든 자연수는 소수 또는 소수의 곱으로 표현된다. 이는 다른종또는 같은 종의 원자가 결합해 분자를 이루고 물질을 구성하는 것과 비슷하다. 이런 이유로 원소가 물질을 이루는 가장 기본적인 구성단위이듯 소수는 자연수의 가장 기본이 되는 수라 할 수 있다.

②의근거: √N이하의 모든 소수로 N을나눴을때 대입 심층구술면접 대비책 나눠떨어지지 않는다면 N은 소수다. 만약 √N이하의 모든 소수로 N을 나눴을 때 나눠떨어지지 않는데, N은 소수가 아닌 합성수라고 하자. 그렇다면 N은 √N보다 큰 소수 두 개이상의 곱으로 표현돼야 한다.

그런데 √N보다큰소수두개이상의 곱은 N보다 크다. 이는 모순이다. 따라서 √N이하의 모든 소수로 N을 나눴을때나눠떨어지지 않는다면 N은 소수다. 이 방법을 이용하면 어떤 수가 소수인지 아닌지 간편하게 판단할 수 있으나 N이 매우 큰 수일 때는 계산이 복잡해진다.

2) 소수 개수는 무한하다. 만약 소수 개수가 유한하다고 하고 그 소수들을 p₁, p₂, p₃,…, p_n이라 하자. 이때 이 모든 소수를 곱해 1을더한 수를 P라 하자. 즉 P=p₁p₂…p_n+1이라 하면 P는 소수가 아닌 합성수가 돼야 한다.

합성수는 소수의 곱으로 표현되므로 P는 소수로 나눠떨어져야 한다. 그런데 소수는 2보다 크거나 같은 자연수이므로 P는 소수 p₁, p₂…p_n으로 나눴을 때 나머지가 1이된다. 다시 말해 소수로 나눠 떨어지지 않는다.

이는 모순이므로 소수 개수는 유한하다 할 수 없다. 즉 소수 개수는 무한하다.

3) 생활주기가 소수가 되면 천적과 만나는 간격이 길어지고 천적을 피하기 쉬워진다. 만약 천적의 주기가 2년, 3년, 4년이라 하자. 매미의 생활주기가 6년이라면 매미와 천적이 만나는 주기는 각각 6년, 6년, 12년이다. 그런데 매미의 생활주기가 5년이라면 천적과 만나는 주기는 10년, 15년, 20년이다. 일반적으로 매미의 생활주기가 소수가 되면 천적의 생활주기와의 최소공배수가 더 커져 천적과 만나는 간격이 길어진다.

매미의 생활주기가 소수가 되면 동종간의 경쟁도 줄어든다. 여러 종의 매미가 출현하는 주기가 겹치면 매미들 사이에 먹이를 둘러싼 경쟁이 치열해질 것이므로 가능하면 여러 종의 매미가 동시에 출현하지 않도록 조정하는 것이 유리하다.

예를 들어 13년 매미와 17년 매미가 동일 지역에 살면 동시에 활동하는 시기는 221년마다 한번씩 돌아온다. 만약 매미의 생활주기가 소수가 아닌 15년, 18년이라면 매미의 생활주기는 더 크지만 최소공배수는 90이어서 더 자주 만나 생존경쟁을 해야 한다.

전문가 클리닉

1)에서는 문제 의미를 정확히 파악하고 그것을 어떤 수학적 사실로 접근할 것인지 정해야 합니다. 2)는 역함수의 정적분 값을 구하는 방법을 이용해 접근해야 합니다. 이 문제는 정적분 과정이 쉽지 않아 다소 어렵게 느껴질 수 있습니다.

까다로운 문제들도 끈기를 가지고 연습을 꾸준히 해야 실력이 길러집니다.

예시답안

1) 모든실수 a에대해 f(x)=a를 만족하는 x값이 1개씩 존재하는지를 증명하려면 이것이 주어진 구간에서 일대일대응이라는 점을 보이고, 또한 이 함수의 치역이 (-∞, ∞)임을 보여야 합니다.

우선 이 함수의 분모와 분자의 모든 항은 미분 가능한 연속함수(지수함수와 상수함수)로 이뤄져 있습니다. 또 x＞0인 구간에서는 분모가 0이 아니므로 불연속인 점도 없습니다.

그러므로이함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 주어진 구간에서 항상 증가하거나 항상 감소하면 됩니다.

f(x)의 도함수를 구하면 f′(x)=(e^5x+3e^x)/(e^2x-1)²이고 이것은 x＞0에서 항상 양수입니다. 즉 이 함수는 x＞0에서 항상 증가하는 일대일대응 함수입니다. 한편

이므로 치역은 (-∞, ∞)입니다.

그러므로 모든 실수 a에 대해 f(x)=a를 만족하는 x값이 1개씩 존재합니다.

2) f ^-1(x)=g(x)이고 증가함수이며 f(a)=c, f(b)=d일 때

여기서 a, b, c, d는 모두 양수이다. 문제에서 f (ln2)=2/3, f (ln3)=9/4이므로

한편 g(x)는 그대로 적분하기에 쉽지 않으므로 부분분수 형태로 바꾼 뒤 적분합니다.

전문가 클리닉

이 문제의 핵심 개념은 2005학년도 포항공대 심층면접 기출문제와 유사합니다. 그래프를 이용해 정적분의 의미를 직관적으로 이해할 수 있다면 어렵지 않게 풀 수 있는 좋은 문제입니다.

예시답안

|f(x)-log₂(x+1)|은 f(x)와log₂(x+1)의 차이를 나타내므로 그 차이가 가장 클 때

가최대값을 가집니다. 그런데 f(x)는 f :[0, 3]→[0, 2]이므로 함수 f(x)가 정의된 구간에서 y=log₂(x+1)의 그래프를 그려보면 <그림 1>과 같습니다.

f(x)와 log₂(x+1)의 차이가 주어진 구간에서 가장 크려면 f (x)가 [0, 1]에서는 2를 가지고 (1, 3]에서는 0을 가져야 합니다. 이를 그래프로 그리면 <그림 2>와 같습니다.
이때 최대값은