피보나치수열

[둘리샘]

＠피보나치수열의 유래

수학을 공부하다 보면 어디에서 들은 것 같기도 한 말인데, 구체적으로는 이것이다라고 표현하기 어려운 것이 더러 있다. 그런 것의 하나가 피보나치(Fibonacci) 수이다.

(A) 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , .... U_n

여기서 일반항을 U_n 이라고 하면 U_1 =1, U_2 =1 , U_3 =2 , U_4 =3 , ... 와 같이 된다. 위의 (A)를 피보나치 수열 이라 하고, 이 수열에 나타나는 수를 피보나치 수라고 말한다. 이 수열의 특징은

(1)

이 된다. 즉, 이웃하는 2개의 항을 더하면 그 다음 항이 나오는 것이다. 최초의 2개의 항을 1, 1 이라고 정하면 그 다음의 항은 자동적으로 차례차례 구해지는 것을 알 수 있다.

여기서 이 피보나치 수의 유래에 대하여 알아보자. 피보나치의 본명은 " 레로날드.다.피사 (Leonardo Da Pisa) " 이며 지금의 이태리, 그 당시의 토스카나 지방의 도시국가 피사에서 낳았으며 그는 아프리카의 북쪽(현재의 알제리아)에서 교육을 받고, 여러 나라에서 수학을 공부한 후 13세기 초기 피사에 돌아와서 활약하였다. " 피보나치" 라는 이름이 붙은 것은 후세 사람들이 지은 이름인데, 앞에서 말한 피보나치 수가 유명해 지면서 이름이 굳어져 버렸다.

1202년 그가 지은 명저 " 계산의 책 "(Liber Abbaci)에는 아라비아숫자인 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 가 주로 나와 있고, 이것을 이용한 계산법과 많은 응용문제들이 소개되어 있어서 그의 큰 공적에 대하여 높이 평가받고 있다.

그는 생존시 독창성이 있고, 깊이가 있는 연구를 하여 중세의 최고의 수학자라고 불릴 정도였다.

" 피보나치 수"는 레오날도(피보나치의 본명)가 지은 [ 계산의 책 ]에 나오는 유명한 문제로 " 토끼의 증식문제 "인데 수학자료-1/연구학습에서 소개를 하고 있습니다.

(A)에서 U_1 =1, U_2 =3 일 때, 만들어지는 아래와 같은 수열을 류카(Edouard Lucas)수열이라고 한다.

(B)=1 , 3 , 4 , 7 , 11, 18 , 29, 47, 76 , 143 , 219 , ....

이 류카수열은 피보나치 수열의 그림자 같이 따라 다니는 수열이다.

＠피보나치 수의 활용

피보나치 수는 덧셈만으로 쉽게 만들 수 있고, 출발이 생물의 번식에서 나온 문제이기에 재미있는 테마인데도 우리나라에서는 다루는 곳이 별로 없고, 잘 알려지지 않고 있다.

가까운 주변에 핀 꽃잎의 수라든지, 해바라기 씨들의 나열된 모양, 솔방울의 뒤쪽에 그려진 곡선의 수 등 생물분야에 피보나치 수는 자주 이용되고 있고, 외국에서는 이 연구가 활발하여 최근에는 힐베르트 제 10문제(부정방정식의 유리정수해의 존재여부를 유한회의 수단으로 판정하는 일)의 해결에 사용되었고, 러시아에서 수학올림픽문제에 자주나오고, 미국에서는 1962년 피보나치 협회가 결성되어 " 계간 피보나치 "까지 발간하여 그에 관한 논문이 실리고 있다. 800년 전의 " 토끼의 증식문제 "에 불과했던 것이 현재도 이와 관련된 많은 논문들이 나오고, 잡지까지 발행되는 것을 보면, 참으로 놀라운 일이 아닐 수 없다.

피보나치 수는 수학 안에 있는 민화(民話)같은 것으로 여러 곳에서 재미있는 문제들이 나와 있다. 이제 몇 개의 문제를 소개할께용...

[문제1] 자동판매기에 50원 짜리 은화와 100원짜리 은화를 넣어 합계가 1000원이 되게 하는 방법은 모두 몇 가지인가? (답은 아래 보기 1에 있음)

(힌트) : 합계가 50원, 100원, 150원, 200원, 이 되는 방법을 알아본다.

-수 1과 2의 두 수 만을 가지고 합이 n이 되게 하는 방법의 수 는 이다.

[문제2] 오른쪽 도형과 같이 1×2 m 인 직사각형의 장판을 세로 2m, 가로 10m인 직사각형의 방에다 차도록 까는 방법은 몇 가지나 될까? (답은 아래 보기 2에 있음)

[보기 1] 수 " 1 " 과 " 2 " 의 두 수만을 가지고 합이 n이 되게 하는 방법의 수 은 이다.

(풀이) n=1,2,3,4,5 라 하고, n=1부터 차례로 일어나는 경우의 수를 알아보자.



위의 표에서 쉽게 알 수 있는 것은 f_1 =1, f_2 =2 , f_3 =3 , f_4 =5 , f_5 =8 , .....이되고 일반적인 점화식

(n= 3,4,5,....) 이 성립한다. 이 수열은 앞에서 생각한 피보나치 수열(A) 의 두 번째 이후의 수열과 일치하므로 f_1 =u_2

, f_2 =u_3 , f_3 =u_4 , ... , f_n =u_n+1 이 됨을 알았다.

앞에 나온 문제 1의 답은 f_20 = u_21 =10946(가지).

[보기 2] 가로 1m , 세로 2m 인 직사각형의 비닐을, 가로 5m , 세로 2m 인 직사각형의 모양을 하고 있는 마루에다 까는 방법은 f_5 =u_6 =8 가지이다.

일반적으로 가로 1m , 세로 2m 인 직사각형의 비닐을, 가로 nm(n 미터) , 세로 2m인 직사각형의 마루에다 까는 방법은 f_n =u_n+1 가지이다.


http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/fibonacci-2.htm