풀이&답 타원증명 문제

[Q.E.D.]

매운우유님이 지나치실 것 같아서 앞쪽에 올립니다.


원 내부에 중심이 아닌 정점P를 잡았을 때
그 정점으로 부터 원주와 이은 선분의 중점의 자취는 타원이다.


ⅰ) 도형의 방정식을 이용한 방법

P의 좌표를 (a,b), 원의 중심의 좌표를 (0,0)이라 하고 정점에서 원주에
그은 선분이 원과 만나는 점의 좌표를 (x,y)라 하면 x²+y²=r²을 만족한다.
중점의 좌표를 (x',y')라 하면 x'=(x+a)/2 y'=(y+b)/2이므로 x=2x'-a y=2y'-b이다.
원의 방정식에 대입하여 정리하면 (x'-a/2)²+(y'-b/2)²=(r/2)²
∴자취는 중심이 (a/2,b/2)이고 반지름이 r/2인 원이다.

ⅱ) 기하학적인 방법

반지름이 r인 원의 중심을 o, 정점을 p, 정점에서 원주에 그은
선분이 원과 만나는 점을 s, 선분ps의 중점을 t라 하자.



선분po와 일직선에 있는 점t를 점a, 점b라 하고 j를 선분po의 중점이라 하면
2ap+2pj=r ∴ap+pj=r/2. 2pb=2r-2ap pb=r-ap=ao ∴ap=ob이므로 aj=jb=r/2.
삼각형tpj와 삼각형spo를 비교하면 두 변의 길이의 비가 1:2이고
끼인각이 공통이므로 두 삼각형은 닮음이다.
따라서 2jt=os. os는 원의 반지름이므로 ∴jt=r/2
그러므로 자취는 중심이 선분po의 중점이고 반지름의 길이가 r/2인 원이다.

정확히 말하면 원이네요. 원도 타원의 일종이지만...