수학10 유리수의 정의?

[매지션]

귀류법으로 루트3은 유리수가 아님을 증명하는 거에요.


루트3은 유리수가 아님을 증명하여라.

1. 루트 3을 유리수라고 가정하면.
루트 3은 b/a 를 만족시키는 서로소인 정수 a,b가 존재한다.

그러므로 b=루트3a 에서 b²=3a² --------①
을 얻는다.
여기에서 b²이 3의 배수이므로 b도 3의 배수이다.

그러므로 b=3k(k는 정수)라 하면 ①에서
(3k)²=3a² ∴a²=3k²
여기서 a²이 3의 배수이므로 a도 3의 배수이다.


저기서 왜 유리수는 서로소야 하나요? 3b/3a 라든지 이런것도 유리수 될 수 있지 않나요? 　

[primrose]

그렇게 놓아도 마찬가지의 결과가 나옵니다~

[CB걸면死귄다]

서로소로 놓는다는 말은 분수를 기약분수만 생각한다는 뜻입니다. 어차피 모든 분수는 기약분수로 표현할 수 있으니 a, b를 서로소로 놓는다고 해도 문제될 것이 없으며, 또한 서로소로 놓아야 증명과정에서 생길지 모르는 논란거리(?)를 없앨 수 있습니다.

[처사표]

유리수는 약분이 가능하니까.. 만약 서로소라고 하지않아도 증명은 가능합니다. 서로소가 아니라고 하면 3b/3a 에서 약분이 되져? 같은방법으로 하면 또 약분이 가능하져 결국 무한번 약분이 가능한 수는 없으니까.. 증명이 될듯