수1권3장, 퓌타고라스 학자들의 산술학(대중)

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(1912),

브륑슈비크(1869-1944), P. 592.

# 수학 철학의 여러 단계들 (Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브륑슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, [1947판] P.592.

제1부 구성의 시대 Période de constitution 01

제1권 산술학Arithmétique. 03

제1장 인종지학과 초기 수적조작 L’ethnographie et les premières opérations numériques. 7

제2장 이집트 계산법 Le calcul égypties 26.

제3장 퓌타고라스 학자들의 산술학 L’arthmétisme des Pythagoriaiens 33

1절 점-수들 (Les nombres-points)

§ 18. [퓌타고라스주의, 수를 사물들 속의 점들처럼 생각한다: ]

[산술론(L’arithmétisme)은 산술학(L’arithmétique)이 아직 아니라는 의미일 것이다.]

    퓌타고라스(전580경-495)의 다양한 여행들에 대한 옛 선인들의 암시들(Les allusions)은 원천들로부터 너무 멀기 때문에 역사적 가치를 가질 수 없다. 그럼에도 사람들은, 이집트의 계통과 특히 아마도 아시아 계통을 주시하지 않고서 피타고라스학파 학설의 형성을 고려 할 수 없을 것으로 보인다. 이런 이유로, 우리가 각 계통의 몫이 퓌타고라스 학파에게 어떤 것인지를 정확하게 말할 수 없지만, 우리는 천문학적 작업에 전념했던 탈레스와 아낙시만드로스의 계보들의 세대로부터 이오니아 사상가들을 발견한다. 이런 천문학적 작업은 칼다이아인들의 우호적 탐구들에 직접적으로 연결되어 있다. 칼다이아인들은 12별자리의(zodiacal) 분할들과 연결하여 천도표(황도)를 세웠다. 이들은 성좌의 목록표를 정립하였다. 이 작업은, 우리가 곧 입장을 취할 관점으로부터, 아주 특별한 관심을 제시하고 있다. 그래서 맨 눈으로 관찰된 성좌는 두 가지 특성을 가지고 있다. 하나는 성좌를 구성하는 별들의 수이고, 다른 하나는 성좌가 하늘에서 그리는 기하학적 도형이다. 이런 특성들은 동일한 자격으로 불변하고 객관적인 자료들이다. [인식의] 연합은, 자연적 필연성으로 치장하고 있는 특성과 우주의 일반적 개념작업에 기초로 쓰일 수 있는 특성, 이 두 특성들 사이에서 형성된다. 마찬가지로 성좌들은 자신들에 알맞은 수(un nombre)를 갖고, 알려진 모든 사물들은 수를 갖는다. 왜냐하면 수는 그들의[퓌타고라스학자들] 인식의 조건 자체이다. 스토바이오스(Στοβαῖος, V세기-VI세기)가 우리에게 전해준 필로라오스(Φιλόλαος, 전470경-390경)의 정식은 주목할 만큼 정확하다. “모든 인식 대상은 숫자를 가지고 있기 때문에, 그것 없이는 아무것도 생각하거나 알 수 없다” (33)

   이 정식은 퓌타고라스주의의 모든 내용을, 아직은 표현하지 않는 것 같다. 모든 사물들은 수들을 소유할(possèdent) 뿐만 아니라 또한 모든 사물들은 수들이다(sont). 아리스토텔레스의 증언들 중에서, 󰡔형이상학󰡕 제1권에서 퓌타고라스학자들을 소개한 장(章)에의 구절을 소개하는[드러내는] 것으로 충분하다. “분명한 것은, 이런 사상가들도 또한 수를 첫째 원리인 것으로 생각하는 것처럼, 사물들의 재료처럼, 그리고 사물들의 성질들과 상태들을 구성하는 것처럼 생각한다.” 이 명제는 아리스토텔레스 시대에 이미 하나의 파락독사를 구성했다. 이 명제가, 반성이 지성의 질서와 실재성의 질서를 더욱더 분리함에 따라, 점점 더 이상한 분위기를 만들었다. 그 수는 개념(un concept)이다. 사물들은 대상들 또는 실물들(substance)이다. 수가 이번에는 대상 또는 실물이라고 어떻게 주장하는가? 진실로 말하자면, 난점은 여기서 우리에게 나타난다. 사람들은, 범주들(catégories)과 원인들(causes)의 틀에서 선소크라테스학자들의 개념작업들로 들어가게 하는, 한 체계적인 역사가에 의해 제기되었던 문제들 속에 참여하지 못한다는 것을 안다. 추상적 용어에서 구체적 실재성으로 이행을 탐구하는 대신에, 틀림없이 수의 용어에서, 우리가 수에 부여한 습관적인 추상적 기호작용을, 그리고 퓌타고라스학자들에게는 분리할 수 없는 직관적 응용방식을 수에게 재통합하는 추상적 기호작용을, 걷어내는 것이 좋을 것이다. 다시 말하면 그 직관적 응용방식이란, 사람들이 단위를 말할 때 [하늘의 별 하나와 같은] 점(點)을 보는 것, 사람들이 수를 말할 때 점들의 모임을 - 별들이 성좌를 그리는 것과 같은 방식의 도형을 그리는 점들의 모임을 - 보는 것, 이 둘을 분리하지 않는 것이다. 간단히 사물들이 수들이라고 말하기 앞서, 퓌타고라스학자들은 수들을 사물처럼 생각하기 시작했었다. 사각형의 수들의 표현과 삼각형의 수들의 표현은 비유들이 아니다. 이 수들은 효과적으로 눈앞에서 그리고 정신 앞에 사각형과 삼각형이다. 또한 에우뤼토스(Εὔρυτος, 기원전 4세기활동)는, 조약돌들의 모임의 형태에 의해 실재성과 같은 구성적인 수를 – 즉 인간의 수 또는 말의 수 - 얻는 방식으로, 정해진 조약돌 수를 배치했다. 그때에 그는, 마치 󰡔형이상학󰡕의 뉘편의 저작자가 수의 학설을 문제 삼는 것처럼, 퓌타고라스 학설의 흉내(la parodi 풍자)를 전혀 내지 않았다. 그는 우리가 수학적 철학 체계보다 더 많은 것 속에서 재발견 할 심리학적 요구에 만족하기 위하여 빠르고 단순한 절차를 이용했는데, 이는 데카르트주의자들의 언어에 따라 상상작용의 대상과 오성의 대상을 동시에 의미하는 대상을 정신에게 제공하기 위해서이다. (35)

    또한 다음처럼 정확하게 하자. 한편 분석 기하학[데카르트]이 독창적 종합에서, 이전에 이미 분리되었던 두 가지, 즉 대수적 관념(idée algébrique)과 너비(길이) 관념(objet étendu)을 통합할 것이다. 반면에 퓌타고라스학자들의 기하학적 수학은 단순하게 분리할 수 없는 연결을, 순진한 것처럼 자발적인 포함을, - 이는 차후의 반성에서만이 분리시킬 수 있게 되는 요소들을, 증거하려 한다(attester). 수학적 사유는 추상적 사유에서 구체적 적응에로 가는 대신에, 정신의 모든 역량들(les fonctions, 기능들)을 일종의 적분적 직관 속에 포함한다. 적분적 직관 속에서 수학적 사유[라이프니츠]는 사유의 균형과 충만을 발견한다. 수는 마치 공간 속에서 그려진 점들의 합계처럼, 무매개적으로 현재에 소개된다. 그리고 점들에 의해 그려진 채로 있는 - 선들, 면들, 입체들 같은 - 도형들은 마치 수들처럼 무매개적으로 주어져 있다. (35)

2절, 수들의 이론 Théorie des nombres 35

§ 19 - [퓌타고라스 산술학은 한편 수는 실재물이며, 배수와 반분의 작업을 하고, 다른 한편 더하기를 할 수 있는 논리계산에서 수처럼 수가 권능을 가졌다. 전자가 원자론자들의 사물과 대응의 사유라면, 후자는 추상작업을 통한 관념의 형성일 것이다.]

    수의 일반적 개념작업에, 과학의 어떤 특별한 성질이 퓌타고라스주의자들에게서 응답하는가? 여기서 몇 가지 세부상항에 들어가는 것이 중요하다. 이 질문은 역사적 관심보다 더 많은 것이 있다. 질문은 현대 수학의 진화과정에서 다시 나타나는 것을 우리가 보게 될 기원적인 학설의 외관[얼굴모습]을 고정하는데 있다. (35)

    퓌타고라스 산술학의 첫째 특성은, 그 산술학이 수들의 이론이라는 것이다. 그리고 이런 결과로, 왜냐하면 수들은 계산의 보조물들, 즉 “논리계산(logistique)”의 수단들이 더 이상 아니기 때문이며, 오히려 자연적 실재성들이기 때문이다. 그것들의 내속하는 성질들 규정하기 위하여, 이것들을 각각 따로 고려하는 것이 편리하다. 일단 사람들이 각 수의 내부에 자리를 차지할 때, 수의 특성적 성질들은 마치 계산작업들의 귀결들처럼 나타난다. 계산작업들에 의해 수 그 자체는 경계에 도달되고, 한정되어있다. 그래서 조작작업들은, 형태의 본질 속에 수를 구성하는 점들의 모임의 형태로 결정한다. 그리고 이런 조작작업들 중에 가장 단순하고 가장 풍부한 작업이 배수계산(duplication 배수작업)인 것처럼, 퓌타고라스의 분류작업의 원리는 수들의 고찰에서 빌려온 것이다. 이 수들은 배수작업에 의해 생산되고 또한 연속적인 반분(la dimidiation, 반나누기)도 허용할 수 있다. 필로라오스(전470경-390경)가 말했던 수는 두 가지 고유한 형태, 즉 홀수(l’impair)와 짝수(le pair)를 갖는다.이러한 구별은 적어도 젊은 퓌타고라스학자에게서 근본적 대립에 해당한다. 이 대립은 한계(le limité)와 무한계(l’illimité)라는 우주론적인 반명제와 재결합할 것이다. 그리고 아리스토텔레스가 우리에게 전했던 10개 대립들의 목록에게 토대를 제공할 것이다. (36)

사람들은, 아마도 아직은 조잡한 방식이지만, 만일 사람들이 수학의 역사가들이 퓌타고라스학자들에게 연관지운 수적인 분류작업들을 고려한다면, 어떻게 연결이, 한편으로홀수와 한계 사이에서 다른 한편으로 짝수와 무한계 사이에서, 확립되었는지를 들여다 볼 수 있다. 이미 필로라오스는 짝과 홀에다가 셋째 종류를, 아르티오페리손(ἀρτιοπέρισσον: 짝홀수)을 보태었다. 이런 명칭은 가끔 단위(l’unité)에 적용되었는데, 얌블리코스(Jamblique, Ἰάμβλιχος, 250경-330경)에 따르면, 6 또는 10과 같은 짝수들을 지칭한다. 그런데 이런 짝수들은 첫째 반분(dimidiation, 반으로 접기)에서 홀수들을 얻는다. 이런 것을 받아들임에서, 짝수들과 홀수들 사이에서 구별이 연관되어 있다. 여기서 짝수들이란 이것들의 요소들 중에서, 반분(dimidiation)에 항을 놓기, 즉 페리사르티오이(περισσάρτιοι) 위하여, 주어진 찰나에 개입하는 홀수를 포함하고 있다. 그리고 짝수들은 한계선 상에 주어들이 아니다. 이 주어들은 반분에 의해 완전히 해결된다(ἀρτίακις ἄρτιοι). (36)

   다른 한편 배수작업(duplication, 배가하기) 또는 반분작업(dimidiation, 반으로 접기) 이외에도, 더하기(l’additioon)는 퓌타고라스의 수들의 형성작업에 역할을 한다. 퓔로라오스는 우주의 규범인 10(la décade, 열흘)을, 즉 인간들과 신들의 주관하는 권능(puissance ordonnatrice, 제어장치능력, 힘)을 찬양한다. (즉 Μεγάλα γὰρ καὶ παντελὴς καὶ παντοεργὸς καὶ θείω καὶ οὐρανίω βίω καὶ ἀνθρωπίνω ἀρχὰ καὶ ἁγεμὼν κοινωνοῦσα … δύναμις καὶ τᾶς δεκάδος) 이런 10의 덕성(la vertu, 효능, 효력)은 처음 네 가지 수들, 1 + 2 + 3 + 4의 합계에 의해 구성되어 있는데, 이 덕성은 수들의 다양한 종류들의 자연[본성]을 감추고 있다. 다양한 종류에는, 짝수의 본성으로 첫째 수가 2이며, 홀수의 본성으로 첫째 수가 3이며, 홀-짝의 본성으로 여기는 것은 단위(l’unité, 통일성)이며, 완전한 정사각형수의 첫째 수는 4이다. (37)

§ 20. - [수의 형성작업에서, 이중화의 역할과 더하기 역할: 완전수(정수로 된 피제수의 경우)의 성립 – 수 나열에서 수 열거로 이행? 또는 수의 사물화에서 수의 추상화로 이행.]

   결국, 그리스인들이 이렇게 수들의 구성을 형성작업의 두 가지 절차와 연관시켰기 때문인데, 하나는 배가일 것이고, 또는 가장 일반적인 형식인 곱하기를 다루기 위해서이다. 다른 하나는 더하기 일 것이다. 이런 이원성의 흔적은 그들의 수학적 사변작업 속에서 당연히 발견된다. (37)

   수들 이론에 관한 중요 문제들의 중의 하나는, 곱하기와 더하기의 이중 관점 하에서, 수를 그것의 조성물들(composants)과 연관을 연구하는 것이고, 그리고 그것들 사이에 얻어진 결과물들을 비교하는데 있다. 이리하여 사람들은 주어진 수의 제수들(diviseurs, 분모들), 그리고 포함되어 있으나 수 그 자체로부타 매번 예외적인 단위(l’unité)를 고려한다(이것을 사람들은 단위의 정제수들(parties aliquotes)이라 부른다). 그리고 사람들은 단위들의 합계를 만든다. 그리고 이런 합계는 그 수자체 보다 일반적으로 또는 보다 큰 또는 보다 작은 합계일 것이다. 이 수 자체는 그 귀결로서 [보다 큰] 풍부한(abondant) 합계로 와 [보다 작은] 부족한(déficient) 합계로 불리어질 것이다. 12는 풍부라 불리는데, 왜냐하면 정제수의 부분들의 합이 1+2+3+4+6, 즉 16이기 때문이다. 8은 부족이라 불리는데, 1+2+4, 즉 7이기 때문이다. 그러나 정제수의 부분들의 합에 동등한 가치를 지닌 몇몇 수들이 있다.

6 = 1+2+3이다(수 6은 특별한 성격이 있다, 사람들은 마찬가지로 6 = 1x2x3이기 때문이다)

28 = 1+2+4+7+14

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

  곱셈의 절차와 덧셈의 절차 사이에 이런 주목할 만한 대응[동등]은 이 수들에 하나의 완벽한 특성을 부여한다. 따라서 6, 28, 496은 완전 수들(les nombre parfiat)이다. 에우클레이데스에서, 완전수들의 이론은 완전수들의 분류와 소수(素數)들의 분류 사이에 일반적 질서 관계를 제공하기에까지 발전되었다. 단위[통일성]에서 출발하여 만일 사람들이 비례2(raison 2)의 기하학적 진행과정을 형성한다면, 그리고 만일 이 항들의 합이 소수(素數)이라면, 진행과정의 마지막 항에 의해 만들어진 소수의 생산물은 완전수이다. 예를 들어 소수인 31을 보태면서 1+2+4+8+16와 합[62]은, 16곱하기 31인 496의 생산물이며, 완전수이다. (37) - [정수론에서 소수(素數), 완전수 등을 다루는데, 왜 다루었지? - 손가락 수에서 수나열의 단위가 성립한다면, 토지의 측량에서 수열거 방식(삼각형, 정사각형, 정육각형) 등이 성립한다. 그런데 하늘에서는 분할에 의해서 일 것이다.]

3절, 진행들과 비례중항 Progressions et médiétés 38

§21 [퓌타고라스의 수와 도형: 삼각수, 정방수, 장방형수.]

[비례 중항(μέσος(« milieu »))

   완전수들의 이론은 그리스 산술학의 특수한 성격을 파악하는 방식으로 드러난다. 그리스 과학자는, 기하학적 도형들의 성질들을 관찰하는 방식으로 또는 하늘의 성좌들의 형상을 묘사하는 방식으로, 수들의 내적 구조를 밝혔다. 이런 방법으로부터 퓌타고라스 학설의 가장 견고하고 가장 아름다운 부분이 나온다. 이 학설에서부터 근대 대수학의 정식들과 비교할 만큼 단순하고 풍부한 법칙들이 분간되어 나온다. (38)

   사람들은 단위를 출발점으로 삼는다. 사람들은 단위에 홀수들의 증가하는 계열을 덧붙인다. 이렇게 형성한 산술학적 진행이, 사람들이 멈추게 되었던 단계들의 각각에게까지, 이런 성질들을 유지하고, [그래서] 단위[1]와 홀수들의 합은 정방형 수를 구성한다.

1 + 3 = 4 2x2=4

1 + 3 + 5 = 9 3x3=9

1 + 3 + 5 + 7 = 16 4x4=16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 5x5=25 [정방형들의 형성과정]

  그리고 정방형들의 모든 수들은 형성 과정에 의해 주어진다(도형 1). 따라서, 사술학적 진행과정의 유일한 고찰에 의해, 정방형으로 된 모든 면적들이 구성되었다. 이 정방형들은 완전수들[2, 3. 4, 5,]의 변으로 되어 있다. 더하여, 5, 7, 9 등의 홀수의 계속적인 더하기는 4, 9, 16의 정방형으로부터 이어지는 9, 16, 25의 정방형으로 이행을 허용하기 때문에, 모든 홀수는 마치 정방형의 두 면적[표면]들의 차이처럼, 즉 마치 해시계(un gnomon)처럼 정의되었다. 여기서 두 면적들의 차이는 연속하는 두 정수를 각각 변들로서 삼는다. 기하학적 정의는 홀수의 내적 구성작업을 설명한다. 따라서 정방형의 합은 단위(1)를 변으로 삼는다. 그런데 [장방형의 합은] 동등한 두 직각[장방형]의 합인데, 그 장방형의 가장 작은 변은 단위(1)과 동등하다. 따라서

5 = 1 + 2 + 2; 7 = 1 + 3 + 3; 9 = 1 + 4 + 4. (38)

[여기서 1다음의 수는 변을 표시한다]

[왜 일반적으로 설명하는 장방형: (도형2) 2 + 4 + 6+ 8 .. 로 설명하지 않을까?]

[정방형의 확대과정에서 단위1 다음에 변의 확장으로 2+2, 3+3, 4+4로 설명할 수 있다. 그리고, 이런 설명은 위의 4, 9, 16의 설명과 달리 정수의 확장을 설명해준다. (59LLF)]

    다른 한편 만일 우리가 연속하는 짝수들 보태어 본다면, 우리는 일련의 수들을 얻는데, 이 일련의 수들은 산술적 진행과정의 합들이기도 하고, 또한 생산물들이고 동시에 그 귀결로서 면적[표면]들이기도 하다. 단지 이 생산물들의 요인[요소]들은 동등한데, 한 요소는 진행과정의 마지막 짝수의 절반에 속하고, 다른 요소는 단위(2)로부터 증가된 첫 요소에 속한다. 따라서 면적은 동등하지 않은 두 개의 변을 갖는다. 이런 면적을 부등변사각형 (hétéromèque) 또는 장방형이라 한다(도형 2). 따라서 새로운 산술적 진행과정의 합으로 주어진 장방형 수들의 명칭이 설명된다. 그리고 홀수 대 짝수의 초기 대립과 직접적 상관관계가 있으며, 아리스토텔레스(전384-322)가 [퓌타고라스 사상을 통해] 전한 10가지 대립 계열에서 정사각형 대 직사각형의 대립의 도입도 설명된다. 또한 이로부터 홀-짝의 대립적 쌍과 한계-무한의 쌍 사이에 새로운 연결 지표가 나온다. 그리고 우리가 알릴 기회가 있었던 연결보다 보다 덜 직접적이고 그러나 보다 논리적인 연결도, 그리고 사람들이 그 학파의 교육에서 그를 계승했다고 가정할 수 있는 연결도 나온다. 이로써 홀수들의 합은 정사각형들 자체와 닮은 정사각형들을 생성하는 반면에, 짝수들의 합은 영속적으로 차이들이 있는 장방형을 생성한다. 따라서 이것들의 무한정한 변이[변종]들이 정사각형의 고정성과 대조를 이룬다.

§22. [비례 중항(médiétés: μέσος(« milieu »))]

    비례 중항들(médiétés, μέσος)에 대한 퓌타고라스 학설의 철학적 범위는 질이 낮은 것으로 나타나지 않는다. 산술적 중간(moyen arithmétique)과 기하학적 중간(moyen géométrique)이외에 퓌타고라스학자들은 조화적 중항(moyen harmonique)을 도입했다.

a-m / m-b = a/b의 중간항은 다음의 동등성을 얻는다.

2/m = 1/a + 1/b.

[m이라는 중간항은 수나 도형과 다른 방식으로 a와 b 사이에 있다.]

이리하여 8은 12와 8의 중간항인데 왜냐하면

12-8 / 8-6 = 12 / 8.

   밀오가 말하듯이, “우리는 거기서 조화(수)의 명칭의 기원을 재발견 한다. 이런 이유로, 8도 음계의 첫 음계에 [현의 단위 길이로서] 1을 상응하게 하는 대신에, 이어서 사람들은 완전수들만을 갖도록 6을 상응하게 한다. 이것은 4/3 대신에, 1/4에 8이 상응할 것이라는 것이다. 그리고 2[현의 길이의 두 배] 대신에 8도[음]에 12가 상응할 것이다.” (39)

   이렇게 수들과 소리들 사이에 경탄할 대응[상응]의 경탄할 발견(퓌타고라스 그 자신에게 거슬러 올라갈 것 같은 발견)은 퓌타고라스의 산술학에 병합되었다. 그리고 이 발견은 그 산술학의 성격을 완성하고 고정하였다. 음악적 음율(accord) 속에 표출되었던 수들의 [비례]연관들은 또한 기하학의 도형들 속에 기록되었다. 니코마코스(60경-120경)가 필로라오스(전470경-390경)에 참조한 관찰에 따르면, 정입방체는 완전히 그 자체로 조화롭다. 왜냐하면 정입방체는 3차원에서 자기 자체와 완전하게 동일하기 때문에, 그 입방체는 우리가 방금 묘사했던 [비례]중항에게 조성하는 수들의 연결을 그대로 표현한다[제시한다]. 입방체는 12개의 모서리들, 8개의 꼭지점들, 6개의 표면들을 갖는다. 기하학적 조화와 음악적 조화는 서로 상응한다. 산술학자가 알 수 있다는 것은, 감각적인 귀들만큼이나 가시적인 눈들을 가지고 있다. (40)

4절 퓌타고리즘 Le pythagorisme 40 [퓌타고라스주의]

§23. [퓌타고라스주의 문제: 무한(ἀπείρω), 불합리한 수(l’insensé, ἀνοήτω), 비합리수(ἀλόγω, l’irrationnel 무리수, 파이)에서 ]

    그래도 사람들은 퓌타고라스학자들에게 비슷한 상응들이 나타난다는 것을 안다. 그들은 예를 들어 지상의 조화에 대한 수학적 법칙을 허용하였기에, 천문학적 수들에 의해 생겨난 일종의 천상의 협주곡을 가정할 수 있었다. 천구들의 조화가 전설상으로 있었기를 바라고, 모든 죽는 자들 중의 한 사람인 퓌타고라스가 어느 땐가는 그것을 지각을 하였다고 한다.사람들은 어떻게 그들의 사변적 상상작용이, 산술학, 기하학, 음향학의 실증적 이론들이 형성했던 빛의 핵심을 둘러싸는지를 안다. 그리고 거기에 코페르니쿠스(1473-1543)의 천문학의 묘사[태양중심설]을 보태야 한다. 보다 무한하게 광대한 지대에 대한 이 실증적 이론들에서, 주저함이 없이 해법이 인간적이고 신적인 모든 문제들에 주어졌다. 필로라오스와 더불어, 수는 자연을 통하여, 거짓말을 받아들일 수 없는 것이고, 그리고 진리의 원리이다. 반면에 거짓말과 선망(l’envie, 망상)은 무한(l’infini), 부질없음(l’insensé, 부조리), 비합리(l’irrationnel) 한 것들에 속한다. 세계 속에서 조화의 도래는 무한에 관한 수(數)의 승리이다. 우리는 이[퓌타고라스의] 학설의 발전을 따라가지 않아야 한다. 게다가 우리가 역사의 시대를 접근함이 없이 행할 수 없을 것이라는 것이지만, 그 시대에서는 퓌타고라스로부터 멀어진 제자들이 플라톤의 계승자들과 서로 만나고, 가끔은 서로 뒤섞이기 때문에 발전을 따라가지 않을 것이다. 우리는 수적인 재현들을 상기하는 것으로 만족할 것이다. 이 재현들에 의해서 퓌타고라스주의자들은 사회적 실재성들의 – 정의(justice), 기회(occasion, 알맞은 때), 결혼(mariage) 등의 – 자연[본성]을 설명할 수 있다고 주장할 것이다. 이 설명에서, 이런 방법을 진행하고, 그리고 종교적 정확성과 신비적 본질이라 하는 절대적 임의성의 혼합을 소개하면서, 상징들과 유비들의 예외적인 화창[번성]함을 강조하지 않을 것이다. 만일 거기서 그것이 퓌타고라스주의의 가장 민중적인 특성들이라면, 그것이 그중에서 가장 독창적인 특성이라는 것도 확신하지 못한다. 그리고 사람들이 생성(devenir)에 대한 선(先)소크라테스의 학설들에 관한 리보(Albert Rivaud, 1876-1956)의 명쾌한 논평을 적용할 수 있다고 하는 것은 있을 법하다. “[인식] 틀과 물질은 [이오니아학파의] 고대 우주발생론에 의해 제공되었다. 관찰과 경험은 세부사항 속에서만 개입한다. [틀과 물질의] 일체에서는, 관찰과 경험이 옛 이미지들을 건드리지 않은 채 남겨둔다.” 사실상 이오니아인들(그리고 저쪽에 바빌론인들)은 퓌타고라스에게 우주론적 대립 작용들의 유산과 점성술적이고 도덕적인 대응들의 유산을 전했다. 심지어 퓌타고라스학자들은 자신들의 수학적인 고유한 발견물들과 자신들의 음향적인 경험들에서 자신들의 초자연적 신앙들의 일체를 위한 확신들만을 보았다고 할지라도, 그것들은 합리적 질서의 발견물들과 경험들이고, 그 합리적 질서를 마치 자신들의 사유의 특성적인 공헌[자산]처럼 간주하고 유지하는 것이 공평[공정]하다고 여긴다. (41)

   이런 사유가 완전히 우리 체계가 더 이상 아닌 어떤 체계 속에서 결정체로 되었기에, 그 사유가 충분히 강해서 우주의 무게를 지탱한다고 믿게 되는 권리 [그 정도였다] 그 이하도 아니었다. 왜냐하면 이런 사유는 인간이 할 수 있는 진리의 가장 높은 성질에 효과적으로 도달했다. 만일 실증과학의 이상이 명석하고 동시에 경계 분명한 원리들 위에 근거하는 것이라면, 이미 제안된 원리들의 틀 안에서 발전되었다면, 그리고 이 사유를 확정하고 조절하는 경험과 접촉을 유지한다면, 퓌타고라스의 수학주의는 이런 이상에 만족할 만한 어떤 무엇에 만족했을 것이다. 수의 개념 작업 속에 기하학적인 것과 물리적인 것을 포함하면서 수학주의는 수의 연구를 마치 구체적 실재성의 연구처럼, 동시에 한 번에 생각하였고, 산술적 비례들의 발견을 자연적 비례들의 발견으로 수립하였다. 수학적 진리는, 단어의 객관적 의미에서 법칙(une loi)이 되고, 진리는 관찰에 의해 구별된다. 진리는 점진적 진행으로 진리가 허용하는 일반적 형태를 띤다. 그런데 완전한 수의 용어와 완전한 음율(l’accord)의 용어, 즉 기하학적 산술주의 정식들과 음향적 산수주의의 정식들은 정확하게 동일한 성격을 갖는다. 동등한 자격으로 규제하고, 또한 실재성의 차이나는 질서들을 동질적 종합 속에 통합하는 이 법칙들은 이런 단순성으로 되어 있어서, 이 법칙들이 정신의 자연[본성]에 순응[적응]되는 것 같고, 그리고 모든 법칙적 기능들의 결정적인 평형을 보장하도록 운명되어 있는 것 같다. 우주의 조화는 이데아들의 조화에서 반영된다. 오히려 이 양자는 통일성(l’unité, 우주라는 단위) 속에서, 퓌타고라스학자들에게서 우주(κόσμος, 세계)를 구성하는 불분명함(l’indistinction) 속에서 이루어진다. (42)

(9:21, 59LLH) (8:27, 59LMI)

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625 탈레스(Thalès de Milet, Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, 전625-전 548), 이오니아 밀레토스 출신 철학자, 현자.

610-547 아낙시만드로스(Anaximadre, Ἀναξίμανδρος, 기원전610-547): 밀레토스 출신 철학자. 무규정자(l'indétermine, apeiron)

580 퓌타고라스(Pythagore, Πυθαγόρας, 전580-495, 85 ans) 고대 그리스 철학자. 사모스섬 출생, 이탈리아 남부의 메타폰티온(Métaponte, Μεταπόντιον)에서 세상을 떴다. - 메템프쉬코시스(métempsychose, μετεμψύχωσις) 영혼의 이동, 이전, 윤회 사상을 가졌다.

[히파소스(Hippasos Ἵππασος, 전5세기), 퓌타고라스 학파, 무리수 발견자. 학파에서 살해된자 또는 추방당한 자]

470 필로라오스(Philolaos de Crotone, Φιλόλαος, 전470경-390경) 그리스 철학자, 퓌타고라스 학파, 수학자. 전 400경 활동(소크라테스 세상을 뜬 후).

435 아르퀴타스(Archytas de Tarente, Ἀρχύτας ὁ Ταραντίνος, 전 435경-347경), 퓌타고라스학파 철학자, 수학자, 천문학자. 작품으로 Sur les catégories (Περὶ τῶν καθόλου λόγων, À propos des formules universelles) - Il a traité les moyennes arithmétiques (1:2 = 2:3), géométrique (1:2 = 2:4) et harmonique (3:4 = 4:6) 중항들을 다루었다. .

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 전384-322), 고대 그리스의 철학자. 플라톤의 제자. 󰡔형이상학(La Métaphysique, τὰ μετὰ τὰ φυσικά)󰡕.

372 테오프라토스(Théophraste, Θεόφραστος, 전372경-288경), 아리스토텔레스 제자, 초대 뤼케이온 학장(322-), 식물학자, 박물학자, 연금술사.

360k 에우클레이데스(Euclide, Εὐκλείδης, 기원전 300년경 활동), 알렉산드리아 수학자. 󰡔원론(Éléments, Στοιχεία)󰡕(전300년경, 13권). - p.37 주1) Elém., IX, 36, éd. Heiberg, t. II, Leipzig, 1884, p. 408.

O

60 니코마코스 게라세노스(Nicomaque de Gérase, Νικόμαχος ὁ Γερασηνός, 60경-120경), Nicomachus Arithmetic, 수학자, 신퓌타고라스학파, Introduction à l'arithmétique (vers 180), trad. Bertier, Vrin, 1978. / 주4) Nicom. Arithm. Ed. Pistelli, Leipzig, 1894, p. 22. / 원전: Ἀριθμητική εἰσαγωγή / Arithmetikè eisagogè. // 주5) Nicom. Arithm. Ed. Hoche, 1866, § X, p. 21 et suiv. [호헤(Richard Gottfried Hoche, 1834-1906) 독일 고전문헌학자.]

70 스뮈르나이오스(Théon de Smyrne, Théon l'Ancien, Θέων ὁ Σμυρναῖος, ?[70]-135경), 기원후 2세기의 플라톤학파의 스승. 로마 하드리아누스(76-138) 황제치하 활동.

- cf. Eduard Hiller(1844–1891), Exposition rerum mathematicarum ad legendum Platonem Utilum, 1878, 232 p. [독일 문헌학자. 힐러(Eduard Hiller, 1844–1891)]

150 알렉산드로스(Alexandre d’Aphrodise, Ἀλέξανδρος ὁ Ἀφροδισιεύς, 150-215) 페리파토스학파, 아리스토텔레스 주석가. 본명: Titus Aurelius Alexander, 별명« Exégète » (ὁ ἐξηγητής), 아베로에스에게 영향을 줌, [참조: 생성주의자 플로티노스(205경-270경)]

234 포르퓌리오스(Porphyre de Tyr, Πορφύριος, 234-305) 페니키아 출신의 신플라톤주의 철학자. 플로티노스 제자. 엔네아데스(Ennéades) 편집자. 플로티노스 전기(󰡔Vie de Plotin󰡕)를 썼고, 󰡔아리스토텔레스 범주론 입문, 이사고개 (Introduction aux Catégories d'Aristote (Isagogè)󰡕,

- Porphyre de Tyr, Commentaire sur les 'Harmoniques' de Claude Ptolémée: Kommentar zur Harmonielehre des Ptolemaios,

250경 얌블리코스(Jamblique, Ἰάμβλιχος Iámblichos, 250경-330경), 아랍 출신의 신플라톤주의 철학자.

470? 스토바이오스(Jean Stobée, Ἰωάννης ὁ Στοβαῖος, V세기-VI세기), (en latin Ioannes Stobaeus) 마케도니아 스토바이오스 출생, 그리스 학설사가, 작가.

480 심플리키우스(Simplicius ou Simplice, Σιμπλίκιος ὁ Κίλιξ, 480경-560경), 6세기경 신플라톤주의 철학자. 아리스토텔레스와 에픽테투스 주석가. Commentaire sur le Du ciel d'Aristote (De caelo), Commentaires sur la Physique d'Aristote, Commentaire sur le De l'âme d'Aristote (De anima), Commentaire sur les Catégories d'Aristote.

1473 코페르니쿠스(Nicolaus Copernicus, 1473-1543), 폴란드의 로마 가톨릭 성직자, 천문학자, 태양중심설 주장.

1596 르네 데카르트(René Descartes, 1596-1650), 프랑스 철학자, 수학자, 과학자,

1616 왈리스(John Wallis, 1616-1703), 영국 천문학자, 수학자. 1640년 성직자 서품 받음, 뉴턴 작업의 선구자.

1814 젤러(Eduard Zeller, 1814-1908), 독일 철학 사가. Die Philosophie der Griechen in ihrer geschichtlichen Entwicklung (1844-1852). Trad. fr. : Émile Boutroux, 1877-1884.

1834 호헤(Richard Gottfried Hoche, 1834-1906) 독일 고전문헌학자.

1838 하이둑(Michael Hayduck, 1838-1909), 독일 고전문헌학자. 아리스토텔레스에 대한 알렉산드로스의 주석본(1: Alexandri Aphrodisiensis In Aristotelis Metaphysica commentaria. 1891) 해제, 알렉산드로스(Alexandre d’Aphrodise, Ἀλέξανδρος ὁ Ἀφροδισιεύς, 150-215)의 주석을 따라서.

1843 딴느리(Paul Tannery, 1843-1904), 프랑스 과학사가, 수학사가. 딴네리(Jules Tannery, 1848-1910)의 맏형. L’Education platonicienne, III, Digression sur un passage du l’Epinomis, Revue Philosophique, 1880, t. II, p. 529. La Géometrie grecque, 1887, p. 111. / Sur un point de la méthode d’Aristote, Archiv für Geschichte der Philosophie, t. VI 1893, p. 468 et suiv.

1844 힐러(Eduard Hiller(1844–1891), Exposition rerum mathematicarum ad legendum Platonem Utilum, 1878, 232 p. [독일 문헌학자. 힐러(Eduard Hiller, 1844–1891)]

1845 부뜨루(Émile Boutroux, 1845-1921), 프랑스 철학자, 철학사가.

1848 딜스(Hermann Alexander Diels, 1848-1922), 독일 문헌학자. 고대철학 전문가. Die Fragmente der Vorsokratiker, Berlin, 1903, 1권 2판, 1906.

1854 하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854-1928), 덴마크 문헌학자, 수학자. 편집작품들: les œuvres de Ptolémée, les Coniques d’Apollonius de Perga, les Éléments d’Euclide.

1858 밀오(Samuel Milhaud, Gaston Milhaud, 1858-1918), 프랑스 철학자, 과학사가. 수학자. Leçons sur les origines de la science grecque, 1893. Les philosophes géomètres de la Grèce. Platon et ses prédécesseurs, 1900[Vrin, 1934.]

1862 피스텔리(Ermenegildo Pistelli, 1862–1927), 이탈리아 언어학자, 이집트전문가, 파피루스, 문헌학 전문가. 신부, 대학교수. 양블리코스의 수학 주석을 달았다.

1867 하인쩨(Richard Heinze, 1867-1929), 독일 고전 문헌학자. - Xenokrates. Darstellung der Lehre und Sammlung der Fragmente. 1892.

1876 리보(Albert Rivaud, 1876-1956), 프랑스 철학자, 정치가 1940년 뻬탱 정부의 초대 교육부장관. 󰡔그리스 철학의 기원에서 테오프라스토스까지 생성의 문제와 물질의 용어(Le problème du devenir et la notion de la matière dans la philosophie grecque depuis les origines jusqu'à Theophraste, 1905󰡕

(12:09, 59LLH) (10:34, 59LMI)

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