행렬식(Determinant)의 계산 Matrix algebra for statistics

[배송학]

선형대수학 기초(4)-행렬식(Determinant)의 계산 Matrix algebra for statistics

• by Bayesian
• 2012/09/26 20:13
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고등학교에서 2x2 행렬을 공부할 때, (ad-bc)=0이면 역행렬이 존재하지 않는다고 배웠을 것이다. 여기서 ad-bc 가 바로 행렬식(Determinant)이다. 행렬 A의 Determinant는 det(A)와 같이 나타낸다. 행렬식은 2x2 행렬 뿐 아니라 임의의 정사각행렬에 대해 이야기할 수 있다(뒤집어 이야기하면 정사각행렬이 아니면 행렬식은 계산할 수 없다는 말이다.). 보통 행렬식을 손으로 계산할 일은 거의 없다. 하지만 논의의 완결성을 위해 다소 자세하게 설명하고자 한다.

행렬식의 계산을 위해서는 여인자전개(Cofactor expansion)이라는 방식을 이용한다. 예를 들기 위해 아무 행렬이나 생각해 보자.

여인자전개를 하기 위해서는 일단 행렬에서 아무 행이나 고른다. 지금은 그냥 맨 첫 번째 행(줄)을 선택하겠다. 그 다음에는 다음과 같은 순서대로 한다.

1)첫 번째 숫자를 보자. 1이 보인다. 이 숫자가 포함된 행과 열을 모두 지워버린다. 그러면 다음과 같은 행렬이 나올 것이다.

3x3 행렬에서 열과 행을 하나씩 날려서 위와 같은 2x2 행렬이 되었다. 이제 이 행렬의 determinant를 계산한다. 45-48 = -3 임을 쉽게 확인할 수 있다. 이것을 아까 골랐던 숫자인 1과 곱한다. 그러면 최종적으로 -3이 나온다.

2)위에서 했던 작업을 첫 번째 행의 나머지 숫자에 반복적으로 적용하되, 마지막에 부호를 바꿨다가 놔뒀다가 한다. 이번에는 첫 행의 두 번째 숫자를 보자. 2가 있다. 아까 했던 것과 같은 요령으로 이 숫자가 포함된 열과 행을 몽땅 지워버린다. 그러면 다음 행렬이 나온다.

이 행렬의 determinant는 36-42= -6 이다. 이 숫자를 아까 골랐던 2와 곱하면 -12가 나온다. 이 숫자의 부호를 바꾸어주면 12이다.

마지막으로 세 번째 숫자인 3이 포함된 열과 행을 지우고 나서 행렬식을 계산하자. 그러면 32-35= -3 이 나온다. 이 숫자를 3과 곱하면 -9이다. (이번에는 부호를 바꿀 필요가 없다. 부호를 바꾸어주는 것은 하나 걸러 한 번씩만 하면 된다.)

3)얻은 세 숫자를 모두 더한다. 그러면 -3+12-9=0 임을 알 수 있다. 즉 det(A)=0 이다.


위 절차는 3x3 행렬이 아닌 일반적인 nxn 행렬에 모두 적용할 수 있는 절차이다.
그리고 이 예제에서는 첫 번째 행을 가지고 여인자전개를 했지만, 사실 어떤 행을 갖고 하더라도 똑같은 결과가 나온다.
그리고 여인자전개를 행이 아닌 열에 적용해도 아무런 문제가 없다.
물론 어떤 열을 선택하더라도 결과는 같게 나오게 된다.
따라서 만약 어떤 행이나 열이 모두 0으로 채워져 있다면, determinant의 값은 자동으로 0이 된다. 그 행이나 열에 여인자전개를 적용하게 되면 당연히 0이 되기 때문이다.

참고로 Determinant는 통계학에서는 분산과 관련이 있다.