산술, 기하평균문제..

[감나무]

문제...a>0, b>0일 때, (a+ 1/b)(b+ 4/a)의 최소값은?


위의 문제를 전개하여 산술 기하평균을 이용했을 때와.. 전개하지 않았을 때 산술, 기하 평균을 이용했을 때의 답이 틀리게 나오는데 무엇이 모순이 되는지 잘 모르겠습니다.

위의 문제를 전개했을 때는 ab+1+4+ 4/ab... ab>0, 4/ab>0이므로 산술 기하 평균에 의해..
ab+5+ 4/ab>= 5+2root{ab곱하기4/ab}=5+2root{4}=9 ---> 그러므로 최소값은 9.

위의 문제를 전개하지 않았을 때는 a>0, 1/b>0이므로 산술 기하 평균에 의해.
a+ 1/b >= 2root{a/b}...b>0, 4/a>0이므로 산술 기하 평균에 의해. b+ 4/a >= 2root{4b/a}.
따라서 (a+ 1/b)(b+ 4/a)>=2root{a/b}2root{4b/a}=8 ---> 그러므로 최소값은 8

답은 9가 맞는데.. 전개하지 않고 산술, 기하를 이용했을 때의 문제점이 뭔지 모르겠어요..

답변 부탁드려요.

[수학파이]

a+ 1/b >= 2root{a/b}에서 등호가 성립할 조건 a=1/b, b+ 4/a >= 2root{4b/a}에서 등호가 성립할 조건은 b=4/a. 따라서 두식은 동시에 성립하지 않아요.

[감나무]

수학파이님.. 감사합니다. 좋은 하루 보내세요^^*

[수학파이]

네, 감나무님도 좋은 하루 보내세요~

[arithmeticsman]

학교에서 배웠는데 전개를 한 것이 답이에요